2019年北京市中考数学试卷及答案【优选新版】

1、2019年北京市中考数学试卷、选择题（本题共 16分,每小题2分） 1 . （2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A. 0.439X 106B . 4.39X 106C. 4.39X 105D . 439X 1032. （2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）3. （2分）正十边形的外角和为（）C. MN / CDB.若 OM =MN .则/ AOB = 20A. 180B. 360C. 720D,

2、14404. （2分）在数轴上，点A, B在原点。的两侧，分别表示数a, 2,将点A向右平移1个单位长度， 得到点C,若CO = BO,则a的值为（）A. - 3B. - 2C. - 1D . 15. （2分）已知锐角/ AOB,如图，（1）在射线OA上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作 而，交射线OB于点D,连接CD;（2）分别以点C, D为圆心，CD长为半径作弧，交 而于点M, N;(3)连接 OM , MN .根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）D. MN = 3CDA. - 3B. - 1C. 16. （2分）如果m+n=1,那么代数式（音吐工+） ?（m2-n2）的

3、值为（ tti -mm m学生类型性别男73125304女82926328学段初中25364411A. （2分）用三个不等式ab, ab0,工中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A. 0B. 1C. 2D. 38. （2 分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间t0t 1010t 2020 tv 3030t40卜面有四个推断:2030之间2030之间A.B.C.D.这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5 - 25.5之间这200名学生

4、参加公益劳动时间的中位数在20 - 30之间这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在所有合理推断的序号是二、填空题（本题共 16分，每小题2分）的值为0,则x的值是9. （2分）分式（结果保留一位10. （2分）如图，已知 ABC,通过测量、计算得 ABC的面积约为小数）11. （2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号）长方体圆柱 圆锥12. （2分）如图所示的网格是正方形网格，则/ PAB+/PBA = （点A, B, P是网格线 交点）.I13. （2分）在平面直角坐标系 xOy中，点

5、A （a, b） （a0, b0）在双曲线y=上，点A关于1x轴的对称点B在双曲线y=,则k1+k2的值为.如图2,图3所示的止方形，则图1中菱形的面积为_圉1国215. （2分）小天想要计算一组数据 92, 90, 94, 86, 99 将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据方差为才，则S12so2 （填或” ，16. （2分）在矩形 ABCD中，M, N, P, Q分别为边 AB 对于任意矩形 ABCD,卜面四个结论中，存在无数个四边形 MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形 MNPQ是矩形；存在无数个四边形 MNPQ是菱形；至少存在一个四边形 MNPQ是止方形.所启止确结论的序

6、号是 .X图3,85的方差s02,在计算平均数的过程中，2, 0, 4, -4,9,- 5,记这组新数据的）BC, CD, DA上的点（不与端点重合）14. （2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成二、解答题（本题共 68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分,第25题5分, 第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17. （5 分）计算：|- V3|- （4-兀）0+2sin60 + （亍）一1.（x-l）x+218. （5分）解不等式组：，x+T、A19. （5分）关于x的方程x2-2x

7、+2m-1 = 0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.20. （5分）如图，在菱形 ABCD中，AC为对角线，点 E, F分别在 AB, AD上，BE= DF ,连接EF.（1）求证：ACLEF;（2）延长EF交CD的延长线于点 G,连接BD交AC于点O.若BD = 4, tanG=L ,求AO的长.21. （5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30Wxv 40, 40x 50, 50x0),在 ABC中，D,

8、E分别是AB, AC的中点.若t =仔，求 ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在 ABC中存在一条中内弧 DE,使得血所在圆白圆心 P在4ABC的内部或边上，直接写 出t的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16分,每小题2分）1 . （2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星 “东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A. 0.439X 106 B . 4.39X 106C. 4.39X 105D . 439X 103【分

9、析】科学记数法的表示形式为 ax10n的形式，其中1wa|v 10, n为整数.确定n的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对 值1时，n是正数；当原数的绝对值v 1时，n是负数.【解答】解：将 439000用科学记数法表示为 4.39X 105.故选：C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1W|a|MN ,且 CM = CD = DN, .3CDMN,故D选项错误；故选：D.【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点.6. (2分)如果 m+n=1

