2020-2021备战中考数学专题复习圆的综合的综合题附答案

1、2020-2021备战中考数学专题复习圆的综合的综合题附答案一、圆的综合1.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC的两顶点 A、C分别在y轴、x轴的正 半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕。点顺时针旋转，当 A点一次落在直线 y X上 时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x于点m , BC边交x轴于点N (如图).C(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；(3)设 MBN的周长为p ,在旋转正方形 OABC的过程中，P值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】(1) k2 (2) 22.5。(3)周长不会变化，证

2、明见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出/AOM的度数；(3)利用全等把4MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) ; A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，直线 y=x与y轴的夹角是 45°,，OA 旋转了 45 °. OA在旋转过程中所扫过的面积为4522360(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又. O

3、A=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .22，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 OABC旋转的度数为45 22.5 =22.5 .(3)在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.OAEAOCNI.，OE=ON, AE=CN又 / MOE

4、=Z MON=45 , OM=OM ,.OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.2.如图，以。为圆心，4为半径的圆与 x轴交于点 A, C在。上，/OAC=60°.（1）求/AOC的度数；（2） P为x轴正半轴上一点，且 PA=OA连接PC,试判断PC与。的位置关系，并说明 理由；（3）有一动点 M从A点出发，在。上按顺时针方向运动一周，当S>AMAO=SxCAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时 M点的坐标.1'八【

5、答案】（1） 60。； （2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：Mi（2, - 2J3）、M2 （-2, - 2百）、M3 （-2, 2向）、M4（2, 273）.【解析】【分析】（1）由于Z OAC=60,易证得4OAC是等边三角形，即可得 / AOC=60 .（2）由（1）的结论知：OA=AC,因此 OA=AC=AP即OP边上的中线等于 OP的一半，由此可证得OCP是直角三角形，且 /OCP=90,由此可判断出 PC与。O的位置关系.（3）此题应考虑多种情况，若 aMAO、4OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，

6、可据此进行 求解.【详解】（1） OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等边三角形，故 / AOC=60 .（2）由（1）知：AC=OA 已知 PA=OA 即 OA=PA=AC.AC=1 OP,因此 OCP是直角三角形，且 / OCP=9O°,2而OC是。的半径，故PC与O O的位置关系是相切.（3）如图；有三种情况：M点的要求，此时 M点的坐标为:M1 (2,一劣弧MA的长为：60一41804T； 取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为:M2 ( - 2,一 ，一，1204劣弧MA的长为：180 取C点关于y轴的对称点，此点也符合2 ,3）；M点的要求

7、，此时 M点的坐标为:M3 ( - 2,八一 2404优弧MA的长为：18016当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时 M4 （2, 2，3）;优弧MA的长为：300一418020综上可知：当S»A MAO=S CAO时,动点M所经过的弧长为 , , ,”一对应的M点坐3333标分别为：M1 （2, 2石）、M2 （-2, 2石）、M3（ 2, 2石）、M4 （2, 2.3）【点睛】 本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解.3.如图，在VABC中， ACB 90°,BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE AD交AB于点E,以AE为直

8、径作e O .1求证：BC是e O的切线；2 若 AC 3, BC 4,求 tan EDB 的值.1【答案】(1)见解析；(2) tan EDB -.2【解析】【分析】1连接OD,如图，先证明 OD/ /AC ,再利用ACBC 得到 OD BC,的判定定理得到结论;2先利用勾股定理计算出 AB 5,设e O的半径为r,则OA OD r,15再证明VBDOsVBCA ,利用相似比得到r： 3 5 r ： 5,解得r 8然后根据切线OB 5 r,接着利用勾一一、一 5股定理计算BD 5 ,则CD3 12 ,利用正切定理得tan 1 -,然后证明1 EDB ,从而得到tan EDB的值.【详解】1证

9、明：连接OD,如图,Q AD 平分 BAC , 12,QOA OD ,23,1 3,OD /AC ,Q AC BC,OD BC ,BC是e O的切线；2 解：在 RtVACB 中，AB <3 425，设e O的半径为r,则OA OD r , OB 5 r ,QOD/AC ,VBDO sVBCA,OD : AC BO ： BA, 15 即 r： 35 r ： 5,解得 r 15 ,825"822-5在 RtVODB 中，BD VOB2 OD2 2CD BC BD 3, 2在 RtVACD 中，x d tan 13CD 万 1 ,AC 3 2Q AE为直径，ADE 900，EDB

