丰台区重点高中新高一年级开学分班数学统一考试

1、2017 丰台重点高中新高一年级开学分班统一考试数学试题本试卷包括三个大题，共8页，满分100分，考试时量 90分钟。一、选择题：1 .下列计算，正确的是（）A . a2?a2=2a2B. a2+a2=a4C. （-a2） 2=a4D. （a+1） 2=a2+12 .如图，/ AOB的一边 OA为平面镜，/ AOB=37 36；在OB上有一点 E,从E点射出一束光线经 OA 上一点D反射，反射光线 DC恰好与OB平行，则/ DEB的度数是（）位数是14.5D.平均数是A. 75° 36'B. 75° 12'C. 74° 36'D. 74&#

2、176; 12'年龄（岁）13141516龄如表：关于这12误的是（）差是3C.中人数15423.某中学篮球队12名队员的年 名队员年龄的年龄，下列说法错A .众数是14B.极14.84 .如图，在 4ABC中，AB=AC , / A=30° , E为BC延长线上一点，/ ABC与/ ACE的平分线相交于 点D,则/ D的度数为（）A. 15°B, 17.5 °C, 20°D, 22.5 °5 .已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（）A. 5B, - 1C, 2D, - 56 .有3块积木，每一块的各面都涂上

3、不同的颜色，3块的涂法完全相同， 现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A.白B.红C.黄D.黑7 .如图，4ABC的面积为6, AC=3 ,现将 ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C'处,P为直线AD上的一点，则线段 BP的长不可能是（）A. 3C 5.5D. 108 .如图，四边形 ABCD是菱形，AC=8 , DB=6 , DH ±AB于H,则DH等于（）2412A. B. -C. 5D. 4559 .已知点P（ a+1,-趣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）10 .如图，已知

4、二次函数 y=ax2+bx+c （aw。的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0,a+b+c>0,a>b,4ac-b2<0;其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个、填空题:11 .九章算术是中国传统数学最重要的着作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用 .九章算术中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出 .问户高、广、邪各几何译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短 .横放，竿比门宽长出 4尺；竖放，竿比门高 长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等 .问门高、宽、对角线

5、长分别是多少若设门对角线长为x尺,则可列方程为.112 .已知直线y=2x+2与x轴、y轴分别父于点 A , B .若将直线y = - x向上平移n个单位长度与线2段AB有公共点，则n的取值范围是;13 .如图，在半径为 3的。O中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC, BD ,若AC=2 ,则tanD=.14 .如图，点A的坐标为（-4, 0）,直线尸在x+n与坐标轴交于点 B、C,连接AC,如果/ ACD=90° , 则n的值为.15 .如图，在 4ABC中，/ C=90°, AC=BC=，,将4ABC绕点A顺时针方向旋转 60°到AB' CJ位 置

6、，连接C' B,则C B=.16 . 在一节数学课上，老师布置了一个任务:已知，如图1,在RtzXABC中，/ B=90。，用尺规作图作矩形 ABCD.同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图2,他向同学们分享了作法： 分别以点A, C为圆心，大于1AC长为半径画弧，两弧分别交于点 E , F ,连接EF交AC于点O ;2作射线BO,在BO上取点D,使OD=OB；连接AD , CD.则四边形ABCD就是所求作的矩形.老师说： 小亮的作法正确.”小亮的作图依据是 .三、解答题：17 .如图，。为 ABC的外接圆，直线l与。相切与点P,且1/BC.(1)请仅用无刻度的直尺，在o O中

7、画出一条弦，使这条弦将 ABC分成面积相等的两部分 (保留作图痕迹，不写作法)；(2)请写出证明 ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路.18 . Pn表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn=n(n_ 1)? (n2-an+b)(其中a, b是常数，n>4 24(1)通过画图，可得：四边形时，P4=；五边形时，P5=(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a, b的值.19 .小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区450户具名的生活用水情况，他从中随机调查了 50户居民的月均用水量(单

8、位：t),并绘制了样本的频数分布表：月均用水量2<k 33Wx< 44 W k 55< x< 66 W 77< x< 88<x 9频数2121032百分比4%24%30%20%6%4%(1)请根据题中已有的信息补全频数分布：,;(2)如果家庭月均用水量在 5<x< 8范围内为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户(3)记月均用水量在 2wx 3范围内的两户为 a1，a2,在7Wx< 8范围内的3户b1、b2、b3,从这5户家 庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取出的2户家庭来自不同范围的概率.a1a2b

