二重积分部分练习题

1、题目部分，（卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分）一、选择（2 分）1（16小题，共53.0分）（3分）2二重积分xydxdy （其中D：0 yw x2,0wxw 1)的值为1（A）二6,、1(B)7121(C) 2(D)(3 分)3若区域 D 为 0W y w x2,|x|x2上连续，则二重积分f (x, y)dxdy 可化累次积分为(A)1 dx1(C) 0dy2 x-f(x,y)dyy2f (x,y)dxy(B) 01dx1(D) 0dy2 xf(x, y)dy1 xy2y f (x, y)dx 13-y2(3分)7设f(x,y)为连续函数，则二次积分0dy i 2f(x

2、,y)dx可父换积分次序为2y12 2x(A) 0 dx 0 f(x,y)dy,3J3 x21 dx0 f (x,y)dy(B)12dxo2x0 f(x, y)dy1dx 0 f(x,y)dy、3dx23 x20 f (x,y)dy(C)1dx0b x22x f(x,y)dy.2x(D)?d032cos f (r cos ,r sin )rdr sin2-(3分)8设f(x,y)为连续函数，则积分1 x222 x0dx 0 f(x,y)dy 1dx 0 f (x, y)dy可交换积分次序为1 y(A) 0dy 0 f (x,y)dx22 y1 dy 0 f(x,y)dx欢迎下载381x222

3、x(B) 0dy 0 f (x,y)dx 1 dy 0 f (x, y)dx12 y(C) 0dy 4 f (x,y)dx12 x(D) 0dy x2 f (x,y)dxf (x, y)dxdy化成累次积分为D(4分)9若区域D为(x1)2+y2w 1,则二重积分2cos(A) 0 d 0 F(r, )dr2cos(B) d 0 F(r, )dr 2cos(C) ：d 0 F(r, )dr2 2cos(D) 2 02 d 0 F(r, )dr 答()y)-, x2 y2 dxdy化成累次积分为其中 F(r, 0 )=f(rcos 9 ,rsin 0 )r.(3分)10若区域D为x2+y2w 2

4、x,则二重积分(xD 2cos(A) j d 0 (cos2sin ) 2r cos rdr2cos 3(B) 0 (cos sin )d 0 r dr2cos 3(C) 2 02 (cossin )d 0 r dr(D) 2 2 (cos22cos 3sin )d r dr答（）y）dxdy其中D是0(4 分)11设 I1 ln(x y)7dxdy,I2 (x y)7dxdy,I3sin7(xDDD,一 一 1由x=0,y=0, x y - ,x+y=1所围成的区域，则Ii, I2, I3的大小顺序是(A) I1V I2V I3;(C)Ii I3VI2;(B) 13V 12V I1;(D)I

5、3 Ik I2.(5 分)12设 I dxdy一2,则 I 满足M |y 11 cos x sin y)则 I1, I2,2 ,-(A)- I 231(C) D I - 2八1口，(4分)13设x y2其中D是由直线I3的大小顺序为(A) 13V I2V I1;(C)Ii I3VI2;(B)2 I 3(D) 1 I 0答(x=0,y=0H + y=；及x+y=1所围成的区域,(B)IK 12V I3;(D)I3Ii0),当 a=时， a2 x2y2 dxdy.(A)1JI(D)32二、填空（4分）1设函数每一个小区域A（6小题，共21.0分）f（x,y）在有界闭区域 D上有界，把D任意分成n个

6、小区域A （T i（i=1,2,n）,在。i任意选取一点（S,刀i）,如果极限f（ i, i） i （其中入是A （Ti（i=1,2,n）的最大直径）存在，则称此极限1值为的二重积分。（4分）2若D是以（0, 0）, （1, 0）及（0, 1）为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知（1 x y）=.D（3分）3设D:0 y Ja2 x2,0 x 0 ,由二重积分的几何意义知axy2 dxdy D(3 分)4设 D: x2+y2W4,y0,则二重积分sin(x3y2)d D（4分）5设区域D是x2+y2w 1与x2+y2W2x的公共部分，试写出f （x, y）dxdy在极坐标系2cos0 F