10、ADC 90°，Q 1 ADC 900,1 tan EDB .2本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条 直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.4.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5也 AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长. A【答案】(1)见解析；(2)、.5分析：(1)直接利用直角

11、三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进 而得出答案.详解：(1)连接OD. OD=CD, . . / ODO/OCD. AC为。O 的直径， / ADO/ EDC=90 °. 点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB平分 / ADC

12、,/ ADB=Z CDB, . Ab = ?C，BC=AB=52 -在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,-100=4x?5x, . =75, -DE=75 .AJ F C点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.5.已知：AB是。0直径，C是。0外一点，连接BC交。0于点D, BD=CD连接AD、AC.(1)如图 1,求证：/BAD=/ CAD(2

13、)如图2,过点C作CF± AB于点F交。0于点E延长CF交。0于点G.过点作EHL AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CGJ：线段AL的长.图1图2图3 12 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） $、. 10【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°,得到/ADB=90°,再证明AB4 4ACD即可得到结论；（2）连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到/GAB=/BEG.再证 KF瞌 BFE得到BF=KF= 2BK.由OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到结论.(3)

14、连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM, / AGG/GCM=90°.再证 / GAF=/GCM = .通过证明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG,再证明 /BGC=/MCG=.设 BF=KF=a, 可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得至ij OF=a+1 , AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得至U 3a+2=4a,解出 a 的值，得至U AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tan HAK=AK=6,可以求出 AH的长.再由AH 21 一e ., tan GAF tan

15、BAD -tan BAD tan BCF ,利用公式 tan Z GAD=,得到31 tan GAF tan BADZ GAD=45 ；则AL= J2AH,即可得到结论.试题解析：解：(1) .AB 为。的直径，ZADB=90°,Z ADC=90°. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,AABD ACD,/ BAD=Z CAD.(2)连接 BE. BG=BG , . . / GAB=/BEG. .CF± AB, ./KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF. . FE=FE,

16、 Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABF . BF=KF=, BK. OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.E D(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=. . AC=CG, 点C在AG的垂直平分线上.1 OA=OG,点O在AG的垂直平分线上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGO/GCM=90 ： .AFXCG,./AGC+/GAF =90/ GAF=/GCM = . AB 为。的直径，Z AGB= 90 ,°/AGB=/CMG=90 : 1,.AB=AC=CG,AAGBACMG, . BG=GM= AG.2在 Rt

17、AGB 中，tan GAB tanGB 1AG 2 / AMC=Z AGB= 90 BG/ CM,/ BGC=Z MCG=BF设 BF=KF=a, tan BGF tan GF1-,GF=2a, tan GAF tan 2GFAFAF=4a. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,.a=2, AK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6. HK1. tan a =tanHAK= 设 KH=m ,贝U AH=2m , . AK= Jm2AH 21(2

18、m)2 =6,解得:m="5 . AH=2m=12遍.在 RBFC中,tan BCFBFFC / BAD+ / ABD=90 °, / FBC+ / BCF=90tan BADtanBCF1, . tan / GAD=3tan GAF tanBAD1 tan GAF tan BAD1 111112 3/ GAD=45；.1.HL=AH,al=V2ah=皿.56.如图，AB是圆O的直径，射线 AMAB,点D在AM上，连接OD交圆O于点E,过 点D作DC=DA交圆O于点C （A、C不重合），连接 OC、BC CE(1)求证：CD是。的切线；(2)若圆O的直径等于2,填空： 当A

19、D=时，四边形 OADC是正方形; 当AD=时，四边形 OECB是菱形.【答案】(1)见解析；(2)1 ; Q【解析】试题分析：(1)依据SSS证明OADOCD,从而得到Z OCD=Z OAD=90；(2) 依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;依据菱形的性质得到 OE=CE则4EOC为等边三角形，则 Z CEO=6O°,依据平行线的性 质可知/ DOA=60 ,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解： AMXAB,/ OAD=9O :1 . OA=OC, OD=OD, AD=DC,2 .OADAOCD,/ OCD=Z OAD=9O :OCX CD,.CD是。O的切线.(

