线性代数期末复习题

1、线性代数复习题判断题 (正确在括号里打 ，错误打 × )1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即2. 若一个行列式等于零，aabba bab则它必有一行cc c caabba ba b元素全为零，bb aab acccc或有两行(列)完全相同，或有两行(列)元素成比例3.若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D > 0.4.设 A, B, C都是 n 阶矩阵，且 ABC E ，则 CAB E .5.若矩阵 A 的秩为 r ，则 A 的 r1 阶子式不会全为零6.若矩阵 A 与矩阵 B 等价，则矩阵的秩 R(A) = R

2、(B).7.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合8.若向量组 1 ,2 ,., s 线性相关， 则 1 一定可由 2 ,., s 线性表示 .9.向量组 1,2,.,s 中，若 1 与 s 对应分量成比例， 则向量组 1, 2 ,., s 线性相关 . (10.1 , 2 ,., s (s 3) 线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关11.当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解12.齐次线性方程组一定有解13.若 为可逆矩阵 A 的特征值， 则 为1的特征值 .14.方程组 ( E A)x 0 的解向量都是矩阵A 的属于特征值 的特征向量

3、.15. n 阶方阵 A有 n 个不同特征值是 A 可以相似于对角矩阵的充分条件16. 若矩阵 A 与矩阵 B 相似， 则 R( A) R( B) .二、单项选择题aaa1112131. 设行列式m,aaa212223(A ) m n(B)(maa a an11 12 13 (12a a a则行列式21 22 23a21n) (C) n m(D) m n3 8 62. 行列式 512 的元素 a 的代数余子式10217A21 的值为 (A ) 33(B) 33(C) 56(D) 56117.四阶行列式1(A)(B)中 x 的一次项系数为 (C) 4(D)aa. aaa .a11121nn1n2

4、nnaa. aa a .a21222nn 1,1n 1,2n 1,n设D, 则D12aa. aaa .an1n2nn11121nn(n 1)(DD(B) D2D121A )(C D 2 (1)D18.)21D2 与 D1 的关系是 ( )(D) D 2 (n(n1)1)D119.(n 阶行列式 Dn )的值为(A) n(B)(C) an 1bn( 1)(D) n(a b)20. 则1 已知 A21.22.23.24.(A) 1(A)5(A ) AB(B)(C) 2(D) 3阶方阵且(B)5n则 (T5 A1 则T ) 1T )(C) 5 n(D) 5 n矩阵， B 是矩阵(mn)则下列运算结果

5、是阶方阵的是A 和 B 均为(A) A E设 A 、 B 均为T(B) A B阶方阵，且(C) BAT(D) ( A B)B)22AB B ，则必有(B) B E(C) A B(D)ABBAn 阶方阵，满足等式AB O ，则必有 ( )(A ) A O 或 B O (B) A B O(C) A 0 或 B 0 (D)AB025. 设 A 是方阵，若有矩阵关系式AB AC ，则必有 ( )(A) A O (B) B C 时 A O(C) A O 时 B C(D) Aaaaa11121321Aaaa ,Ba21222311aaaa a31323331 1126. 已知方阵a22a12 aa32 1

6、2a23a ，以及初等变换矩阵13a a33,P010有 则(A) AP1 2 BP(B) AP2 P1 B(C) P2 P1 A B(D) P1P2 A B27. 设 A、 B 为 n 阶对称阵且B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是1 1 (A ) AB B A1 1(B) AB B A(C) B AB2(D) ( AB)28. 设 A 、 B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是 ( )(A) 若 A、B 均可逆，则 A+B 可逆(C) 若 A+B 均可逆，则 A B 可逆(B) 若 A、B 均可逆，则 AB 可逆(D) 若 A+B 可逆，则 A、B 均可逆29. 下

7、列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵(B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵(C) 非奇异阵等价于单位阵(D) 奇异阵等价于单位阵30. 设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中 ( )(A) 所有 r 1 阶子式都不为 0 (B) 所有 r 1 阶子式全为 0(C) 至少有一个 r 阶子式不为 0(D) 所有 r 阶子式都不为 031. 设 A、 B、 C 均为 n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ，(2) BAC = E ，(3) CAB = E ，(4) CBA = E中，一定成立的是 ( )32. 设 A 是 n 阶

