一道几何题的解法赏析与启示

1、一道几何题的解法赏析与启示基于圆的平面几何问题， 主要体现对学生直观想象、 逻辑推理、数学运算等数学核心素 养的考查，也突出对学生发散思维能力白考查，这类问题值得我们研究 .本文对笔者所在地 市的一道中考题作一分析，以期对读者有所启发 一、试题呈现题目(2019年恩施中考题)如图1,在圆。中，AB是直径，BC是弦，BC BD , 连接CD交圆。于点E, BCD BDE .(1)求证：BD是圆。的切线；(2)过点E作EF AB于点F ,交BC于点G ,已知DE 2尺，EG 3 ,求BG的长.I)。5图1图工二、第(1)问的七种证法赏析证法1如图2,连结AE ,则 A C .因为AB是直径，AEB

2、 90 ,A ABE 90 .Q C DBE,DBE ABE 90 ,即 ABD 90 ,所以BD是圆O的切线.证?t 2如图2,连结AE交BC于点M ,根据等弧对等角，有 ABC AEC .因为AB是直径，MEB MBE又 EMB AECAECABD ABC90 .CDBE, MBE DBE 90所以BD是圆O的切线.证法3如图3,连结EO延长交圆。于点H ,根据等弧对等角，有 C H .因为EH是直径，HEB H 90QOE OB, HEB ABE.又 C DBE , ABE DBE 90，所以BD是圆O的切线.图3图4证法4如图4,延长EF交圆O于点H，则劣弧BE与劣弧BH相等, HEB

3、 DCB.又 ABDE DBE,在 Rt EFB 中， HEB FBE 90 ,DBE FBE 90 .所以BD是圆O的切线.证法5 （内接四边形性质）如图5,连结AC,则四边形 ABEC为圆。的内接四边形，于是，有 ABE ACE 180 .Q ACE DCB ACB, DCBDBE, AB 是直径，ABE DBE 90180 ,即 ABE DBE 90 ,所以BD是圆O的切线.o图5图6证法6（平行线的判定）参照图4,连结EF延长交圆O于点H ,劣弧BE与劣弧BH相等,HEB DCB.又 DCB DBE, HEB DBE,DB / EF , DB AB ,所以BD是圆O的切线.证法7（圆周

4、角与圆心角性质）如图6,连接EO,CO.Q AOC COE BOE 180 ,2 ABC 2 CBE 2 DBE 180 ,即 ABC CBEDBE 90 ,所以BD是圆O的切线.评注 第（1）问人手容易，切入点较多，除了上述七种证法，还有其他证法，但出发点 都要基于“等弧对等角”，落脚点都是 ABD 90 .这里 ABD可以看成三个角ABC MBEDBE之和，也可以看成两个角DBE ABE之和.这个过程其实就是对学生直观想象、逻辑推理及数学核心素养的考查，要求学生能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其性质，掌握一些基本的证明，并有一条理地表述论证过程三、第（2）问的三种解法赏析解法1 （利

5、用相似三角形）参照图4,延长EF交圆。于H ,则劣弧BE与劣弧BH相等,HEB DCB.又 EBCGBE,EBC:GBE ,BEBGBCBEQ BC BD, D C ,又Q C DBE, D DBE ,DE BE 2.记.又 DB AB, DB/EF,D CEF C , CG GE 3,BC BG CG BG 3, 2 10 BG 3BG2x10 .BG 8 （舍去），或 BG 5,BG 5.解法2 （利用勾股定理）如图7,作EL DB于L.Q DB AB, DB / EF ,所以四边形EFBL为矩形.Q BC BD, D C.又Q C DBE , D DBE , DE BE 2M L 为 B

6、D 中点.设 EF x,贝U BD 2x, BF 40 x2 .由 DBEF ,得 D CEF C , CG GE 3.又 BC BD,BG 2x 3.在 Rt BGF 中，FG2 BG2 BF2, _2_22即（x 3）2 （2x 3）2 40 x2 ,解得 x 4, BG 5.I)解法3 （利用角平分线定理和切线定理 ）参照图 1, Q DB AB, DB/ EF ,CEF D, BEF DBE .QBC BD, D CEF C, CG GE 3.又 C BDE , 以 CEFBEFD ,即EF为 CEB的角平分线，DE BE 2.10.在CEB中，由角平分线定理，得CE CGBE BGB

7、E CG 6,10CE BG BG由切线定理，得BD2 DE DC ,即 BC2 DE (DE CE),即(BG 3)2 2/l0(2 Vie CE),BG2 6BG 9令BG x ,有x340120BG_ 2_一6x 31x 1200,即(x 5)(x 8)(x 3) 0,解得x 5,或xBG 5.8 （舍去），或x 3 （舍去）,评注 本题的初衷是考查义务教育阶段平面几何中求线段长度的通性通法.教学中一直强调求线段长度要转化到求三角形的边长，而求三角形边长的通性通法，要么是利用相似三角形对应边成比例， 要么是利用勾股定理，从这点来讲，学生在本题中的数学思维、思路方向上不会出现偏差；接下来就

8、是如何基于已知条件，利用逻辑推理与数学运算，分析问题和 解决问题.本题中题设恰好有切线与角平分线，也从某种程度考查了学生的数学视野和知识 应用能力，即切线定理和角平分线定理的应用四、教学启示中考题一般含有丰富的数学内涵，也体现了命题专家的心血和智慧，因此，我们应该对中考题进行认真研究，注意挖掘和思考，从而提升数学教学的效果1 .立足考纲，准确把握考试要求目前中考一般是由地市教育考试院统筹，每个地市的考试大纲会结合数学课程标准对每年中考考什么、怎么考、考多难这三个问题作出具体的规定和明确的解说.作为初中数学教师必须认真研读，并以这两纲为纲，制定复习计划和教学方案，明确学什么、怎么学、学多难.2 .立足基拙，把握通性通法从上述问题的多种证法和解法来看，中考题还是注重基础知识和基本技能的考查.因此，在复习中要回归课本，对基础知识要进行归纳梳理，形成知识网络;对典型例题要明确解题思路，总结解题方法，掌握解题规律.只有扎根基础，夯实