九年级数学下册期末高效复习专题4相似三角形(含解析)浙教版

1、24一5_专题4相似三角形题型一比例线段、平行线分线段成比例定理如图1,已知AB/ CD EF, AD： AF= 3 ： 5, BE= 12,那么CE的长等于图1. AW CD e-AD= BC 即I4C利用平行线分线段成比例定理解题时,八36 八BC= -5, . CE= BE- BC= 12-要注意找好对应线段，通常用36 24左上 右上左下 右下，左全=右全 等关系分段寻找变式跟进1 .2017 镇江如图2, ABC3,AB= 6, DE/ AC将 BD透点 B顺时针旋转得至BD E',点D的对应点落在边BC上，已知 BE' =5, D' C= 4,则 BC的长为

2、 2+734 .图2【解析】由条件"DE/ AC可彳# BDEo BAC即有学瞿 由题意可得 BE= BE = 5,BA BCBD= BD = BC-D' C= BC-4, AB= 6.设 BC= x,由，可列方程：* 解得 x = 2+434 （负值舍去），故BC的长为2 + 34.题型二相似三角形的判定 例22017 祁阳期末已知：如图3, /1 = /2, AB- AC= AD-AE图3求证：/ C= / E证明：在 ABEADB，AB- AC= AD AE, - ADTAd 又. / 1 = /2， . AB& AD。【点悟】判定三角形相似的几条思路：（1）条

3、件中若有平行线， 可采用相似三角形的预备定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角（用判定3）或找夹边成比例（用判定2）; （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证 明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.型变式跟进2. 2017 随州在ABC, AB= 6, AC= 5,点 D 在边 AB 上，且 AD= 2,点 E 在边 AC 上， 当AE= _|叟12时，以A, D, E为顶点的三角形与 ABCffi似./ A= / A,分两种情况：当AD= AC- adeaab(c

4、 即26，x3 当刀出#寸， ADE ACB即 旗易，AE=不.综上所述，当 AE=3或了时，以 A D, E AE ABAE 6535为顶点的三角形与 ABCf似.3. 2017 嘉兴模拟已知：如图4,四边形 ABC虚正方形，/ PAQ= 45° ,将/ PA藏着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD勺两个外角/ EBC /FDC勺平分线分别交于点 M和N,连结MN图4（1）求证： ABIVb NDA（2）连结BD当/ BAM勺度数为多少时，四边形 BMND；矩形，并加以证明.解：（1）证明：四边形 ABCD1正方形，/ ABG= / AD仔 / BAD= 90 , BM DN分

5、别是正方形的两个外角平分线，/ABM= Z ADN= 135 , ./ MAN 45 ,，/BA限 /AND= 45° -Z DAN . ABMh NDA（2）当/BAMk 22.5 °时，四边形 BMND；矩形.证明：. / BAIW 22.5 , Z EBIW 45 , ./AMB= 22.5 ,BAIMk / AMBAB= BM 同理 AD= DN AB= AD,BMf DN 四边形ABCD1正方形， .Z ABD= / ADB= 45 , .Z BDN= / DBIW 90 ,，/BDNF Z DBIW 180° ,，BW DN 四边形BMN囱平行四边形，

6、 ./BDN= 90° , .四边形 BMND；矩形.题型三 相似三角形的性质 例3 如图5,把 ABCgAB边平移到 A' B' C'的位置，它们的重叠部分 （即图中的 阴影部分）的面积是 ABC勺面积的一半，若AB=小,则此三角形移动的距离 AA'=也二 1.【解析】 设BC与A' C'交于点E,由平移的性质知，AC/ A' C' ,， BEA s BCA S bea ：SaBC* A'B2：A百=1：2,AB= 72,AB= 1, . AA =AB- A'B=&一1.【点悟】（1）相似三角形

7、的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；（2）相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比.图变式跟进4. 2017 自贡如图 6,在ABC43, MIN/ BC 分另校 AR AC于点 M N,若 AM= 1, MB= 2,BC= 3,则MN的长为_.【解析】 MN/ BC图6AM MN1 MN i. .AM冲AABCC诉A阵 1, MB= 2, BC= 3, .7=7,解AB BC1 十 23得 MN= 1.5.如图7,有一块三角形的余料 ABC要把它加工成矩形的零件，已知：BC= 8 cm,高AD=12 cm,矩形 EFGH勺边EF在BC边上，G H分别在 AC AB上，设 HE