8、方阵，且 A sO(s 为正整数 )，则 (E A) 1 等于 ()1(A )EA(B) EA1(C)2 AAs. A(D) E A3 1233. 已知矩阵A1 01*， A 是 A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2) 的元素是( )(A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)2 14As 1(A) 6(B) 6(C) 2(D) 2334. 已知 A 为三阶方阵， R(A) = 1 ，则 ()( R( A )A )3(B) R( A ) 2(C) R( A ) 1(D) R( A ) 035. 已知 3 4 矩阵 AT 的行向量组线性无关，则矩阵

9、 A的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 436. 设两个向量组 1, 2, ., s 和 1, 2, ., s 均线性无关，则( )(A)存在不全为0 的数 1, 2s 使得112 2 .和 1 1 2 2 .s s 0s0 s(B)存在不全为0 的数 1, 2s 使得( 11)2 ( 22) . ( )01 s ss(C)存在不全为0 的数 1, 2s 使得( 11 2 22) . ( )0) (1 s ss(D)存在不全为0 的数 1, 2s 和不全为 0 的数1, 2 , ., s 使得112 2 .0 和 1 1 2 2.s s 0s s37. 设有 4 维向量组 1

10、, 2 ,., 6 ，则 ( )(A) 1,2, .,6 中至少有两个向量能由其余向量线性表示(B) 1, 2, .,6 线性无关(C) 1, 2, .,6 的秩为 4(D)上述说法都不对38. 设 1, 2, 3 线性无关，则下面向量组一定线性无关的是39.(A ) 0, 2 , 3(C ) 1 ,2 2 3n 维向量组 1, 2 , ., s (3(B) 1 , 22, 3(D) 1 2, 2n) 线性无关的充要条件是3, 3(A) 1,2, .,s 中任意两个向量都线性无关(B) 1, 2, .,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) 1, 2, .,s 中任一个向量都不能用其余

11、向量线性表示(D) 1,2, .,s 中不含零向量40. 下列命题中正确的是 ( )(A) 任意 n 个 n+1 维向量线性相关(B) 任意 n 个 n+1 维向量线性无关(C) 任意 n+1 个 n 维向量线性相关(D) 任意 n+1 个 n 维向量线性无关为任意常数，则方程组Ax 0 的通解为 ( )41. 已知线性方程组a x11 1 ax21 1a x . a x 012 2 1n na 22 x. a x022 n n的系数行列式 D =0 ，则此方程组(A) 一定有唯一解(C) 一定无解an1an2x .2nn(B)(D)一定有无穷多解不能确定是否有解(A) 一定有唯一解(C) 一

12、定无解(B) 一定有无穷多解(D) 不能确定是否有解43. 已知(A)A 为 m n 矩阵，齐次方程组A 的列向量线性无关Ax 0 仅有零解的充要条件是 (B) A 的列向量线性相关)换成常数项得到的行列式a xa x .axb11 112 21nn1axaxax21 122 .2nnb2 的系数行列式2a n1 xa x .axb1n2 2nnnnD1 0 ，则此方程组()42. 已知非齐次线性方程组(C) A 的行向量线性无关44. 已知 A 为 m n 矩阵，且方程组(D) A 的行向量线性相关Ax b 有唯一解，则必有 ( )(A ) R(A,b) m(B) R( A,b) n(C)

13、R( A, b) m(D) R( A,b) n45. 已知 n 阶方阵 A 不可逆，则必有 ( )(A ) R( A) n(B) R( A) n 1(C) A 0(D) 方程组 Ax 0 只有零解(A)1 2 是 Ax0 的一个解(B)1()是 Ax b 的一个解122(C)1 2 是 Ax0 的一个解(D)212 是 Ax b 的一个解Ax b 的任意两个解，则下列结论错误的是v1 v2 v3 v4 是该方程组的n+1 ，则此方程组 (46. n 元非齐次线性方程组 Ax b 的增广矩阵的秩为(D) 不能确定其解的数量(A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解47. 已知 1, 2

14、是非齐次线性方程组(A)解向量(B)基础解系(C) 通解 (D) A 的行向量49. 若 是线性方程组Axb 的解， 是方程 Ax 0 的解，则以下选项中是方程Ax b 的解的是 () (C 为任意常数)(A)C(B)C C (C) C C(D) C 48. 若 v1, v2 , v3, v4 是线性方程组Ax 0 的基础解系，则()50. 已知 m n 矩阵A 的秩为 n 1 ， 1 , 2 是齐次线性方程组Ax 0 的任意两个不同的解，(C) k( 1 2 )(D) k(1 2)( ) k (B) k 2A151. n 阶方阵 A 为奇异矩阵的充要条件是()(C) A 的特征值都等于零(D