20、2)二.当四边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1.二.四边形OECB是菱形，.OE=CE又. OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=6O°.1. CE/ AB,/ AOD=6O :在 RtA OAD 中,/ AOD=6O , AO=1, AD=.故答案为：M.点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.7.如图1,四边形ABCD为。O内接四边形，连接 AC CO、BO,点C为弧BD的中点.(1)求证：/ DAC=Z ACO+/ ABO；(2)如图2,点E在

21、OC上，连接 EB,延长 CO交AB于点F,若/ DAB=/ OBA+Z EBA 求证：EF=EB（3）在（2）的条件下，如图 3,若OE+EB=AB CE=2 AB=13,求AD的长.图1图2圄3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AD=7.【解析】试题分析：（1）如图1中，连接 OA,只要证明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由点C是?D 中点，推出 CD CB ,推出 /BAC=/DAC,即可推出 /DAC=/ACO+/ABO；（2）想办法证明/EFB± EBF即可；（3）如图3中，过点 O作OHU AB,垂足为 H,延长BE交HO的延长线于 G,

22、作BNXCF于N,作Ch AD于K,连接OA/CT/ LAB于T.首先证明EFB是等边三角形，再证 明 AC偿 ACT, RtA DK（ RtA BTC；延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA,.OA=OC,. OA=OB, uuur丁点C是BDZ1 = Z ACO,Z2=Z ABO,/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,uuir uuuu中点， CD CB，-1 / BAC=Z dac,/ DAC=Z ACO+Z ABO.却（2）如图2中, / BAD=Z BAC+Z DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC,/ BAD=Z BOC, / DAB=Z OB

23、A+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EB（3）如图3中，过点 O作OH, AB,垂足为 H,延长BE交HO的延长线于 G,作BNXCF于N,作 Ch AD于K,连接 OA.彳CT/ LAB于T. / EBA+/ G=90 ； C CFB+A HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=/ HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOG,. EG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+EB=AB GE+EB=2HB，GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= -,，/GBA=60 ,GB 2 .EFB是等边三角形，设 HF=a

24、, / FOH=30 ,° OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a-,2 . OEEF- OFFB- OF a, OBOCOE+EC a+2 a, “EEFa+旦1a+13) =1332a，224 .ON=OE=EN=( 13 - a)2 ，BO2- ON2=EB2- EN2,17、2(a) 221313、(a+)22)2,24解得a=3或-10 (舍弃)22 .OE=5, EB8, OB7,3 / KZ ATC90 ； K KACZ TACAC=AQAACKAACT, . CK=CT AK=AT,uur uuu.CD CB，DC=BCRtA DKG

25、RtA BTC； . . DK=BT,. FT-1 FC-5,DKTB=FB- FT3,AKAT=AB- TB10,AD-AK- DK10- 37.28.如图，AN是。M的直径，NB/x轴，AB交。M于点C.(1)若点 A (0, 6) , N (0, 2) , /ABN=30,求点 B 的坐标;(2)若D为线段NB的中点，求证：直线 CD是。M的切A 0万【答案】（1） B （q收,2） . （2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）在RtA ABN中，求出AN、AB即可解决问题; （2）连接MC, NC.只要证明/MCD=9°0即可试题解析：（1） :人的坐标为（0, 6） ,

26、N （0, 2）,.AN=4, / ABN=30 ； / ANB=90 ；.AB=2AN=8,，由勾股定理可知：NB=J 加工二4曲,B（4我，2）.（2）连接 MC, NC,. AN是。M的直径，/ ACN=90 ；/ NCB=90 ；在RtNCB中，D为NB的中点，八1.CD= NB=ND,2/ CND=Z NCD,1 . MC=MN ,2 / MCN=/ M3 / MNC+Z CND=90 ；4 / MCN+Z NCD=90 ； 即 MCCD.5 直线CD是。M的切线.考点：切线的判定；坐标与图形性质.(1)请用圆规和直尺作出 OP,使圆心P在AC边上，且与 AB, BC两边都相切(保留