8、的长为y cm, EF的长 为 x cm.(1)写出y与x的函数关系式;(2)当x取多少时，四边形 EFGH1正方形?图7解：; BC= 8 cm,高AA 12 cm, HE的长为y cm, EF的长为x cm,四边形 EFGH1矩形, .AQA>y= 12-y, HG= EF= x, HG/ BC12 y12AK HG .AH。 ABC、即AD BC-3-y=12-2x;3(2)由(1)可知，y与x的函数关系式为 y= 12-2x,四边形EFGK正方形，HE= EF,即x=y,.x= 12-3x,解得 x = 24. 25“ ，24 一 _答：当x一时，四边形EFGH!正万形.题型四

9、位似图形及其画法 例4 如图8,在平面直角坐标系中有 ABC以点O为位似中心，相似比为2, W ABC放大，则它的对应顶点的坐标为2,12，1B. (8,6),(6,2),(2,4)C. (8,6),(6,2),(2,4)或(一8, 6), (6, 2), (2, -4)D. (8, 6), (6, 2),(2, 4)或(一8, 6) , (6, 2), (2, 4)【解析】由坐标系可知，点 A,点B,点C的坐标分别为(4,3), (3,1), (1 , 2),二以点O为位似中心，相似比为 2,将 ABCM大，则它的对应顶点的坐标为(4X2, 3X2), (3X2,1X2), (1X2, 2X

10、2)或(一4X2, 3X2), (3X2, -1X2), ( 1X2, 2X2),即(8,6), (6, 2), (2, 4)或(一8, 6), (6, 2), (2, -4).【点悟】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为的坐标比等于k或一k.k,那么位似图形与原图形对应点变式跟进6. 2017 烟台如图9,在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.AO的 LA OB是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3： 2,点A, B都在格点上，则点 B 的坐标一八4是 一 2,.3图9【解析】 由题意，将点B的横、纵坐标都乘以一f,得点B'的坐标.由B的坐标(3, 2), 3得B'

11、;的坐标一2, 4 .37.如图10,在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为 A(2 , 4), R3, 2),C(6 , 3).(1)画出ABC于x轴对称的 ABC;(2)以M点为位似中心，在网格中画出ABC的位似图形 ABG,使ABaG与ABC的相似比为2 ： 1;求出A2, B2, G三点的坐标.图10第7题答图解： 如答图所示， ABG即为所求；(2)如答图所示， AE2G即为所求； A(3, 6) ; B2(5, 2) ; G(11 , 4).题型五 相似三角形的综合例52017 -泰安如图11 ,四边形 ABC珅，AB= AO AD AC平分/ BAD点P是AC延长线上一

12、点，且 PDL AD(1)证明：/ BDC= / PDC(2)若 AC与 BDt目交于点 E, AB= 1, CE： CP= 2 : 3,求 AE的长.解：(1)证明：AB= AD AC平分/ BAD .ACL BD, . Z ACI> Z BDC= 90 ,. AC= AD,，/ACD= Z ADC. PDL AD, . ./ADCF Z PDC= 90 , ./ BDC= / PDC(2)如答图，过点 C作CML PD点M . / BDC= / PDC CE= CM/ CMP / ADP= 90 , / P= / P,_. 一 CM PC. .CP怖AAPID .丽=PA设 CM=

13、CE= x,CE： CP= 2 : 3,3PC=AB= AD= AC= 1,3-xx 2 i 11 2 1 = 3，斛得 x=. AE= 1 3 = 3.图变式跟进8.2017 甘肃如图12,4ABG口 DEF两个全等的等腰直角三角形， / BAC= / EDF= 90° , DE用勺顶点E与ABC勺斜边BC的中点重合，将 DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CAffi交于点Q(1)如图，当点 Q在线段AC上，且AP= AQ寸，求证： BPEE CQE(2)如图，当点 Q在线段CA的延长线上时，求证： BPP4CEQ并求当BP= 2, CQ=

14、9时BC的长.图12解：(1)证明：. ABB等腰直角三角形，B= / C= 45 , AB= AC, AP= AQ，BP= CQ E 是 BC的中点，BE= CE,在 BP3口ACQE,BE= CE/B= / C, .BP窿 CQESAJS；BP= CQ(2) ABCL DEF是两个全等的等腰直角三角形,B= / C= / DEF= 45 ,/ BEQ= / EQC- / C,即/ BE丹 / DEM / EQQ- / C,Z BE丹 45° =/ EQCF 45° ,Z BEe / EQC BP曰 CEQCP= CQ B鼻 2, CQ= 9, BE= CE. B=18,

15、BE= CE= 32,，BC= 6小.过关训练AB= 6 cm, A' B' = 3 cm,则 ABC与1. 2017 兰州模拟若八88、N B' C ,已知 A' B' C'的面积比为（D ）A. 1 ： 2 B, 2 ： 1 C . 1 ： 4 D, 4 ： 1【解析】. ABQ A B' C' , AB= 6 cm,A' B' = 3 cm, .其相似比=ABA' B'21.ABCW A B' C'的面积比=(AB： A' B' )2 = 4：1.2. 2017