15、) A 的特征值都不等于零52. 已知 A 为三阶方阵， E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为 1, 2, 3 ，则下列矩阵中是(B) A 0(A) A 的秩小于 n可逆矩阵的是 ( )(A) A E(B) A E(C) A 3E (D) A 2E1, 2 ，则 ( )1, 2, 3 分别是相应的特征向量，则A 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为k，则必有 ()(A) k3(B) k 3(C) k 356. 矩阵 A与 B 相似，则下列说法不正确的是( )(A) R(A) = R(B)(B) A = B(C) A B55. 已知 0 是矩阵 A 的特征方程的三重根，57. n 阶方阵

16、 A 具有 n 个线性无关的特征向量是(D) k 3(D) A 与 B 有相同的特征值A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件53. 已知 1 , 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为(A) 1 和 2 线性相关(B) 1 和 2 线性无关(C) 1 和 2 正交(D) 1 和 2 的内积等于零54. 已知 A 是一个 n( 3) 阶方阵，下列叙述中正确的是 ( )(A) 若存在数 和向量 使得 A ，则 是 A 的属于特征值 的特征值(B) 若存在数 和非零向量 使得 ( E A) 0 ，则 是 A

17、的特征值(C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若 1, 2 , 3 是 A 的三个互不相同的特征值，有可能线性相关1, , 2 358. n 阶方阵 A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵(B) A 的 n 个列向量都是单位向量(C)(D) A 的 n 个列向量是一个正交向量组59. 已知 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是 ( )2(A) A 1 (B) A 必为 11 T(C) A A (D) A 的行 (列 )向量组是单位正交组660. n 阶方阵 A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵 E1 T(C) A A(B) A 相似于对角

18、矩阵(D) A 的 n 个列向量是一个正交向量组61. 已知 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B C AC ，则 ( )(A) A 与 B 相似(B) A 与 B 不等价(C) A 与 B 有相同的特征值(D) A 与 B 合同三、 填空题3. 已知 a31 a 2i a13 a 5k a 44 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k =4. 已知三阶行列式1D436 ， Aij 表示元素9aij对应的代数余子式，则与aA21 bA22 cA23对应的三阶行列式为5.已知0 ，则 x =6.已知A，B 均为n 阶方阵，且 A0,0 ，则7.已知8.9.T(2A)B12 ABA 是四阶

19、方阵，且 A 1 3 ，已知三阶矩阵 A， 3A的三个特征值分别为1, 2, 3，则 4A 1设矩阵Aa11a12a13，B 是方阵， 且 AB 有意义， 则B是阶矩阵， AB 是 行列矩阵 .10. 已知矩阵a21a22a23A, B,C (cij )s n，满足 ACCB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵 .211. 可逆矩阵 A 满足 A22EO，则A112. 已知 1 (1, 1, 1) , 2T(x, 0, y) , 3T(1, 3, 2) ，若 1, 2, 3 线性相关，则 x，y 满足关系式7a a11 1262. 矩阵 A a a 的行向量组线性关 .21 22a a31 326

20、3. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .64. 设 A 是 3 4 矩阵， R(A) 3 ，若 1, 2 为非齐次线性方程组Ax b 的两个不同的解， 则该方程的通解为 .65. 已知 A 是 m n 矩阵，R( A) r ( n) ，则齐次线性方程组Ax 0 的一个基础解系中含有解的个数为 .66.67.68.1 2已知方程组 2 31 a若齐次线性方程组2已知矩阵 A 31x11a 2x2无解，则a = .22x33xxx01 123xxx0 只有零解，则 需要满足1 2 3x x x 01 2 30 11 x 可相似对角化，则 x =69.已知向量、 的长度依次为

21、2 和3，则向量内积 , 1470.已知向量a0 ,b 2， c 与 a 正交，且 b a c ，则，c2312 1 271.已知 x1为A5 a3的特征向量，则 a =，b =11 b24 0 572. 已知三阶矩阵A 的行列式 A8 ，且有两个特征值1和 4，则第三个特征值为73. 设实二次型 f (x 1, x2 ,x3, x4 ,x5) 的秩为 4 ，正惯性指数为3 ，则其规范形 f (z 1, z2 , z3 ,z4, z5 )为.74.二次型 f2的矩阵为.(x1, x , x )2x x 4x x3x2 31 2 2 3312075.已知二次型 f ( x, y, z)的矩阵为