27、作图 痕迹，不写作法和证明).(2)若/B=60°, AB=3,求。P 的面积.【答案】(1)作图见解析；(2) 3兀【解析】【分析】(1)与AB、BC两边都相切.根据角平分线的性质可知要作/ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置.(2)根据角平分线的性质和 30。角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积.【详解】解：(1)如图所示，则OP为所求作的圆.(2) / ABC=60 , BP平分 / ABC,/ ABP=30 ,° / A=90 ;B BP=2APRtAABP 中,AB=3,由勾股定理可得：AP=J3,，S3p=3 % 10.已知：如图，在四边

28、形 ABCD中，AD/BC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为 /DAB和/CBA的平分线.（1）请你添加一个适当的条件 ,使得四边形 ABCD是平行四边形，并证明你的结 论；（2）作线段AB的垂直平分线交 AB于点O,并以AB为直径作OO （要求：尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，。交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆。的半径为2.5.【解析】分析：（1）添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的

29、图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出 AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到/AGF=/ AEB,根据sin/AGF的值，确定出sin/AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.详解：（1）当AD=BC时，四边形 ABCD是平行四边形，理由为：证明：AD/ BC, AD=BG四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；(3) AD / BC, / DAB+/ CBA=180 ,°. AE与BE

30、分另1J为/ DAB与/CBA的平分线, / EAB+/ EBA=90 ,°/ AEB=90 ；.AB为圆O的直径，点F在圆。上，/ AFB=90 ,° / FAG+Z FGA=90 ； . AE 平分 / DAB,Z FAG=Z EAB,/ AGF=Z ABE,4 AE- sin Z ABE=SinZ AGF=- ,5 AB.AE=4,.AB=5,则圆O的半径为2.5.点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平 分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.11.如图，4ABC中，/ACB= 90°,

31、 /A=30°, AB=6. D是线段AC上一个动点(不与点A重合)，OD与AB相切，切点为 E, OD交时线,DC于点F,过F作FG± EF交克线,BC于 点G,设。D的半径为r.(1)求证 AE= EF;(3)当点G落在。D内部时，直接写出r的取值范围.【答案】(1)见解析，(2)r=、.3,(3) %3 r(2)当。D与直线BC相切时，求r的值;6.35【分析】(1)连接 DE,贝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 贝U / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如图2所示，连接 DE,当圆与BC相切时，切点为 F

32、, /A=30°, AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可.【详解】FC 3.3 3r, GC 、3fC 9 3.3r当点F在线段AC的延长线上时，如图 4所示，连接DE、DG,解：设圆的半径为r；(1)连接 DE,贝U / ADE=60 =/ DEF+-Z DFE,而 / DEF=Z DFE,贝U / DEF=Z DFE=30 = / A, .AE=EF(2)如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为 FZA=30 ； AB=6,则 BF=3, AD=2r,由勾股定理得：(3r) 2+9=

33、36,解得：r= J3 ；(3)当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG,FFC 3.3 3r, GC 3FC 3.3r 9两种情况下GC符号相反，GC2相同， 由勾股定理得：DG2=CD2+CC2,点G在圆的内部，故： DG2vr2,即：(3 3 2r)2 (3. 3r 9)2 r2整理得：5r2 11.3r 18 0解得：3 r 6-5【点睛】 本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长.12. AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已

34、知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14Y2； (3)当PC为。直径时，4PCD的最大面积50.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得 / PCD=/ ACB=90,可证ABJPCD,可得CP证.AC BC，即可得CD(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求PE的长,即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值;(3)当点P在Ab

35、上运动时，Svpcd1 , 4 PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23一1 一4一2.2Svpcd PCPCPC ,当PC取大时， PCD的面积取大，而 PC为直径时取233大，故可求解.【详解】证明：(1). AB为直径，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB .ABCAPCD.AC BCCP CD .AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点 B作BEX PC于点E.点P是Ab的中点，

