《二次根式》培优专题一

1、二次根式培优专题一二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1 .二次根式：形如m（其中a）的式子叫做二次根 式。2 .最简二次根式：必须同时满足下列条件：被开方数中不含开方开得尽的 ； 被开方数中不含 ； 分母中不含 。3 .同类二次根式：二次根式化成 后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4 .二次根式的性质：（1）（后）2= （其中 a）（2）病（其中a）5 .二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含 的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的 符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面。（2）二次根式的加减法：先把二

2、次根式化成最简 二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将 被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。(其中a(其中 a , b).(4)分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分 母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式， 两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫 互为有理化因式，如 用的有理化因式就是 鹃, 而的有理化因式可以是 次也可以是衣，后孔的有理化因 式就是a、b.(5)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律 及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公 式，都适用于二次根式的运算.(6)二次根式的加减乘除运算，最后的结果都

3、要 化为最简二次根式.6 .双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根 式。双重二次根式化简的方法是：设 x 0, y 0, a 0, y 0 ,且 x y a, xy b ,贝a 2. b (x y) 2 _ xy ( x)2 (, y)2 2 ,x , y ( . x , y)2a 2 b x , y如： 要化简 V 5 - 276): 2 3 5, 2 3 6/J 5 2 & J'(花J3)2<3 V2但要注意最后的结果是正数，所以不能是 <2 V3 二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式

4、的是（）A.候 B . <3 C .万 D .2、二次根式干有意义时的x的取值范围 x 43、已知： y Vx-2 7x2 1）贝U （x y） 2001 =。类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）1、实数在数轴上的位置如图1所示）化简| a-1|+i &a>£ =/o（图1）2、把4、回的根号外的因式移到根号内得 3、化简：x、nx；4、化简 J（3 v17）2 2g,7 5）2 7（2 V7）2 。5、化简5 2芯=。6、代数式3 vF 的最大值是。类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）把3且，2v3, 2百，义行5按由大到小的顺序排列为：一类型四

5、：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）1、若a 26）b 2 V3）则a与b的关系是（A .互为相反数；B.互为倒数；C.互为负倒数；D.以上均不对。2、计算:iii12. 23.34199 ,100【同步练习】一、选择题（每小题3分，共30分）1 .下列说法正确的是（）A .若 Ta2a,贝Ua<0B.若Ya2a,则a 0 C ,Va4b8a2b4D .5的平方根是5m .2 .二次根式2m与的值是（）A. 36B. 273C. 242D. 03 .化简|x y| T7（x y 0）的结果是（）A. y 2xB. yC. 2x yD. y4 .若晅是二次根式，则a, b应

6、满足的条件是（） bA. a, b均为非负数B. a, b同号 C. a>05b>0D. f 0b5. （2005 湖北武汉）已知a<b,化简二次根式 E 的 正确结果是（）A . a J abB . aYabC . a，abD . a;ab6把mjl根号外的因式移到根号内，得（）mA. JmB. JmC.厂mD. m m7 .下列各式中，一定能成立的是（）A. * 2.5）2 宙25）2B. 07 （v'a）2C Vx_2 2x 1 x - 1D. VX_2 9 xfx 3 xfx 38 .若x+y=0,则下列各式不成立的是（）A.x2 y2 0B板40C .&am

7、p;斤0D. 反 丙 09 .当x 3时）二次根mj2x2 5x 7式的值为）则m等于 （）A.五B.1C. £D. J石10 .已知x/ 2际10 ,则x等于（）A . 4B . ±2C . 2D. ±4二、填空题（每小题3分，共30分）11 .若涓不是二次根式，则x的取值范围是12 . （2005 ,江西）已知 a<2, （a 罚 13 .当x=时，二次根式 Q 取最小值，其最小值为14 .计算： 而后718 78 4历 2匹）15 .若一个正方体的长为2d6cm,宽为恁m,高为亚cm,则它的体积为 cm316 .若 y 唁口 V3- 4,贝U x y

8、17 .若质的整数部分是a,小数部分是b,则73ab18 .若、'm(m 3)而Jm 3 )则m的取值范围是19若x U,331 x 二贝 Uy241220 .已知a) b)c为三角形的三边)则(a b c)2 (b c a)2- (b c a)2 =:、化简(前5题每小题6分，后两题每题7分，共44分)2122 . (5.48 6,27 4 . 15) ,323 . x2x ：)(2)24 . 18 ( .2 1) 125 .已知：x之，求x2 x i的值26.已知:3 1 'y T8x 8xn 1,求代数式y 2 ；- y 2的值2: y x y x27、阅读下面问题:13

9、23.2( 3 .2)(,3. 2)11(,21)12(2 1)(.2 1)2.15 2,5 2 ( 5 2)(，一 5 2)1 ；,5 2试求：马6的值；八的值； （n 为正整数）的值。【培优练习】一、二次根式的非负性1 .若 12004 a| 4a 2005 a,贝a 20042 =.2 . 代数式2x 3 J4x 13的最小值是 .3 .已知y 中 国5X 18,求代数式的值.x y x, y y. x4 .若 m 适合关系式，3x 5y 2 m J2x 3y m Jx 199 y "199 x y) 求m的值.二、二次根式的化简技巧 （一）构造完全平方12七-2山 1 111

10、 n2 (n 1)2 1 2n2 2n 1 12n(n 1)11 2/八212/八 212/、212 /、22/、2n (n 1) n (n 1) n (n 1) n (n 1) n (n 1)（拓展）112_ 21222(n 1)211_4 2_220032200422 .化简:Vy 2 32y 5 ，y 2 J2y 5 .3,化简V6 88血石4 .4.化简:23 6 6 4 23 <2（二）分母有理化1 .计算:1113.3 5、3 3.5 7、5 5.7149,47 47、49的值.2 .分母有理化:2 62 .353 .计算:入二次根式的应用 （一）无理数的分割1 .设a为$3痣数部分，则21的值为(b aT 1(D)用的小数部分，b为百予3 J6 3/3的小)(A)略后 1(B) 1(C)23 _82 .设勺的整数部分为x,小数部分为y,试求x21xy y2 ,5 12的值.3 .设,19 873的整数部分为a，小数部分为b ,试求a b ：的 b值(二)性质的应用1 .设m、x、y均为正整数)且m 28以%v)则x y m2 .设 x 22 ,2 1)y 丫2 2 21，则()(A) x y (B) x y (C) x y ( D)不能确定的值.2x xy 3y3.已知:4.已知a221 2a a 、a2a 1a必的值.