9、1b2b3a1a2b1b2b3220 .已知关于x的一兀二次万程(m1)x (m + 1)x + 2=0 ,其中m#1 .(1)求证：此方程总有实根；(2)若此方程的两根均为正整数，求整数 m的值21 .已知：如图，平行四边形 ABCD的对角线相交于点 。，点E在边BC的延长线上，且 OE=OB,联结DE . (1)求证：DEL BE;222(2)设 CD 与 OE 交于点 F,若 OF + FD = OE , CE = 3 , DE = 4 ,求线段 CF 长.22 .如图，在矩形 OABC中，OA=3, OC=2 , F是AB上的一个动点(F不与A, B重合)，过点 F的反比例函数y= -

10、 (k>0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，4EFA的面积最大，最大面积是多少23 .如图，AC是OO的直径，BC是OO的弦，点P是OO外一点，连接PB、AB , / PBA= / C .(1)求证：PB是。的切线；(2)连接OP,若OP/ BC,且OP=8, OO的半径为2亚，求BC的长.24 .如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (-加，0), B (0, 3), C (0, -1)三点.(1)求线段BC的长度；(2)若点D在直线AC上，且DB=DC ,求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，直线 BD上应该存在点P,使以A,

11、B, P三点为顶点的三角形是等腰三角形.请利用尺规作图作出所有的点P,并直接写出其中任意一个点P的坐标.(保留作图痕迹)25 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw。的对称轴为直线 x= - 1,且抛物线经过 A (1, 0) , C (0, 3) 两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x= - 1上找一点M ,使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，求出点 M 的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x= - 1上的一个动点，求使 4BPC为直角三角形的点 P的坐标.26 .如图，在 ABD中，AB=AD

12、,将 ABD沿BD翻折，使点 A翻折到点 C, E是BD上一点，且 BE>DE ,连 结CE并延长交 AD于F,连结AE.(1)依题意补全图形；(2)判断/ DFC与/ BAE的大小关系并加以证明；(3)若/ BAD =120° , AB=2,取 AD的中点 G,连结 EG,求EA+EG的最小值.备用图27 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 M (a,b )及两个图形 皿和W2，若对于图形 W,上任意一点 P(x,y),在图形 W上总存在点 P'(x：y'),使得点P'是线段PM的中点，则称点 P'是点P关于点M的关联点，图一 x a y b

13、形W2是图形 W1关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足x' = , yf = -一 .22(1)点P'(2,2 )是点P关于原点O的关联点，则点 P的坐标是 ；(2)已知，点 A(Y,1), B(2,1), C(2,1), D(-4,-1 )以及点 M(3,0)画出正方形 ABCD关于点M的关联图形；在y轴上是否存在点N ,使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y = x分 成面积相等的两部分若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.答案-、选择题：1.下列计算，正确的是（ C ） A. a2?a2=2a2B. a2+a2=a4C. （- a2） 2=a4D. （

14、a+1） 2=a2+1【考点】哥的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数哥的乘法；完全平方公式.2.如图，Z AOB的一边OA为平面镜，/AOB=37 36；在OB上有一点E,从E点射出一束光线经 OA 上一点D反射，反射光线 DC恰好与OB平行，则/ DEB的度数是（B）A . 75 36'. 75° 12'. C4° 36'. D4° 12'3 .某中学篮球队12名队员的年龄如表：关于这 12名 队员年龄的年龄，下列说法错误的是（ D ）4.如图，在 4ABC 中，AB=AC , /A=30°, E 为 BC 延长线上一点

15、，/ ABC与/ ACE的平分线相交于点 D ,年龄（岁）13141516人数1542则/ D的度数为（A）A. 15° B. 17.5 °C. 20° D, 22.5 °【考点】等腰三角形的性质.5 .已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（B）A. 5 B. - 1 C. 2 D. - 5【考点】根与系数的关系.6 .有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同， 现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（ C）A.白B.红C.黄D.黑【分析】根据图形可得涂有绿色一面的邻边是

