三角形五心及其性质

1、.三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。三角形垂心的性质设 ABC的三条高为AD BE CF,其中D E、F为垂足，垂心为H,角 A B、C的对边分别为 a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;3、垂心H关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且 AH?HD=BHHE=CHHR5、H、A B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂6、心（并称这样的四点为

2、一一垂心组）。 ABC ABH BCH ACH的外接圆是等圆。7、在非直角三角形中，过 H的直线交AB AC所在直线分别于P、Q 贝J AB/AP?tanB+AC/AC?tanC二tanA+tanB+tanC。8 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9、设0, H分别为 ABC的外心和垂心，则/ BAO=/ HAC / ABH二/ 0BCZ BC0M HCA10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松定理（西姆松线）

3、：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、设锐角 ABC内有一点T那么T是垂心的充分必要条件是P B* PC*BC+PB* PA*AB+PA*P C*AC=AB*BC*CA垂心的向径定义设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h向量OA=a向量OB=b 向量 OC=c则 h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC).垂心坐标的解析解:设三个顶点的坐标分别为（a1，b1）（a2，b2）（a3，b3），那么垂心坐标 x= x/2/ , y=- y/2/。其中,二det(x2-x1 , x3-x2 ,y2-y1 ,

4、 y3-y2)；X二det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1),y3-y2);y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2) y=det(x3-x2(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3);垂心的向量特征：三角形 ABC内一点0,向量OA?OB=OBOC=OC 0A则点0是三角形的垂心证明由 0A?0B=0B0C 得OA?OB-OCOB=0(OA-OC)?OB=0CA?OB=0即OB垂直于AC边同理由O召OC=O?OA可得OC垂直于AB边由OA?OB=O?OA 得OA垂直于BC

5、边显然点O是三角形的垂心三角形的重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是 塞瓦定理 的特例。三角形重心已知： ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于0,CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，SA AOB= AOC又SA AOB=S BOC SA A0C= B0C再应用燕尾定理即得 AF=BF命题得证。重心的几条性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2： 1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术

6、平均，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+ Y2+Y3)/3);空间 直角坐标横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y 2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3) /35. 重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。证明：刚才证明三线交一时已证。6. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。其它规则图形的重心注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄 板。三角形的重心就是三边中线的交点。线段的重心就是线段的中点。平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边 中点连线的交点。平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱 中点连线的交点

7、，也是四对对面重心连线的交点。圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底 面的一个。四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。图 3-115三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线 与其不相邻 的两个外角平分线的 交点，它到三角形三边的 距离相等。如图， 点M就是 ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定 在三角形外。若设0为 ABC的旁心，用向量表示则有 aOA二bOB+cOC1、三

8、角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。内心是三角形三条内角平分线的交点，即 内切圆的圆心。内心是三角形角平分线 交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边内心定理：三角形的三个内角的 角平分线 交于一点。该点叫做三 角形的内心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径）,内心定理其实极易证。若三边分别为11 ,12 ,13，周长为P,则内心的 重心坐标 为(11/ p,l2/p,l3/p)直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边 的差的二分之一。双曲线上任一支上一

9、点与两焦点组成的三角形的内心在实 轴的射影为对应支的顶点。三角形内心 的性质 设/ABC的内切圆为。O（半径r），角A、B、C 的对边分别为 a、b、c, p=（a+b+c）/2。1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径3、r=S/p。证明：SA ABC=S OAB+S OAC+S OBC=(cr+b叶ar)/2二rp.即得结论。 ABC中，/ C=90°, r=(a+b-c)/2。5、/ BOC=90 +A/2。6、点O是平面ABC上任意一点，点 O是/ ABC内心的 充要条 件是:a（向量 OA）+b（向量 OB）

10、+c（向量 OC）二向量0。7、点0是平面ABC上任意一点，点I是/ ABC内心的充要条件是:向量 Ol=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c)。8 / ABC 中，A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3)，那么 /ABC内心 I的坐标是:(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。9、（欧拉定理）/ ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，0和I分别为其 外心和内心，则 01八2=RA2-2Rr 。10、（内角平分线分三边长度

11、关系）角平分线分对边与该角的两边成比例。证明： ABC中，AD是/ A的角平分线， D在BC上，abc是角的对边 ABC, d=AD。由于正弦定理 b/sinB=c/sinC d=R1sinB二R2sinC , R1是 ABD的外接圆半径， R2是 ACD的外接圆半径，所以 R1/R2=sinC/sinB二c/b.又 BD=R1sinBAD,CD=R2sinCAD,/ CAD2 BAD 所以 BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上a、b、三角形外心的性质设/ABC的外接圆为。

12、G(R)，角A、B、C的对边分别为c， p二(a+b+c)/2 .1:( 1)锐角三角形的外心在三角形内;(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合;(3 )钝角三角形的外心在三角形外2:Z BGC二N A,(或/ BGC=2(180° - / A).3:点G是平面ABC上一点，那么点 G是/ABC外心的充要条件是:(向量GA+向量GB)-向量AB=(向量GB+向量GC)-向量BC=(向量GC+向量GA) 向量 CA=|向量0.4:点G是平面 ABC上一点，点 P是平面ABC上任意一点,那么点G是/ ABC外心的充要条件是:(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(