考研 数农 海文钻石卡学员第三次全真模拟考试(三模数农) 答案

1、09届钻石卡学员用2009年全国硕士研究生入学统一考试数农答案（万学·海文钻石卡第三次模拟考试）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设xa时f(x)与g(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小，设有以下命题：f(x)g(x)是x-a的m+n阶无穷小.若n>m，则f(x)是x-a的n-m阶无穷小. g(x)若nm，则f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小.则以上命题中正确的是 （ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)0【答案】(B)【考点】无穷小阶的运算 【分析】limf(x)g(

2、x)=A0lim=B0 ，xa(x-a)nxa(x-a)mf(x)g(x)f(x)g(x)=limlim=AB0 xa(x-a)n+mxa(x-a)nxa(x-a)mlimf(x)g(x)是x-a的m+n阶无穷小.又若n>m，limxaf(x)f(x)(x-a)n-m=limxa(x-a)ng(x)limAg(x)=0 xa(x-a)mBf(x)g(x)是x-a的n-m阶无穷小.因此正确，但不正确.例如，x0时，sinx与-x均是x的一阶无穷小，但limsinx-xcosx-11=lim=-，即sinx+(-x)是x的3阶无穷小.因此选(B). 32x0x0x3x63nn（2）设函数f(

3、x)=lim+x，则f(x)在(-,+)内 （ ）1页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C) 恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点【答案】(C)【考点】极限形式表示的函数；函数的不可导点【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形。当x<1时，f(x)=lim+xn3n=1；当x=1时，f(x)=lim+1=1； n当x>1时，f(x)=limx(n31x3n+1)=x. 1n3-x3,x<-1,即f(x)=1,-1x1, 可见f(x)仅在x=±1处不可导，故应选(C). x3,x>1.（

4、3）设函数f(x)=x20则f'(x)的零点个数 （ ） ln(2+t)dt，(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(B)【考点】变上限积分的导数；函数的零点问题【分析】f'(x)=ln(2+x)2x=2xln(2+x) 224x2f''(x)=2ln(2+x)+>0，恒大于0，所以f'(x)在(-,+)上是单调递增的. 2+x22又因为f'(0)=0，根据其单调性可知f'(x)只有一个零点.（4）设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，并且(x,y)(0,0)limf(x,y)+4x2-y2=-1则 4224x+x

5、y+y（ ）(A)点(0,0)是函数f(x,y)的极大值点(B)点(0,0)是函数f(x,y)的极小值点(C)点(0,0)不是函数f(x,y)的极值点(D)题设条件不足以判定点(0,0)是否为函数f(x,y)的极值点2页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用【答案】(C)【考点】二元函数的极值【分析】设函数f(x,y)在点(0,0)的某空心邻域中满足f(x,y)+4x2-y2224224即 fx,y=-4x+y-x-xy-y-1()4224x+xy+y''(0,0)=-8,B=fxy''(0,0)=0,C=fyy''(0,0)=2.

6、则点得到fx'(0,0)=fy'(0,0)=0,A=fxx(0,0)是函数f(x,y)的一个驻点，且满足AC-B2f(x,y)的极值点.100-2（5）设矩阵A=-1000=-16<0，所以(0,0)不是函数00,矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则B+E= （ ） 011111(A)-12 (B)12 (C)-6 (D)6 2010【答案】(A)【考点】矩阵方程；矩阵行列式的计算【分析】化简矩阵方程向B+E靠拢，用分组因式分解有(AB+A)+(B+E)=-E即(A+E)(B+E)=-E两边取行列式，用行列式乘法公式得A+E200-1又因为A+E=-10002020B+E