16、 常熟期末如图1, 4ABC中，D,E分别在AB AC上，下列条件中不能判断 ADEoACB勺是(D )A. / ADE= / CAD AE AD DEC.AcT Ab d. AcT BcB. / AED= / B图1图23. 2017 潍坊如图 2,在ABC, AB ACD, E分别为边AB, AC上的点，AC= 3AD, AB= 3AE点F为BC边上一点，添加一个条件:/A= / BFD答案不唯一，合理即可）,可以使FDBfaADEt目似.（只需写出一个）AD AE 1 一【解析】AC= 3AD AB= 3AE又./ A= /A, ， AD呼 ACB / AEDAC AB 3= /B.故要

17、使 FDBfaADEt目似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可.4. 2017 六盘水如图3,在？ABCDK 对角线 AC BD相交于点 Q 在BA的延长线上取一16点 E,连结。氏 AD于点 F.若 CD= 5, BC= 8, AE= 2,则 AF= _【解析】的中位线,1如答图,15第4题答图ABC虚平行四边形，. OB= OD，OM是 ABDAE AF，AM= BM= -AB=-, OM= -BC= 4, AF/ OMAEMMEO-kf =力222EM OMAF16AF= 一9 .5.如图 4,在4ABC中，/ BAG= 90° , AB= AC 点 D, E分别

18、在 BC AC上，且/ ADE= 45° .(2)若 AB= 2, BD- 1,求 CE的长.求证： AB及 DCE证明：. / BAC= 90° ,解:又. / DEC= / ADE- / CAD- 45° +Z CAD同理/ ADB= / O / CAD- 45° +Z CAD ./DEC= /ADB 又.一/ B= Z C= 45 AB及 DCE(2) AB= 2,BC= 2隹AB CD. ABDo DCE 而BD CE.2 = 2 也-12 5-1一 1 CE ? CE=26 .如图5,在正方形 ABC珅，E是BC的中点，F是CD上一点，AE1

19、EF,有下列结论：/ BAE1=30 ;&ab4&ecf；CF= ?D ABEEAEF正确结论的个数是(B ) 3图5A. 1个B. 2个C . 3个 D. 4个【解析】 先根据正方形的性质与同角的余角相等，证得 BA殍4CEF则可证得正确， 错误；利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得AB34AEF正确.故选B.7 .如图 6,在 RtAABC, / BAC= 90 , AB= 15, AC 20,点 D在边 AC上,AD= 5, DELBC于点E,连结AE,则 ABE的面积等于 _?8一图6第7题答图1【解析】如答图，分别延长BA和C改于点_1 _1_E . A

20、阵-AB .A阵；BM . CM/ BCD勺平分 32【解析】 如答图，连结 AE 在 RtAABC, / BAC= 90。，DEL BC于点 E,，/ BAC= / CED _ CE CD 20-5 w _ _- 一 一一 一13-=90 ,CD呼 CB/A .ca=晴-25-,故CE=12,BE= 2512=13,ab25S ABC, / SABC= 150 ,Saabe=1X 150= 78.，258 . 2017 -内江如图7,四边形 ABC珅，AD/ BC CM/ BCD勺平分线，且 CML AB M为.一 1 . 一 , 15垂足，AMh .AB若四边形 ABCD勺面积为亍 371

21、_ 1_ 1_ _线,CML AB EMk BM，AMk 2EM .-.AE= 2EM AE= -BE -.AD/ BC .EA炉 EBC ，S"EAD1 2及 EAD11.仆 1 , 15161c c二= - 即-=, 斛得 SEAD=亍SEB口弓+二；-=f, S 四边形 AMCD= XSA EBC- S EADSa ebc415 1677772Six eadH7-1 16 1=-X= 1.2779 . 2017 门头沟区期末在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：CF 1 、，一已知：如图8,在 ABC4点D是BA边延长线上一动点，点F在BC上，且由不连结BF 2DF交 ACT点 E.当点E恰为DF的中点时，请求出图8ADL修aB勺值;,DEAD,一（2）当声 a（a>0）时，请求出 点勺值（用含a的代数式表不）.思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法: 甲：过点F作FG/ AB交AC于点G,构造相似三角形解决问题；乙：过点F作FG/ AC交AB于点G,构造相似三角形解决问题；丙：过点D作DG/ BC交CA延长线于点 G构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的想法都可以”.请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问AB勺值.解：（1