10、,那么代数式( 穹&)?(m2-n2)的值为()d2-mn 巾A. - 3B.TC. 1D. 3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值.【解答】解：原式= 2,n+m了 ?(m+n) (mn)= 皿 ？(m+n) (m n) = 3 (m+n),当m+n= 1时，原式=3.故选：D.【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.7. (2分)用三个不等式 ab, ab0,二工中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为a b结论组成一个命题，组成真命题的个数为()C. 2A. 0【分析】由题意得出 3个命题，由不等式的性质再判断真假即可.【解答】

11、解：若ab, ab0,则工0,则 ab,真命题;若ab,0,真命题;a b组成真命题的个数为 3个;故选：D.【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练 掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键.8. （2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳 动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间 t0t 10 10t 20 20Wt30 30t40人数学牛类型性别男73125304女82926328学段初中25364411这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5 - 25.5之间这

12、200名学生参加公益劳动时间的中位数在20 - 30之间这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在2030之间这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在2030之间所有合理推断的序号是（）A.B.C.D.【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则 处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平 均数就是这组数据的中位数.【解答】解：解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：（24.5X 97+25.5X 103）+

13、 200= 25.015, 一定在 24.5 25.5 之间，正确；这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20- 30之间，正确；这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在2030之间，正确;这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在2030之间，错误.故选：C.【点评】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键.二、填空题（本题共 16分，每小题2分）9. （2分）分式二L的值为0,则x的值是 1 . 立【分析】根据分式的值为零的条件得到x- 1 = 0且乂才0,易得x=1.【解答】解：.分式占二L的值为0,. x- 1 = 0 且 xw 0

14、,x= 1 .故答案为1.【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零. 210. （2分）如图，已知 ABC,通过测量、计算得 ABC的面积约为 1.9 cm .（结果保留一位 小数）【分析】过点C作CD，AB的延长线于点D,测量出AB, CD的长，再利用三角形的面积公式 即可求出 ABC的面积.【解答】解：过点 C作CDXAB的延长线于点 D,如图所示.经过测量，AB= 2.2cm, CD = 1.7cm, .SaABC = AB?CD =2X 2.2 X 1 1.9 (cm2).关键.牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的11. （2分）

15、在如图所示的几何体中， 其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）长方体国在 园推【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答.【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：.【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键.12. (2分)如图所示的网格是正方形网格，则/ PAB + / PBA= 45 (点A, B, P是网格线交 点).【分析】延长 AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理得到 PD2=

16、BD2=1+22=5, PB2= 12+32= 10,求得PD2+DB2=PB2,于是得到/ PDB = 90 ,根据三角形外角的性质即可得到结论.【解答】解：延长 AP交格点于D,连接BD,贝U PD2= BD2= 1+22= 5, PB2= 12+32= 10, pd2+db2=pb2, ./ PDB = 90 , .Z DPB = Z PAB+Z PBA=45 ,故答案为：45.AB【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的 判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.13. (2分)在平面直角坐标系 xOy中，点A (a, b) (a0, b0)在

17、双曲线y= 上，点A关于贝U k1+k2的值为 0x轴的对称点B在双曲线y=【分析】由点A (a, b) (a 0, b0)在双曲线y= 上，可得k1 = ab,由点A与点B关于x轴的对称，可得到点 B的坐标，进而表示出 k2,然后得出答案.【解答】解：,一点 A (a, b) (a0, b0)在双曲线y=-b, x ki = ab;又丁点A与点B关于x轴的对称, .B (a, - b) 点B在双曲线y = l上， Xk2= - ab ； ki+k2= ab+ ( ab) = 0；故答案为：0.【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质

18、.14. (2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12 .【分析】由菱形的性质得出 OA=OC,OB=OD,AC，BD,设OA = x,OB=y,由题意得：!富+产”b-y=i解得：.： 得出AC=2OA = 6, BD=2OB=4,即可得出菱形的面积.ly=2【解答】解：如图1所示：四边形ABCD是菱形，.OA=OC, OB=OD, ACXBD, 设 OA = x, OB=y,由题意得：，Lx-y=l解得：*3, 1尸2.AC = 2OA = 6, BD = 2OB = 4,菱形 ABCD 的面积=ACX