7、=1. 0011=-. =-12,所以,B+E=A+E1202（6）设有向量组1=(6,+1,7)，2=(,2,2)，3=(,1,0)线性相关，则 （ ）(A) =1或=4 (B) =2或=4(C) =3或=4 (D) =-2或=4【答案】(D)【考点】向量的线性相关性3页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用6【分析】因1,2,3线性相关，故1223=+121=22-5-12=0，7解得1=-2，2=4.-101(i=1,2)且P(X+X=0)=1，则P(X=X)= （7）设随机变量Xi1111212424（ (A) 0 (B) 114 (C) 2 (D) 1【答案】(C)【考

8、点】二维离散型随机变量的概率分布；二维离散型随机变量的边缘分布 【分析】由题设知P(X1+X20)=0,而P(X1+X20)=P(X1=-1,X2=-1)+P(X1=-1,X2=0)+P(X1=0,X2=-1)+P(X1=0,X2=1)+P(X1=1,X2=0)+P(X1=1,X2=1)所以等式中的各加项概率都等于零，据此可求得(X1,X2)的联合分布表可算出P(X11=X2)=2. （8）X N(0,2)，X1,X2, ,X9是来自总体X的样本，则服从F分布的统计量（ (A) F=X2X2221+2+X23X22 (B) F=X221+X2+X3+X42224+X5+ +X29X4+X25+

9、X6+X7数学（农）试题 第4页 （共13页） ）09届钻石卡学员用222(X12+X2+X32)X12+X2+X32(D) F=2 (C) F=22222X4+X5+ +X92X4+X5+ +X9【答案】(D)【考点】F分布的典型模式 【分析】因为(Xi所以) N(0,1) (i=1,2, ,9),112(X212+X2+X32) 2(3),26(X224+X52+ +X92) 2(6).22(X12+X2+X32)2X4+X52+ +X92由F分布的定义有X(X24212+X2+X32)322529+X+ +X=F(3,6).二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题

10、中横线上）（9）曲线x=1-y2和直线y=x+1所围成平面图形的面积是【答案】.9 2【考点】平面图形的面积【分析】先求出曲线与直线的交点坐标(0,1)(-3,-2),根据平面图形的特点选择积分变量为192y，围成平面图形的面积A=1-y-y-1dy=. ()-221f(y)（10）设f(x)可导，且f(0)=0,f'(0)=.已知方程xe=ey确定隐函数y=y(x)，2()则曲线y=y(x)在点(1,0)处的法线方程为【答案】x+2y=1【考点】隐函数方程求导；曲线的法线方程 【分析】因为xef(y).=ey两边取对数得到lnx+f(y)=y.将方程两端对x求导，得到11+f'

11、;(y)y'=y',将f'(0)=代入得到y'(1)=2.于是曲线y=y(x)在点(1,0)处的法x21线方程为y=-(x-1)即x+2y=1.25页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用（11）已知z=xx+y(2yxy2x+e)，则zx(1,0)=.【答案】3【考点】多元函数的偏导数 【分析】由偏导数的定义得函数的导数问题.由偏导数的定义得zx(1,0)=dz(x,0)dxx=1，将多元函数的偏导数问题转化为一元zx(1,0)=dz(x,0)dxx=1=d3x)(dxx=1=3. . （12）交换二次积分的积分次序：【答案】0-1dy1-y2f

12、(x,y)dx=21dx1-x0f(x,y)dy【考点】交换积分次序【分析】由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D：-1y0，1-yx2.原式-0-1dy21-yf(x,y)dx=-dx1201-xf(x,y)dy=dx121-x0f(x,y)dy.*（13）设A是54矩阵，B是四阶矩阵，满足2AB=A，B是B的伴随矩阵，若A的列*向量线性无关，则秩rB=()【答案】4【考点】线性方程组的解；伴随矩阵的秩【分析】A(2B-E)=0因为r(A)=4，所以AX=0只有零解，即2B-E=0，亦即B=1E. 222（14）已知XN,1,YN2,2，X与Y相互独立，如果P(X-Y1)=()()1,则2