7、(r, )dr10F(r, 2cos)dr 2 dF(r, )dr_.（3分）6设D： 0WxW 1,0WyW2（1 x），由二重积分的几何意义知y dxdy =三、计算（78小题，共331.0分）20dy（3分）1设f（x,y）为连续函数，交换二次积分y1y f (x, y)dx2y的积分次序。（3分）2设f（x,y）为连续函数，交换二次积分2xx f(x, y)dy2dx0的积分次序。（3分）3设f（x,y）为连续函数，交换二次积分i 0002 dyf（x,y）dx 1dy f（x,y）dxy y的积分次序。（3分）4设f（x,y）为连续函数，交换二次积分110 dx 1 x2f (x,

8、y)dxedx11lnxf(x，y)dy的积分次序。（4分）5计算二重积分2（x y ）dxdyD其中 D： 0w yw sinx,0w xw n.（3分）6计算二重积分xydxdyD其中D是由曲线y=x2，直线y=0,x=2所围成区域。（3分）7计算二重积分xydxdyD其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。（3分）8计算二重积分xydxdyD其中 D： x0)所围成的区域。(4分)20计算二次积分33 x0 dx 0 (2x y)dy（4分）21计算二重积分xydxdyD其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。（4分）22计算二重积分22（x y x） dxdyD其中D是

9、由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。（4分）23计算二重积分（x 1）ydxdyD其中D是由曲线x 1 Jy,y=1x及y=1所围成的区域。（4分）24计算二重积分1-4dxdyD 1 X其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）25计算二重积分xy2dxdyD其中D为上二/j二与x=0所围成的区域。（4分）26计算二重积分xdxdyD1 9其中D是由抛物线y x2及直线y=x+4所围成的区域。（4分）27计算二重积分ex ydxdyD其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）28计算二重积分2 xTdxdy d y其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成

10、的区域。（5分）29计算二重积分24y sin（xy）dxdyD其中D是由x=0, y ,y=x所围成的区域。（4分）30计算二重积分2、（x y ）dxdyD其中 D: OWyWsinx,.sa（5分）31计算二重积分22x ycos（xy ）dxdyD其中 D:, 0y0,yw x.（4分）38利用极坐标计算二重积分y , arctg dxdyD x其中 D： a2x2+y20,y0,a0,x=0（5分）39试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线 x+y=3所围成三角形内的平均值。（6分）40试求函数f（x,y）=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。（4

11、分）41由二重积分的几何意义，求1）dxdy（-1 x2 y222 dx y 1（4分）42计算二重积分xdxdyD其中 D： x，y2w2 及 x y2.原式=12 y2dy 2 xdx1y201(2 y2 y4)dy2215(3分)43计算二重积分edxdyD其中D是第一象限中由 y=x和y=x3所围成的区域。1 x2X0e dx x3dyx(xe3 x2、x e )dx（4分）44计算二重积分xdxdyD其中 D: x2+(y 1)2 1,x2+(y2)2 4,y 0.2 .4y y2dy 2 xdx02y y2ydy2(5分)45计算二重积分2 .xy dxdyD其中 D: x2+y2

12、y2.(5分)46计算二重积分xydxdyD其中D是由（x 2）2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。3 4x x2 3xdx ydy1031 x(4x3)dx3(4分)47计算二重积分x. y2 x2dxdyD其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。（3分）48计算二重积分x3 y2dxdyD其中 D： x2+y2 R2.（5分）49计算二重积分x .22-dxdyd x y2x其中区域D 1 x 2,一 y x 2（4分）50计算二重积分2 x dxdy d y其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。（4分）51计算二重积分xdxdyD其中 D : x2+y2

13、0.（5分）52计算二重积分xdxdyD（5分）53计算二重积分4 x2 y2dxdyD其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。（5分）54计算二重积分yexydxdyD其中D是由y=ln2, y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。（5分）55计算二重积分xy2 dxdyD其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p0）所围成的区域。（6分）56计算二重积分2（x y）dxdyDD是由抛物线y=W和丫2=*所围成的区域。（6分）57计算二重积分xye dxdyD其中D是由抛物线y=T（x1）和直线y=x,y=2所围成的区域。（5分）58计算二重积分xy y2 dxdyD其中D是以O（0

14、, 0）, A（10, 1）和B（1, 1）为顶点的三角形区域。（5分）59计算二重积分（12x2 16x3y3）dxdyD其中D是由x=1,y=x3,y=-/所围成的区域。（8分）60计算二重积分x2 y2dxdyD其中D是以O（0, 0）, A（1, 1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。（3分）61计算二重积分sin xdxdyD x其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）62计算二重积分sin xdxdyD x其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。（5分）63计算二重积分ln（1 x2 y2）dxdyD其中 D: x2+y20,y0.（5分）64计算二重积分.x

