2020届云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

1、2020届云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学（理）试题、单选题1.设A0 ,则(CrA)I BA.x xB. xC.xD.先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可aa5数列白前5项和为S555 315 .2第3页共18页由题得 CrA x | x 1 , B x | 1 x2,所以 CrA I B x| 1 x 1.故选B .本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题z在复平面内对应2.已知复数z满足（1 i）z |四 i|,其中i为虚数单位，则复数点所在的象限为（A.第一象限C.第三象限D.第四象限把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解：因为(1

2、i)z | k3 i |z "2(1 i) 1 i,1 i (1 i)(1 i)复数z在复平面内对应的点的坐标为1, 1在第四象限,故选：D本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义,3.已知向量1,14 , r(一,m),右(a2r b)r ,r、（a b）,则实数m的值为（）B.、32C.，一、r r r r “ r r r r 一一口由向量的几何意义，因为（a b） （a6，所以（a b） （a b）。，再运用向量积 的运算得到参数m的值.【详解】一 ,r r r rr r r r 2 r 2/一因为（a b） （a b）,所以（a b） （a b） 0,

3、所以 a b 0,将 a 1 和r 21 2223b（-）m代入，得出m ,所以m33 ,故选d.242本题考查了向量的数量积运算，属于基础题.4 .设 a 10gl.10.5,b 10gl.10.6,c 1.10.6,贝U（）A. a b cB. b c aC. cabD. b a c【答案】A先利用函数的单调性比较 a与b的大小，再利用中间量比较c与a、b大小.【详解】解：因为对数函数 y log1.1 x在区间0, 上单调递增，且0.5 0.6 1,所以a b 0,又 1.10.6 1.10 即 c 1,所以a b c,故选：A本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量（0、

4、1）法，属于基础题.5 .我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四 斤，斩末一尺，重二斤.”意思是：“现有一根金锤，长 5尺，头部1尺，重4斤，尾部该金锤共重多少斤?1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾， 每一尺的重量构成等差数列,A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15 斤直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列an , a1 4, a5 2,即金锤共重15斤，故选D.本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力, 属于基础题.6.设光线通过一块玻璃，强度损失10%如果光线原来的强度为 k k 0 ,通过

5、x块这样的玻璃以后强度为y,则yx*k 0.9 x N ,那么光线强度减弱到原来的1以下4时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据：1g2 0.301 1g3 0.477）A. 12B. 13C. 14D. 15推导出kg0.9x1x 10g0.9 0.25k ,从而410gio 4-9lg4lg -921g21 21g3,由此能求出结果.解：光线通过一块玻璃，强度要损失10% .设光线原来的强度为 k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y kg0.9x ,一，八一，1Q光线强度能减弱到原来的 一以下,4_ _ x 1kg0.9 4k ,x log 0.9 0

6、.2510g吧 4百1g470lg 一921g21 21g30.613.0430.0461至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的一以下.4故选：C .本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.7 .已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于 A, B两点,则|FA| - |FB|的值等于（）A. 8.2B. 8C. 4 2D. 4【答案】C将直线方程y x 1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB| 的值.【详解】 一 y 4x 一。F (1, 0),故直线 AB的

7、方程为y = x- 1,联立方程组，可得x - 6x+1=0,y x 1设A (xi, yi) , B (x2, y2),由根与系数的关系可知xi+x2 = 6, xix2= 1.由抛物线的定义可知：|FA| =x1+1, |FB| =xz+1,l|FA| - |FB|I = |x 1 -x2|= Jx1x224x1x2,36 44/2.故选C.本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.8 .图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A ,A2,儿6,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是()1011图

8、C. 7D. 16A. 10B. 6先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于 90第6页共18页分的个数数出来，即为输出的结果.A 76, i 1, i 16成立，A190不成立，i 1 1 2;A2 79, i 2, i 16 成立，A 90 不成立，i1 1 2;A7 92 , i7, i 16成立，A90成立，n0 1 1, i 718;依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于于90分的学生数为10,故选A.90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查 理解能力，属于中等题.ln |x|

9、 ,9 .函数f(x) 一的大致图象是()x第15页共18页即可得解.首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性,解：函数的定义域为x|x 0,且f( x)ln| x|x所以函数f x是奇函数，图象关于原点对称，故可排除ln|x|xB,f(x)，当 x 1 时，f (x)当 x 0 时，f (x)In | x | In xx x0 ,故可排除C；In | x | In x，f xx x显然当1 时，f x0,内的概率为()【答案】C913C. 函数f x是单调递减的，可排除 D,故选：A 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图 象的