13、=【答案】-1【考点】正态分布【分析】因为X与Y相互独立，所以X-Y服从正态分布.222，即X-YN(-,1+2). E(X-Y)=-,D(X-Y)=12+21=P(X-Y1)=P2,=0,即=-1.三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）6页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用（15）（本题满分9分） 求极限I=limx0-20ve-vdv+1-e2x-x2-v2edv0. -x24【考点】洛必达法则；积分上限的函数的导数 解：I=limx0-x0ve-vdv+1-e2x-x2-v2edv0 -x242洛limx0x-x4-e22x-x4

14、11-x-v2 -+0edv+e222x2-x-e4 -2洛limx01 -2 （5分） =limx0-x0e-vdv-x242xee-x241-e4+xe-x24x2(-x2)1=-. （9分） 2（16）（本题满分10分）已知函数y=y(x)在任意点处的增量y=高阶无穷小，y(0)=，求y(2)的值.【考点】无穷小的比较；可分离变量的微分方程解：为求y(2)的值，需先求出未知函数y=y(x)的表达式，这就需要将题中关于未知函数yx+，且当x0时，是x的4+x2y,y,x的方程转化为一阶微分方程.为此先将所给方程化为两边对x求极限得到y'=yy=+. （2分） x4+x2xyy

15、9;1=,即. （4分） 4+x2y4+x2两边积分有dydx1d(x2)=（6分） y4+x221+(x2)2, 1arctan(x2)12得到lny=arctan(2)+lnC即y=Ce. （8分） 2将y(0)=代入得到C=，于是y=e（17）（本题满分11分） 1arctan(x)2，故y(2)=e8. （10分）2z2z设z=f(u,x,y),u=xe其中f具有二阶偏导数，求2,. xxyy7页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用【考点】多元函数二阶偏导数 uu =ey,=xey （1分）xyzu=fu'(u,x,y)+fx'(u,x,y)=fu

16、9;(u,x,y)ey+fx'(u,x,y) （3分） xx2zuuy''''''''(u,x,y) （5分） =fu,x,y+fu,x,ye+fu,x,y+fxx()()()uuuxxu2xxxyyy''''''''(u,x,y) =fu,x,ye+fu,x,ye+fu,x,ye+fxx()()()uuuxxu''(u,x,y)e2y+2fux''(u,x,y)ey+fxx''(u,x,y) （7分） =fuu

17、2zuu''(u,x,y)+fuy''(u,x,y)ey+fu'(u,x,y)ey+fxu''(u,x,y)+fxy''(u,x,y) =fuuxyyy（9分）yyyy'''''''''(u,x,y) =fu,x,yxe+fu,x,ye+fu,x,ye+fu,x,yxe+fxy()()()()uuuyuxu''(u,x,y)xe2y+fuy''(u,x,y)ey+fxu''(u,x,y)xey+fxy&#

18、39;'(u,x,y)+fu'(u,x,y)ey（11分） =fuu（18）（本题满分11分）设f(x)在-,上连续，且f(x)=x+f(x)sinxdx，求f(x). 2-1+cosx【考点】含积分值为常数的函数方程；对称区间上的积分性质解：由于f(x)为抽象函数，直接求f(x)sinxdx是不可能的，但若注意到 -f(x)sinxdx为常数，在原等式两边同时乘以sinx后再从-到积分，就可以将常数-因子分离出来进而求出f(x).在原等式两边同时乘以sinx,得xsinxf(x)sinx=+sinxf(x)sinxdx. （2分） -1+cos2x上式从-到积分,得xsinx

19、fxsinxdx=+sinxf(x)sinxdxdx （4分） -()-1+cos2x-其中-f(x)sinxdxsinxdx=f(x)sinxdx0=0 -（奇函数在对称区间上的积分为0） （6分）xsinxxsinx=2 -1+cos2x01+cos2x（偶函数在对称区间上积分的性质） （7分）8页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用xsinxx=-t21+cosx(-t)sin(-t) 01+cos2-tsinttsint- （9分） 2201+cost1+cost=则(-t)sintdt=1+cos2t2xsinxsintd(cost)（10分） =dt=-=-arct