19、BD =-X6X4= 12;22故答案为：12.图1【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和 菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键.15. （2分）小天想要计算一组数据92, 90, 94, 86, 99, 85的方差S02,在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据 2, 0, 4, -4, 9, - 5,记这组新数据的方差为 S12,则 S12 = S02 （填或 0,解得：m 1,.m为正整数，. . m= 1,.x2- 2x+1 = 0,则(x - 1) 2= 0,解得：x1=x2=1.【点评】此题主要考查了根的

20、判别式，正确得出m的值是解题关键.20. (5分)如图，在菱形 ABCD中，AC为对角线，点 E, F分别在 AB, AD上，BE= DF ,连接EF.(1)求证：ACLEF;(2)延长EF交CD的延长线于点 G,连接BD交AC于点O.若BD = 4, tanG=l,求AO的长.【分析】(1)由菱形的性质得出 AB=AD, ACXBD, OB=OD,得出AB: BE = AD: DF ,证出 EF / BD即可得出结论；(2)由平行线的性质得出/ G = /ADO,由三角函数得出tanG=tan/ADO=1=，得出OA = -i-OD,由 BD = 4,得出 OD = 2,得出 OA = 1

21、.【解答】(1)证明：连接BD,如图1所示： 四边形ABCD是菱形，.AB=AD, ACXBD, OB=OD, .BE = DF, .AB: BE = AD: DF, .EF / BD, ACXEF;(2)解：如图2所示： 由（1）得：EF / BD,G = /ADO,tanG= tan/ ADO = 口& = _L,OD 2.-.OA = .OD, .BD = 4,.OD = 2,.OA= 1.【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形 的性质是解题的关键.21. （5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名

22、前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30Wxv 40, 40Wxv 50, 50x(以上数据来源于国家创新指数报告(2018)根据以上信息，回答下列问题:(1)中国的国家创新指数得分排名世界第17(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线11的上方，请在图中用圈出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元;(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是.相比于点A, B所代表的国家，中国的国

23、家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建 设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；相比于点B, C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全 面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值.【分析】(1)由国家创新指数得分为 69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果；(2)根据中国在虚线11的上方，中国的创新指数得分为69.5,找出该点即可；(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断 的合 理性.【解答】解：(1)二

24、.国家创新指数得分为 69.5以上(含69.5)的国家有17个，国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17,故答案为：17;(2)如图所示：(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8;(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；相比于点B, C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还

25、有一定差距，中国提出“决胜全 面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：.【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键.22. （6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A, B, C,如图所示，点 。到点A, B, C的距离均等于a （a为常数），到点。的距离等于a的所有点组成图形 G, / ABC的平分线交图形 G 于点D,连接AD, CD.（1）求证：AD = CD;（2）过点D作DELBA,垂足为E,作DFLBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接 CM.若AD = CM,求直线

26、DE与图形G的公共点个数.厅,* C【分析】（1）利用圆的定义得到图形 G为 ABC的外接圆OO,由/ ABD = /CBD得到俞=而, 从而圆周角、弧、弦的关系得到AD = CD;（2）如图，证明 CD=CM,则可得到 BC垂直平分 DM,利用垂径定理得到 BC为直径，再证 明ODLDE,从而可判断 DE为。O的切线，于是得到直线 DE与图形G的公共点个数.【解答】（1）证明：二到点 。的距离等于a的所有点组成图形 G, 图形G为 ABC的外接圆OO, . AD 平分/ ABC, ./ABD = / CBD,AD=D, .AD = CD;(2)如图， AD = CM , AD = CD ,.