36、/ PCB=45 ；且 BC=4八2-.-.CE=BE=2 BC=2 2 / CAB=Z CPBBCtanZ CAB=AC. PE=3.2PE=4 ,=tan / CAB= 3BEPEPC=PE+CE= 3-2 +2 2 = 7-2-SaPCD= PC24PC = 2PC2,当PC最大时, PCD的面积最大,2.AC?CD=PC?BC八7 ,5 .-.3>CD= 1-X4214 2CD=31(3)当点P在AB上运动时，Sapcd= - >PC>CD, 2由（1）可得：CD= 4 PC32 2 50当PC为。直径时， PCD的最大面积=-x2=圆的有关知识，锐角三角函数，求【点

37、睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质, 出PC的长是本题的关键.连结CB.感知如图，点A、B在CD同侧，且点 B在AC右侧，在射线 AM上截取AE= BD,连结CE,可证ABCgAECA从而得出 EC= BC, Z ECB= 90°,进而得出Z ABC=探究如图，当点A、B在CD异侧时，感知得出的/ABC的大小是否改变？若不改 变，给出证明；若改变，请求出 /ABC的大小.应用在直线MN绕点A旋转的过程中，当 /BC4 30。，BD=、Z时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45;【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】： BC的长为+1 或7?-1. 【解析】 【分

38、析】 感知证明BC*ECA (SAS 即可解决问题；探究结论不变，证明 BCDECA (SAS 即可解决问题;应用分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】AM上截取 AE= BD,连结 CE / CDB4/ CAB= 180 ； / CA中 / CAE= 180 °/ D= / CAECD= AC, AE= BD,.,.BCDAECA (SAS , BC= EC, / BCD= / ECA / ACEfZECD= 90 °, / ECDfZ DCB= 90 ;即 / ECB= 90°,/ ABC= 45 :故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图中，在射线

39、 AN上截取 AE= BD,连接CE,设MN与CD交于点 O.,. ACa DC, DBXMN, / ACD= ZDBA= 90 ; / AGO / DOB, ./D=/EAC CD= AC, .,.BCDAECA (SAS ,BC= EC, / BCD= / ECA / ACEfZECD= 90 °, / ECDfZ DCB= 90 °,即 / ECB= 90°,/ ABC= 45 :【拓展】如图-1中，连接AD. / ACD+ZABD=180 ； .A, C, D, B四点共圆，/ DAB= / DCB= 30 ;.AB= VBD=x.f>,.EB=AE

40、+AB= UM,ECB是等腰直角三角形，EB BC =、 + I J£如图中，同法可得 BC= 2 - 1 综上所述，BC的长为k'?+1或炉-1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属 于中考压轴题.14.如图，4R是大半圆门的直径，口仃是小半圆|M的直径，点耳是大半圆"上一点，P4与小 半圆M交于点q,过点C作。力1 0P于点D|.(1)求证：。门是小半圆M的切线；(2)若融=可，点P在。上运动(点P不与儿两点重合)，设PD = x,CD

41、2 = y. 求，与，之间的函数关系式，并写出自变量卜的取值范围；当时，求P,M两点之间的距离.A M OB【答案】(1)见解析；(2)y二P,M两点之间的距离为 勺3 或八胃.【解析】【分析】(1)连接CQ CM,只需证到 CD1 CM.由于CD1OP,只需证到 CM/ OP,只需证到 CM 是 AOP的中位线即可.(2)易证ODA4CDP,从而得到CD2=DP?OD,进而得到y与x之间的函数关系式.由于当点P与点A重合时x=0,当点P与点B重合时x=4,点P在大半圆O上运动(点P不与A, B两点重合)，因此自变量 x的取值范围为0vxv4.当y=3时，得到-x2+4x=3,求出x.根据x的值可求出CD PD的值，从而求出/ CPD, 运用勾股定理等知识就可求出P, M两点之间的距离.【详解】(1)连接如图1所示.4。是小半圆M的直径，b"0 = 90%C01即OA = OPAC=PCAM=OMLMCD =上PD。1)F'D . . "j. C"!叫.|ZPDC = 9O0止:"叱,即 E经过半径0M的外端，且CD LCM，直线0D是小半圆盟的切线.(2).CO LAP, CD 1 OP,网 CP = £ODC = ZCDP = 90。