20、an(cost)=22200041+cosx21+cost21+cost2f(x)sinxdx=-22，则f(x)=x1+cos2+x22. （11分）（19）（本题满分9分）计算二重积分xydxdy其中D=D(x,y)y0,x2+y21,x2+y2-2x0.【考点】二重积分的计算解：采用极坐标计算.设x=rcos,y=rsin，则二重积分的极坐标积分区域是1D=(,r)0,1r2cos. （2分）3xydxdy=dD1302cos1rcosrsinrdr=sincosd1302cos1r3dr （4分）114=3sincos(2cos)-1d （5分）041143=-cos(2cos)-1d

21、cos （7分）401194u=cos-2u16u-1du=. （9分） 1416（20）（本题满分11分）设A为三阶矩阵，1,2,3是线性无关的三维列向量，且满足A1=1+2+3，A2=22+3，A3=22+33.（I）求矩阵B，使得A(1,2,3)=(1,2,3)B； （II）求矩阵A的特征值；（III）求可逆阵P，使得P-1AP为对角阵.9页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用【考点】相似矩阵的性质；矩阵相似对角化解：（I）由条件有100 A(1,2,3)=(1,2,3) 122, （2分）113100 可知 B= 122. （3分）113（II）因为1,2,3线性无关，

22、可知C=(1,2,3)可逆，所以C-1AC=B，即A与B相似. （5分）由此可求-1E-B=-1-100-2-2=(-1)2(-4), -1-33=4. 得A,B的特征值均为1=2=1，（7分）（III）对应于1=2=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系1=(-1,1,0)，（8分） 2=(-2,0,1). TT对应于3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系3=(0,1,1). （9分） T-1-20 令 Q=(1,2,3)= 101,011100 -1则 QBQ= 010=.004-1-1-1因 =QBQ=QCACQ=(CQ)-1A(CQ),-1-20 01=(-1

23、+2,-21+3,2+3)即为所求. 所以P=CQ=(1,2,3) 1011（11分）（21）（本题满分11分）10页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=a5bx+bx+bx+bx=b112233445已知线性方程组的通解是2,1,0,3T+k1,-1,2,0T，c1x1+c2x2+c3x3+c4x4=c5d1x1+d2x2+d3x3+d4x4=d5如令i=ai,bi,ci,diT(i=1,2,3,4,5)试问：（I）1能否由2,3,4线性表示；（II）4能否由1,2,3线性表示，并说明理由.【考点】线性方程组解的性质和结构；向量的线性表

24、示解: （I）注意到i为所给方程组的增广矩阵的列向量，将方程组改写成列向量的形式：（2分） x11+x22+x33+x44=51 对应的齐次线性方程组为x11+x22+x33+x44=01的解，将其代入得到 因为1,-1,2,0为方程组11+(-1)2+23+04=1-2+23=0, （4分） 即1=2-23+04，因而1可由2,3,4线性表示； （5分）1的基础解系只含有一个解向量，故秩(A)=n-1=4-1=3，因而A的列（II）因方程组秩等于3. （7分）因为1可由2,3,4线性表示，故3=秩(2,3,4)=秩(1,2,3,4)=秩(1,2,3)+1,因而4不能由1,2,3线性表示. （11分）（22）（本题满分11分）设A,B为两个随机事件,且P(A)=111, P(B|A)=, P(A|B)=, 令 432A发生，1,1,B发生， Y= X=0，A不发生，0，B不发生.求：(I) 二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II) X与Y的相关系数 XY.【考点】乘法公式；二维离散型随机变量的分布律；二维离散型随机变量的协方差11页 （共13页） 数学（农）试题 第09届钻石卡学员用解：（I） 由于P(AB)=P(A)P(B|A)=1P(AB)1，P(B)= =, （2分）12P(AB)6所以，PX=1,Y=1=P(AB)=1, 121, 61 PX=0,Y=1