15、2 y2 dxdyD其中 D ： x2+y2 2x,x2+y2 4x.（5分）65计算二重积分x2 y2dxdyD其中 D： x2+y2 2x.(4分)66利用极坐标计算二重积分 22sin(x y )dxdyD其中 D: n2Wx2+y2W4n2(4分)67计算二重积分1 x2 y2dxdyD其中 D： x2+y20,y0.(7分)68设区域D： x2+y20),计算二重积分f (x, y)dxdyD其中f (x, y)当 x 0, y 0其它点（4分）69利用极坐标计算二重积分ydxdyD其中 D ： x2+y20,y0.（a0）（3分）70利用极坐标计算二重积分22 1(x y )-dx

16、dyD3其中 D： 1Wx2+y2W8.(3分)71计算二重积分,22、.(4 x y )dxdyD其中 D: x2+y2 1,x2+y2 0.22（5分）73计算二重积分 xye x y d ,其中区域D为x2+y21在第一象限部分。D（5分）74将二重积分f（x, y）d 化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D：0WxDV 73,0y1.（6分）75利用极坐标计算二重积分xdxdyD其中 D： X2+y2X.（5分）76计算二重积分其中 D ： yWxWq16y2,0y0.（6分）77计算二重积分ln（1 x2y2）dxdyD其中 D： X2+y2WR2 （R0）,x0）y 0.（5

17、分）78利用极坐标计算二重积分sin x2y2 dxdyD其中 D: 1W x2+y2W4,x0,y0.=答案=答案部分，（卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分）一、选择 （16小题，共53.0分）（2分）1答案B.（3分）2答案B.（3分）3答案A.（3分）4答案（B）.（3分）5答案（C）.（3分）6答案C.（3分）7答案B.（3分）8答案C（4分）9答案C.（3分）10答案D.（4分）11答案C.（5分）12答案A.（4分）13答案B.（3分）14答案(A).(3分)15答案C.(4分)16答案B.二、填空 (6小题共21.0分)(4分)1答案函数f(x,y)在D上(4分

18、)2答案16(3分)3答案13一na36(3分)4答案0.(4分)5答案记 F(r, 0 )=f(rcos8 ,rsin 0 )r, 2cos3d F(r, )dr23d31 2cosF(r, )dr 2d F(r, )dr3（3分）6答案13三、计算 （78小题，共331.0分）（3分）1答案1 2x原式=0 dx * f (x, y)dy2dx12x f(x,y)dy(3分)2答案、2 y原式二 dy 1 f (x, y)dx2y(3分)3答案0x2原式=1dx x2 2 f (x,y)dy(3分)4答案1ey原式=0dy 1y f(x, y)dx(4分)5答案原式42dy21y f (x

19、, y)dx2sin x20 dx 0 (x y )dyi 3 dx(xsin x _sin x) 349(3分)6答案原式2x201216xdx 0 ydy2x5dx03（3分）7答案原式dx xydyx3x2 xdx23847(3分)8答案原式2.3xdx ydy1 x2 3 , x dxi334(3分)9答案原式0 dx x cos(x y)dyo (sin(x ) sin2x)dx2（4分）10答案原式3 y Z 221 dy y 1(x y y)dx3 13321 3 y (y 1) y y dy3 c 2 c1 .1 2y 2y - dy 310(3分)11答案原式04 dx11

20、xcos2xydy4 sin2xdx012（3分）12答案原式10101xdy 02(x(xy)2y)dxy12 12x.0 dy0(2y 2y )dy一y 2或解原式110dx x (x y)dy1 13 20(2 x 2x)dx12(3分)13答案原式1 5x0dx x (x 6y)dy120 76x dx2513（3分）14答案原式2 xxdx i ydyx2 2 21 x(x1)dx x1581ln2（3分）15答案原式41dx2 x2xydyx43 xdx2 29(3分)16答案原式11 x4 dx ydy o o1 22 0(1 x )dx23（3分）17答案原式14 xdx0xy

21、dy122 o x(1 x) dx（4分）18答案原式2 x 21 xdx 1 y dyx(x41、，2)dx x1210（4分）19答案原式3ay 22dyya(x y )dx3a _2213a (2ay a y a )dy314a4(4分)20答案原式93 2)dx(-3x -x22272（4分）21答案原式xdx i ydyx3/ 3 i(x1)dx x1 10 -ln 32（4分）22答案原式y 2 dy y(x2y2 x)dxdy1)dx2 19 3y0 2413（4分）23答案原式11 Jyydy ,(x 01 y 1 1 /2 城20y(y y )dy124（4分）24答案原式0