16、白，黑，红，蓝，即可得到结论.【解答】解：.涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，.涂成绿色一面的对面的颜色是黄色，7 .如图，4ABC的面积为6, AC=3 ,现将 ABC沿AB所在直线翻折， 使点C落在直线AD上的C'处,P为直线AD上的一点，则线段 BP的长不可能是（A）A . 3 B . 4 C, 5.5 D. 10【分析】过B作BNXAC于N, BMLAD于M,根据折叠得出/ C' AB=Z CAB ,根据角平分线性质得出BN=BM ,根据三角形的面积求出 BN,即可得出点B到AD的最短距离是4,得出选项即可.8 .如图，四边形 ABCD是菱形，AC=8 , DB=6

17、, DH ±AB于H,则DH等于（A）A 24 c 12，A . "T" B .C. 5 D. 4b 5【分析】根据菱形性质求出AO=4, OB=3, /AOB=90，根据勾股定理求出 AB,再根据菱形的面积公式求出即可.10 .已知点P （a+1,-彳+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（C）【解答】解：丁点P （a+1, - -| +1）关于原点的对称点坐标为：（- a- 1,1）,该点在第四象限，u a_ 1>0 .且,解得：a< T，6 1 .卢12则a的取值范围在数轴上表示为：11 .如图，已知二次函数 y=a

18、x2+bx+c （awq的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0,a+b+c>0,a>b,4ac- b2<0；其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得 c=0,所以abc=0；然后根据x=1时，yv0,可得a+b+cv0；再根据图象开口向下，可得 a<0,图象的称轴为 x=-|,可得-三二-b<0, 22a 2所以b=3a, a>b；最后根据二次函数 y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得 。，所以b2-4ao0, 4ac- b2<0,据此解答即可.二、填空

19、题：2221c11.x =（x4） +（x2）12.-< n<213 .如图，在半彳仝为3的。中，直径AB与弦CD相交于点 E、连接AC. BD.若AC=2加tanD= 2比 .【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接 BC构造直角三角形是解题的关键.14 .如图，点A的坐标为（-4, 0）,直线y=Vx+n与坐标轴交于点 B、C,连接AC,如果/ ACD=90° , 则n的值为.15 .如图，在 4ABC中，/ C=90 , AC=BC= 近，将4ABC绕点A顺时针方向旋转 60°到AB' C的 位置，连接C' B则C&

20、#39; B= J1- 1 .【分析】连接BB',根据旋转的性质可得 AB=AB ,判断出4ABB是等边三角形，根据等边三角形的三 条边都相等可得 AB=BB ,然后利用 边边边”证明 ABC和B' BCir等，根据全等三角形对应角相等可 得/ABC =/B' BC,延长BC交AB'于D,根据等边三角形的性质可得BDLAB',利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C' D,然后根据BC =BD- C' D计算即可得解.故答案为：表T.16 .到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，对角线互相

21、平分的四边形是平行四边形，有 一个角是直角的平行四边形是矩形.三、解答题：17.18. Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn=-L? （n2- an+b）（其中a, b是常数，n>4）（1）通过画图，可得：四边形时，P4= 1 :五边形时，P5= 5（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求 a, b的值.【解答】解：（1）画出图形如下.由画形，可得：当 n=4 时，P4=1 ；当 n=5 时，P5=5.故答案为：1; 5.（2）将（1）中的数值代入公式,4X(4-1)1=245乂(5-1)5=* (4

22、2 - 4a+b)*(S2 - 5a+b)解得:450户具名的生活用水情况，他19. 小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区从中随机调查了 50户居民的月均用水量(单位：t),并绘制了样本的频数分布表:月均用水量2<k 33<X 44 W55< x< 66<77< x< 88<x 9频数2121032百分比4%24%30%20%6%4%(1)请根据题中已有的信息补全频数分布:D 15 , 6 , 12% ；(2)如果家庭月均用水量在 5<x< 8范围内为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多

23、少户(3)记月均用水量在2wx 3范围内的两户为 a1,a2,在7WX 8范围内的3户b1、b2、b3,从这5户家2户家庭来自不同范围的概率.15- 10-3-2=6,6与0=0.12=12% ,庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取出的【解答】解：(1)50X30%=15, (2)50-2- 12-故答案为：15, 6, 12%;(2)中等用水量家庭大约有 450X (20%+12%+6%) =171 (户)；洱5(美、y(tx, T a, Jt 口“ sQ冉< 口，.巨工)(d： a”工氏.不)t>TE3 一电.a< 口一 a(X A£ 6，26. ( e&g