10、常用方法，属于中档题.10 .如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体D.上1693J2等腰直角三角形,的体对角线,即2r 42 (3.2)2(3J2)22J13.所以球的体积为5213 .所以【详解】试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为 所以三棱锥的体积为 12.球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体长宽高129113点落在四面体内的概率为52M3169 .故选C.131.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力2211 .已知双曲线 M ： 5 1(a0, b 0)的渐近线均和圆a b22N :x y 6x 5 0相

11、切，且双曲线 M的右焦点为圆N的圆心，则双曲线 M的离心率为()A. 3-5B. -C. . 3D.252【答案】A由题意因为圆N:x2 y2 6x 5 0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0),利用双曲线的右焦点为圆 N的圆心及双曲线的标准方程建立a, b的方程.再利用双曲线22三 y2 1(a 0,b 0)的两条渐近线均和圆 N :x2 y2 6x 5 0相切，建立另一个a ba , b的方程.【详解】解：圆N的圆心N 3,0 ，半径r = 2双曲线M的右焦点坐标为 3,0，即c 3,则a2 b2 9又双曲线M的一条渐近线方程为 bx ay 0,3b22点N到渐近线的距离等于半径，即 2

12、 22 2,化得4a2 5b2a b联立解得：a V5, b 2,c 33 5该双曲线M的离心率为e c125.a 55故选：A此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题，属于中档题.x a 212.已知函数g(x) e -x有两个不同极值点，则实数a的取值范围是()1 1a. 0, eb. e,C.0,d.,ee【答案】B求出函数的导函数 g (x) ex ax ,记f x g x ,函数有两个不同的极值点，等价于导函数f x有两个不同的零点， 对f x求导，求出f x极值，即可求出实数的取值范围.【详解】g (x) ex ax ,记f x g

13、 x ,则题设条件转化为函数f x有两个不同零点当a 0时，f x在R上单调递增，不符合题意；当 a 0时，f xex a,令 f xex a 0,解得：x In a当x ( ,ln a)时，f x0,此时f x单调递减当x (In a,)时，f x0,此时f x单调递增；1且当 x 1 时，g ( 1) e a 0,当 x a 时，g (a) ea a2 0,又 f x 有两个不同零点， f(x)min f (In a) a a In a 0,a a In a 0即，解得a e,即实数a的取值范围为 e, ,a 0故选：B本题考查利用导数研究函数的极值与函数的零点问题，属于中档题二、填空题1

14、3.等比数列 an的前n项和为Sn,且4a1，2a2 , a3成等差数列，若a1 1,则S4 .【答案】15.2一 1 24由题悬得 4a2 4al a3 4q 4 q q 2 S4 151 214.若关于x的二项式 2x - 的展开式中一次项的系数是70,则a x利用二项式定理的展开式的通项公式，通过哥指数为1,即可得到实数a的值。【详解】展开式的通项公式为Tr 1 C； ar 27 r x7 2，由7 2r 1 ,得r 3 ,所以一次项的系数为 C3 24 a370 ,得a 1,2 1,1故答案为：1.2本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础

15、题。xsinx,0 x15 .已知函数f(x) -与y kx(k R)的图像有三个不同交点，则实x, x数k的取值区间为.【答案】0,函数的交点转化为函数的零点问题，根据函数是分段函数，分类讨论可得记 g(x)xsin x kx,0 f (x) kx .x kx, x,则题意为：方程 g x 0有三个不等实数根,当0 xn时，由xsin x kx 0得k sin x, k (0,1)时有两个不等实数根当x 时，由Jx kx 0得k A，k 0, 时有一个实数根，综上：k时方程g x0有三个不等实数根故答案为:本题考查函数的零点问题，分类讨论是解答的关键，属于中档题16 .如图，在四面体 ABC