22、235，则此二次型 f (x, y, z)050276. 已知二次型f ( x1, x , x ) 2x2 3 12 2 3x tx2 32x1 x2 2x1x3 是正定的，则t 要满足8四、行列式计算77.已知 A， B 为三阶方阵，1, B 2 ，求行列式* ) 1 (2AB A78.已知行列式 D，求 5A 11 A21 4A 31 A41 .79.计算 n 阶行列式 Dn，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是 1 ，其它元素都是0.80. 式计算n 阶行列81.计算n 阶行列式 D82.计算行列式83.计算行列式84.计算行列式x1x1x2x 32xnx x . x 31

23、2 n9五、矩阵计算8设5. A23 1T 1，求(1) AB ； (2) 4A24 0B86. 已知5 ，且 AX1B X ，求 X.87. 设B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且 AB E，求 B. B88. 设1100213401100213,C0011002100010002101BT，E为四阶单位阵，且矩阵X 满足关系式X (CB)E，X.89. 已 知，且XAB，求 X.3k90. 设2k，问：当k 取何值时，(1) R( A) 1 ；(2) R( A)；(3) R( A) 3 .六、向量组的线性相关性及计算1 3 451 4 121设3. ，求向量组 1,2,3, 4 的秩和一

24、个最大线性无11232231关向量组，并判断1,2, 3 ,4 是线性相关还是线性无关.12134901014. ,设1234，求此向量组的秩和一个最大无关组，1342并将其余11370317向量用该最大无关组线性表示1091. 当 a 取何值时，向量组a1 22 ,1 1 21 231 2线性相关？a11492. 将向量组 2 ,3 ,1规范正交化 .123110七、线性方程组的解2130130115.1，试判断 4 是否为 1, 2, 3 的线性组合；若是，则求出线性表达式16.求解非齐次线性方程组4x13x x1 211x12x22x3 3x 2x2310817. 求解非齐次线性方程组x

25、x3xx112343xx3x4x4.1234x5x9x8x01 2 3 418. 当 k 满足什么条件时，线性方程组xx2xk123x12x2kx32 有唯一解，无解，有无穷多解？并在 k2xx2 k012x3有无穷多解时求出通解1kx kx x 21 2 319. 当 k 满足什么条件时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多解？2kx2(kkx3并在有无穷多解时求出通解xx 24 53x2xxx3xa20. 已知非齐次线性方程组Ax b 为12345，问：当 a 、 b 取何值时，方x2x2x6x323455x14x23x33x4x5b程组 Ax b 有无穷多个解？并求出该方程组的通解11x

26、xx01 2393. 设方程组 x 2ax 0 与方程1 x 2232 0x 2a x31 4x2x1 2x 2 x3 a 1 有公共解，求 a 的值 .94. 设四元非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵21且322 ，求该方程组的通解13435 4A 的秩为 3，已知 1, 2, 3 是它的三个解向量，95.Ax b 的增广矩阵 A A b ， A 经过初等行变换为A00则 (1) 求对应的齐次线性方程组Ax 0 的一个基础解系；(2) 取何值时，方程组 Axb 有解？并求出通解八、方阵的特征值与特征向量21.2已知 A 0000 ，若方阵 A 与 B 相似，求 x 、 y 的值 .1x、

27、22.设方阵01 A000的一个特征值为 3 ，求1y 的值 .13A的值. 3.已知三阶方阵 A 的特征值为1、2、3 ，求行列式 A2E4. 求方阵10 的特征值与对应的特征向量35. 设A1，求可逆矩阵 P ，使得 P AP为对角矩阵 .212十、证明题6. 已知向量组 1, 2, ., r 线性无关，而1, 2 1 2, ., r 1 2 . r ，证明：2 096.1为对角矩阵 .设A212，求正交矩阵 P，使得 P AP02011097.已知矩阵 A430 , 判断是否存在一个正交矩阵P, 使得 P AP 为对角矩阵 .10202298. 已知矩阵A2341 为对角阵 的特征值为 1、1 、 8 ，求正交矩阵 P，使得 P AP243九、二次型2 2223.当 t 取何值时，f (x 1, x, x ) x 4x4x2 tx1x22x 1x3 4x 2x3 为正定二次型？23 1 2324.求一个正交变换把二次型f ( x1, x2 ,x 3)2x1x22x 2 x32x 3x