24、t;t 0 J(3)抽取出的2户家庭来自不同范围的概率：c 12 3P=P 20 5【点评】此题主要考查频数分布表和概率的相关知识，会求频数，会用样本估计总体，会用列表法求事 件的概率是解题的关键.20. (1)证明：由题意 m #1 .A = -(m+1 丘-4M2(m-1 )21m-3 恒成立,:方程(m1 )x2 _(m+1 )x +2=0总有实根;2(2)斛：斛万桂(m1)x -(m+1)x+2 = 0,得为=1 , x2 =m -1.方程，彳、2 ,八的两根均为正整数，且 m是整数，m -1 x - m 1 x 2 =0m1 =1 ,或 mT =2.m =2 ,或 m =3.21.

25、(1)证明：:平行四边形 ABCD, a OB=OD. OB=OE, a OE=OD.a D./OED=/ODE.1分. OB=OE, ./1 = /2./夕./ 1 + /2+/ODE + /OED=180。，C 岂/2+/OED=90°.；DE，BE;2 分(2)解：. OE=OD, OF2+FD2=OE2,222OF FD =OD .OFD为直角三角形，且/ OFD=90 .3 分在 RtACED 中，/ CED=90 , CE=3, DE = 4,222CD =CE +DE . CD =5.4 分-1 -1 -12又 -CD EF =CE DE，:. EF =一. 225，.

26、012在 RtACEF 中，/ CFE=90 , CE=3, EF =5 9根据勾股定理可求得 CF=9.5分522.如图，在矩形 OABC中，OA=3, OC=2 , F是AB上的一个动点(F不与A, B重合)，过点F的反比例函数y= (k>0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，4EFA的面积最大，最大面积是多少【分析】(1)当F为AB的中点时，点F的坐标为(3, 1),由此代入求得函数解析式即可；(2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可.【解答】解：(1)二.在矩形 OABC 中，

27、OA=3 , OC=2, . B (3, 2), ,_ . lc . 一一。iF为AB的中点，F (3, 1),二点F在反比仞函数y= (k>0)的图象上， 3，k=3,该函数的解析式为 y= (x>0)；(2)由题意知E, F两点坐标分别为 E (1, 2) , F (3,易，SAEFA=-AF?BE=-1x-|k(3 *),二权-*k2=-* (k-3)号3当k=3时，S有最大值.S最大值=7.23.如图，AC是。的直径，BC是。O的弦，点 P是。外一点，连接 PB、AB , / PBA= / C .(1)求证：PB是。的切线；(2)连接OP,若OP/BC,且OP=8, OO的

28、半径为2a,求BC的长.【考点】切线的判定.【分析】(1)连接OB,由圆周角定理得出 Z ABC=90 ,得出/C+/BAC=90 ,再由OA=OB ,得出/ BAC= / OBA ,证出/ PBA+ / OBA=90 ,即可得出结论；(2)证明ABCspbO,得出对应边成比例，即可求出BC的长.【解答】(1)证明：连接OB,如图所示：. AC 是。的直径，/ABC=90 , . C+/BAC=90 , OA=OB , . . / BAC= / OBA ,./PBA=/C,/ PBA+/ OBA=90 ,即 PBXOB, ，PB 是。的切线;(2)解：:。的半径为 2近,，OB=2 近，AC=

29、4 我，/ OP / BC , ，/C=/BOP,又. / ABC= / PBO=90 , . .ABCspbO, 即 . BC=2 .OB OP 2V2824.解：(1) B (0, 3) , C (0, 1) .-. BC=4.纵坐标(2)设直线AC的解析式为y=kx+b ,V, b= - 1把 A (-灰，0)和 C (0, - 1)代入 y=kx+b ,-l=b,一.解得:直线AC的解析式为：y=-吞x-1.0二飞 k+bDB=DC , .点D在线段BC的垂直平分线上.为1.把y=1代入y= 亚X - 1 ,解得x= 2 /2,D的坐标为(2正，1) .3分(3)当A、B、P三点为顶点

30、的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(-3加，0),(-无，2),(-3, 3-灰)，(3, 3+正)，写出其中任意一个即可 5分25.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (aQ的对称轴为直线 x= - 1,且抛物线经过 A (1, 0) , C (0, 3) 两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x= - 1上找一点M ,使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，求出点 M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x= - 1上的一个动点，求使 4BPC为直角三角形的点 P的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)先把点A, C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根据抛物线