16、D中，AB CD 3, AD BD 3, AC BC 4 ,用平行于AB,CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ,则该四边形 EFGH面积的最大值为根据线面平行的性质可知 GH / /AB, EF /AB,GF /CD,EH /CD，因为AD BD 3, AC BC 4,故AB CD ,所以四边形为矩形，设BF :BD BG:BC FG :CD x,(0 x 1),建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.【详解】因为直线 AB/平面EFGH且平面 AB改平面EFGW HG所以HG/AB,同理EF/AB,GF /CD,EH /CD ,所以四边形EFGH;平行四边形又 AD BD 3, A

17、C BC 4,可证明 AB CD所以四边形EFGH;矩形.设 BF:BD BG : BC FG :CD x,(0 x 1),FG 3x,HG 3(1 x)1 o 119Sefgh FG HG 9x(1 x) 9 (x 万)2 / ,当 x 万时，有最大值-.9故填9.4本题主要考查了四面体 ABCM的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于难题.三、解答题17.某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并

18、将这200人按年龄分组：第1组15,25，第2组25,35，第3组35,45，第4组45,55 ,第5组55,65 ,得到的频率分布直方图如图所示335110E()12310第16页共18页(1)求出a的值；(2)若已从年龄较小的第 1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，设第 2组抽到 人，求随机变量的分布列及数学期望E【答案】(1) a 0.035 (2)详见解析(1)由频率分布直方图的性质，能求出 a的值.(2)根据分层抽样的规则计算出各组人数，则随机变量的所有可能取值为1, 2,3,分别计算出概率，列出分布列即可求出期望【详解】解：(1)由 10

19、(0.010 0.015 a 0.030 0.010) 1 ,解得 a 0.035.(2)第1, 2组的人数分别为20人，30人，从第1, 2组中用分层抽样的方法抽取 5 人，则第1 , 2组抽取的人数依次为 2人，3人.随机变量 的所有可能取值为1 , 2, 3.其中P( 1)C2c310，P(c2 C；32) c%C3 二，P(3)C3C3110，所以随机变量 的分布列为:l23P31035110本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题.18.已知函数f(x) 2cosxsin x t的最大值为1.3(1)求t的值;(2)已知锐角A

20、BC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,若a2金，三角形ABC的面积为33 ,且 f (A)，求 b c 的值.2【答案】(1) t(2) b c 2品2(1)利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降哥公式、辅助角公式等对f x进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到 t的值.(2)由f大小，利用面积公式得到 bc的值，再由余弦定理，配凑出 b c,得到答案.解：(1) f(x) 2cosxsinx 3 t sin xcosx 3cos2 x1 .。 三 1 cos2x-sin2x .3 sin 2x t3(2)x的最大值为1,故t0,Q f(A) 3,可得:2sin2AA 一,一2

21、32A23由三角形面积公式得,31-bcsin A2石，可得:由余弦定理得,22b c 2bccos A,可得：8 bb c 2.5第17页共18页本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.19 .如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在平面互相垂直， FD平面 ABCD , EF P平面 ABCD .(1)求证：平面ACF 平面BDF ；(2)若 CBA 60 ,求二面角 A BC F的大小.【答案】(1)见证明；(2)4(1)由菱形的性质可得 AC BD,由线面垂直的性质可得 F

22、D AC,从而可得AC 平面BDF ,再由面面垂直的判定定理可得结果；(2)设AC I BD 。，以。为原点，OB为x轴，OA为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标 系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面BCF的法向量，结合平面 ABC的法向一 ir 量m (0,0,1),利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】(1) .菱形 ABCD , AC BD,. FD 平面 ABCD , FD AC ,BD FD D , AC 平面 BDF ,AC 平面ACF，平面 ACF 平面BDF .(2)设ACI BD 。，以。为原点，OB为x轴，OA为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z

23、轴，建立空间直角坐标系，则 b/0,0) , C 0, 1,0 , F( 73,0, V3), uuur_uuur _BC (品 1,0) , BF ( 2弗,0,4), 一，一 r ,、设平面BCF的法向量n （x,y,z）,v uuv -n BC、.3x y 0r则 v uuv _ ，取 x 1 ,得 n (1, 73,2),n BF 2 .3x、.3z 0LT平面ABC的法向量m (0,0,1),设二面角A BC F的大小为则cos|rn r| 2.2j j ,-z-|m| |n| 、82，二面角A BC F的大小为一.4本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空