22、1 x4xdx dy01 x4dx1 1d(x2) 2 0 1 x48(4分)25答案原式2 24y22 ydy xdx2220 y (4 y )dy6415(4分)26答案原式4x 42xdx 1x2 dy24 . 2 ,1 3.2(x4x 2x)dx18（4分）27答案原式1x0exdx0eydy1 x x0e (e 1)dx(4分)28答案1父点为(1,1) 2,(2,4)2原式=1 x2 x ! dxx234(5分)29答案原式4 0 2 ydyy0 ysin(xy)dx4 0 2 y(122.cosy )dy（4分）30答案原式_ sinx202dx 0 (x y )dy2 (xsi

23、n x 1sin3x)dx03（5分）31答案原式02 dx2,2、，x ycos(xy )dyK x -2 sin 4xdx0 216（4分）32答案交点为（0,0）, （1,1）原式1 ；（y y4, y）dy655（4分）33答案由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|y|二y.a4 ax0a b2ba2 x20aydy22(a0 a4 k2一 ab322x )dx（4分）34答案原式1xdx0i 0x(x1611 x22 x dy.1 x 1)dx（5分）35答案原式o2dr2dracos1-a33a302(1(2 I)3cos )d（4分）36答案

24、原式2 2 .r dro2（5分）37答案原式rdrdD2d rdi3236412(4 1)（4分）38答案原式rdrd一i2 d rdr0a221 a16(12a2)(5分)39答案33 xf(x,y)d (2x y)dxdy 0 0 (2x y)dyDD3120 2x(3 x) 2(3 x) dx2729而D的面积 =92所求平均值=3.(6分)40答案1 5xf(x,y)dxdy 0dx x (x by)dyD1 ,2 2、,o(4x72x )dx763而D的面积1 5x=dx dy 0 x14xdx02 2所求平均值二1223(4分)41答案原式二 ，1 x2 y2dxdyx2 y2

25、1x2 y2 1123（4分）42答案（3分）43答案（4分）44答案交点为（2,2 .y dy（5分）45答案 1）与（2, -1）5-y22 xdxy2（43y2 y4）dy1 y262105（5分）46答案（4分）47答案0131dy :x、. y2y3dyx2dx12K 3R2-y2 x dx（3分）48答案R 2.原式= Ry dyR2 y2对于 一 x3dx被积函数x3为奇函数R2 y2积分为零。故原式=0.（5分）49答案2 xxdx x21-2dy1 万x y2 x（一 arctan ）dx原式二1 421,8 arctan In 一25 4（4分）50答案2x2dx12 2/

26、1 x （xx 1 .12dyx y1 ）dxx（4分）51答案aa2 x2xdx dyooa 22x x dxo2-a 3（5分）52答案由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分Di上的积分的4倍，在第一象限|x|二x.yxdx2y )dyba b24 dy boo,2c b a 八 22z-(b0 b24a2b 3(5分)53答案2 2x 220 dx 0. 4x y dy22 .x dxo83(5分)54答案ln3 4* yedln3In 2(e4ye2y)dy133(5分)55答案2p 2 p2pydy sxdx2P 2/12-y ( p- 2 p 28 2 521 p(6分)5

27、6答案i.yxdy 2 dx0y21 2 xx dx 2 dy0x2(x2 x4jx )dx；(y.y y3)dy33140(6分)57答案2 xy dy eydxy1 (yey ye)dy2 3e - e2(5分)58答案y dx0|x/y(x y) 332 1y0ydy18y2dy6(5分)59答案1dxx(12x2 16x3y3)dy12x2(x3. x3/ 122、4x (x x ) dx(12x2 x 8x54x15)dx1 584(8分)60答案6(3分)61答案arcsin yxxdx)1sinx , x , dx dy0 x 01 sinxdx01 cos(4分)62答案1 sin x , x2 , dx dy0 x 01xsin xdx0sin1 cos1欢迎下载40（5分）63答案22d ln（1 r ）rdr5ln udu1（5ln 5 4）4（5分）64答案4cos22 d r3dr_2cos22 2 60cos4 d045万（5分）65答案r rdrdD_ 2cos2 d r dr02232 cos1632232 cos016 2 32（4分）66答案2原式=0d 2 sinr2 rd