27、CD = CM ,. DM BC, BC垂直平分DM , .BC为直径， ./ BAC= 90 ,AD= CD, ODXAC, .OD / AB, .DEXAB, ODXDE, .DE为。O的切线， 直线DE与图形G的公共点个数为1.【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线 的交点，叫做三角形的外心.也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定.23. （6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：2,3, 4;i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三3, 4;第4天 第5天 第6天 第7天x1X2x4x4x4(2)若X1 = 4, x

28、2=3, x3=4,则x4的所有可能取值为4, 5, 6(3) 7天后，小云背诵的诗词最多为23首.【分析】(1)根据表中的规律即可得到结论；(2)根据题意列不等式即可得到结论；(3)根据题意列不等式，即可得到结论.【解答】解：(1)第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组X1X1X1第2组X2X2X2第3组X3X3X3第4组X4X4X4(2) :每天最多背诵14首，最少背诵4首， X14, X3X4, X4X4,，X1 + x38, X1 + x3+x4 14 ,把代入得，X4 6, . 4 X4W 6, X4的所有可能取值为 4, 5, 6,故答案为：4, 5, 6;(3)二.每天

29、最多背诵14首，最少背诵4首， 由第2天，第3天，第4天，第5天得，X1 + X2W 14，X2+X3W 14,X1+X3+X4W 14,X2+X4W14,+得，3X2W28,283，_ . 2870 X1 + x2+x3+x4+14=-T,33 -X1 + x2+X3+X4k 1时，W内没有整数点；【解答】解：(1)令x=0, y=1,，直线l与y轴的交点坐标(0, 1);(2)由题意，A (k, k2+1), B 产J , - k), C (k, - k),k3当 k= 2 时，A (2, 5), B , 2) , C (2, - 2),在 W 区域内有 6 个整数点：(0, 0), (0

30、, -1), (1, 0), (1, -1), (1, 1), (1, 2);直线AB的解析式为y= kx+1,当*=卜+1 时，y= - k+1,则有 k2+2k= 0, k= - 2,当0k-1时，W内没有整数点，当0k- 1或k= - 2时W内没有整数点；k变化分析W区域内整【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据数点的情况是解题的关键.26. (6分)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2 a个单位长度，得到点 B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含 a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (一,

31、 J-), Q (2, 2).若抛物线与线段 PQ恰有一个公共点，结合函数图象，2 H求a的取值范围.【分析】(1) A (0,-1)向右平移2个单位长度，得到点 B (2,-工)；(2) A与B关于对称轴x= 1对称；(3)a0时，当x=2时，y= - 2,当y=-工时，x= 0或x= 2,所以函数与 AB无交点；a0时，当 x=2 时，y= 一 2,当y =一工时，x= 0或x= 2,a，函数与AB无交点；av 0时，当 y = 2 时，ax2 2ax = 2,aa+|a+L Ia-|a+l|x =或 x=aa当亘士忆上LLw 2时，aw 工；a2当aw -年时，抛物线与线段 PQ恰有一个

32、公共点；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论 交点是解题的关键.27. (7分)已知/ AOB=30 , H为射线 OA上一定点，OhW+1, P为射线OB上一点，M为 线段OH上一动点，连接PM,满足/ OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150 , 得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证：/ OMP = / OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个 OP的值，使得对于任意的点 M总有 ON = QP,并证明.【分析】(1)根据题意画出图形.(2)由旋转可得/ MPN=150 ,故/OPN = 15

33、0 - / OPM;由/ AOB = 30和三角形内角和180 可得/ OMP = 180 -30 -Z OPM = 150 - / OPM ,得证.(3)根据题意画出图形，以 ON=QP为已知条件反推 OP的长度.由(2)的结论/ OMP = /OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM = PN,已具备一边一角相等，过点 N作NCLOB于点C,过点P作PDLOA于点D,即可构造出 PDMA NCP,进而得PD=NC, DM=CP.此 时加上 ON=QP,则易证得 OCNQDP,所以 OC=QD.利用/ AOB=30 ,设 PD = NC =a,则 OP = 2a, OD = V3a.再设 DM = CP = x,所以 QD = OC= OP + PC= 2a+x, MQ= DM+QD = 2a+2x.由于点 M、Q关于点H对称，即点 H为MQ中点，故 MH6MQ = a+x, DH = MH -DM = a,所以 OH = OD + DH = Ja+a=V3+1,求得a= 1,故OP=2.证明过程则把推理过 程反过来，以 OP = 2为条件，利