24、间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离 .20 .已知函数f（x） aex, g（x） lnx lna,其中a为常数，e是自然对数的底数， e 2.72,曲线y f x在其与y轴的交点处的切线记作l1，曲线y f x在其与x轴的交点处的切线记作l2,且l1/l2.（1）求l1/2之间的距离;（2）对于函数f X和g X的公共定义域中的任意实数Xo,称f X0g X

25、0的值为函数f X和g X在Xo处的偏差.求证：函数f X和g X在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【答案】（1） J2 （2）证明见解析（1）求出“*）与*轴、y轴的交点坐标，求出函数的导数，根据两条切线平行求出参数a的值，即可求出切线方程，利用两平行线的距离公式求11,12间的距离.(2)得到函数 y f X 和 y g X 的偏差为：F(x) |f(X) g(X)| eX 1n x ,X (0,),利用导数分析F(X)min ,证明F(X)min 2即可.【详解】(1)函数f (x) aex的图像与y轴的交点为 0,a ,函数y g X的图像与x轴的交点为a,0 ,X ,、1而 f x

26、 ae , g (x)-,X1 I1/I2 , f 0 g a,得 a , a又; a 0, a 1.f(x) eX, g(x) 1nx,，切线11过点0,1 ,斜率为k1f (0) e0 1 ；切线12过点1,0 ,斜率为k2g (1) 1,11: x y 1 0, 12 : x y 1 0,|1 ( 1)1 o，两平行切线11,12间的距离d ¥ ( 1)272(2) .函数 y f X 和 y g x 的偏差为：f(x) | f (x) g(x)| eX 1n x ,x (0,),v1V1 F (x) eX,易得F(x) eX在x(0,)上是增函数，方程F (x) 0有XXL人

27、.,、,L r X01且只有一个正实根，记为X X0,则e -.x当 X0,X0 时，F(x) 0；当 XX0,时，F (x) 0,第22页共18页上单调递增,. 函数F x在0,Xo上单调递减，在X0,F ( x) minex ln x0ex0In -eex0xo1 xo1 F (1) e 1 0, F 2-1ee 2 0, - - x0 1,2故 F ( x) min1x0即函数y f x和y g x在其公共定义域内的所有偏差都大于2.本题考查导数的几何意义，利用导数求在一点处的切线方程，两平行线之间的距离公式的应用，利用导数研究函数的最值，属于中档题 x2 y221 .已知椭圆c：-y

28、y2r 1(a b 0)的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴 a b一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于J5 ,直线i与椭圆c交于A x1,y1 ,B x2,y2两点，其中直线l不过原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线OAl,OB的斜率分别为 兄*2,其中k0且k2 k1k2 .记VOAB的面积为S分别以OA,OB为直径的圆的面积依次为 Si,S2,S S2的最小值.S2【答案】(1)上42/5y 1(2)(1)由题意知a2b,且Ja2 b2 J5,由此能求出椭圆方程.(2)设直线l的方程为y kx m , A(x , yj, B(x2 , y),联立kx韦达定理、椭圆弦长公式结合

29、已知条件能求出a 2b解：(1)由题意知，广22、,a b.5,解得2所以椭圆C的方程为x-4y2 1(2)设直线1的方程为y kXm(m0) , A(x, yi),B(X2 , y2),y kx由X22丁 ym消去y整理得114k222x 8kmX 4 m10,根据题设有:因为k2将X1此时16 1k2k1k2X20,224k m0 且 X1kM,所以X y2X1 X28km k16 2X2X1X2am8 km4:7， X1X2-1 4k " 2m2 11 4k2mk2XjX2 km X1 x2X1X2| AB| dS24 m2 14 m 1代人,化简得:1 4k2m20且m 0,

30、解得0 m22.故2、1k2X12X24X1X2|m|k2| m| v2 m2 ,2X12y12X22y23 2 ；X13 2 ；X2316SSX1X22X1X254| m| 2 m25454当且仅当1即m 1时等号成立.综上：SS2的最小值为5本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程,m2 11考查弦长公式、圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于难题.三角形面积公式及直线与椭22.在平面直角坐标系 XOy中，直线1的参数方程为1 -t2(t为参数).以.31t2坐标原点为极点，以 X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为2、3sin第24页共18页(1)求直线l的普通方程及曲线 C的直角坐标方程；22(2)设点P 1, J3 ,直线l与曲线C相交于A B两点，求涵-| 而|的值.【答案】(1) l的普通方程为x #y 2 0,曲