2020-2021备战中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练及答案解析

1、2020-2021备战中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练及答案解析一、圆的综合1 .如图，OA过？OBCD的三顶点 O、D、C,边OB与。A相切于点 O,边BC与。相交于 点H,射线OA交边CD于点E,交。A于点F,点P在射线 OA上，且/ PCD=2Z DOF,以 。为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为(0, - 2).(1)若/ BOH=30 ,求点H的坐标；(2)求证：直线PC是。A的切线；(3)若OD=J10 ,求。A的半径.势5【答案】(1) ( 1 ,-褥)；(2)详见解析；(3)，3【解析】【分析】(1)先判断出OH=OB=2,利用三角函数求出 MH,

2、OM,即可得出结论；(2)先判断出/PCD=Z DAE,进而判断出/PCD=/ CAE,即可得出结论；(3)先求出O3,进而用勾股定理建立方程，r2- (3-r) 2=1,即可得出结论.【详解】(1)解：如图，过点 H作HM，y轴，垂足为 M.四边形OBCD是平行四边形，/ B=/ODC 四边形OHCD是圆内接四边形/ OHB=Z ODC/ OHB=Z B，OH=OB=2 在 RtAOMH 中， / BOH=30 ；MH= OH=1,2OM=也 MH=石,，点H的坐标为(1, - J3),(2)连接AC. .OA=AD,/ DOF=Z ADO/ DAE=2/ DOF / PCD=2Z DOF,

3、 / PCD土 DAE OB与。相切于点A .OB，OF . OB/ CD CDXAFZ DAE=/ CAE / PCD土 CAE/ PCA=Z PCD+/ACE之 CAE+Z ACE=90 °，直线PC是。A的切线；(3)解：OO的半径为r.11在 RtOED中，DE=-CD=- OB=1, OD=Vl0 , .OE 3 . OA=AD=r, AE=3- r.在RtDEA中，根据勾股定理得，r2- (3-r) 2=1 5解得r=一.3【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切 线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键.2.如图，已知4

4、ABC内接于。O, AB是。O的直径，点 F在。O上，且点 C是 点，过点C作。的切线交AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.的中(1)求证：AE± DE；(2)若/BAF=60, AF=4,求 CE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 试题分析：（1）首先连接 OC,由OC=OA 而=R,易证得OC/ AE,又由DE切。O于 点C,易证得AE± DE;（2）由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC为直角三角形，根据1AE=3求得AC的长，然后连接 OF,可得4OAF为等边三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知条件求得答案

5、.试题解析：（1）证明：连接.OC=OA,OC,Z BAC=Z OCA,Z BAC=Z EACZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于点C, OCX DE, AEXDE;(2)解：.AB是。的直径， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ；/ BAC=Z EAC=30 , ° AEC为直角三角形， AE=3,.-.ac=2,连接OF, . OF=OA, /OAF=/ BAC+/ EAC=60 , .OAF为等边三角形,AF=OA= AB,在 RtA ACB 中,AC=2Vk ,tan / CBA*QBC=2, .AB=4, .AF=2.考点：切线的性质.3.已知AB

6、, CD都是e O的直径，连接 DB,过点C的切线交DB的延长线于点 E.1 如图 1,求证： AOD 2 E 1800；2如图2,过点A作AF EC交EC的延长线于点F,过点D作DG AB ,垂足为点G,求证：DG CF;DG 3 一3如图3,在2的条件下，当 时，在e O外取一点H,连接CH、DH分别交CE 4e O于点M、N,且 HDE HCE，点P在HD的延长线上，连接 PO并延长交CM于 点Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求线段HM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 8J3 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/

7、E=180°,只要证明 /AOD=2/D 即可；(2)如图2中，作OR，AF于R只要证明 4AO宅 ODG即可；(3)如图 3 中，连接 BG OM、ON、CN,彳BTL CL于 T,作 NK±CH于 K,设 CH 交 DE 于W.解直角三角形分别求出 KM, KH即可；【详解】1证明：如图1中，QeO与CE相切于点C,OC CE, OCE 900, D E 900,2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 1800 2证明：如图2中，作OR AF于R.Q OCF F ORF 900, 四边形OCFR是

8、矩形， AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°，OA DO ,VAOR VODG ,OR DG , DG CF ,3解：如图3中，连接BC OM、ON、CN,彳BT CL于T,作NK CH于K,设CH交DE于W.设 DG 3m,则 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 900,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,QCD为直径，CBD CND 90o CBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CT, ET BTBT 3m m B

9、TBT J3m（负根已经舍弃），tan3mE 60°,Q CWD HDE H , HDE HCE ,H E 600,MON 2 HCN 600，QOM ON ,VOMN是等边三角形，MN ON ,QQM OB OM ,MOQ MQOQ MOQ PON 1800MON 120°, MQOPON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,P 180° H 120°,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 dn2 h2 142 48，在 RtVCHN 中，tan H CN 至-J3, HN HNHN 1673 ,在 RtVKNH

10、中，KH - HN 86, NK HN 24, 22在 RtVNMK 中，mK JMN2 NK2 J252 242 7,HM HK MK 8近 7 .本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.一 . .14.如图，已知在 4ABC中，AB=15, AC=20, tanA=，点P在AB边上，O P的半径为te2长.当点P与点B重合时，OP恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相交于点M和点N.(1)求。P的半径；(2)当AP=6j5时，试探究AAPM与4PCN

11、是否相似，并说明理由.【答案】(1)半径为3卡;(2)相似，理由见解析.【解析】【分析】(1)如图，作BD>± AC,垂足为点D, OP与边AC相切，则BD就是。P的半径，利用解直角三角形得出 BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长； 如图，过点 P作PHI±AC于点H,作BD±AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH, PM=PN,再利用勾股定理求出 PH、AH、MH、MN的长，从而求出 AM、NC的长，然后求出 处、型 的值，得出 随=里，利用两边对应成比例且夹角相等的两MP NCMP NC三角形相似即可证明.【详解】(1)如图，作BD&g

12、t;±AC,垂足为点D,.OP与边AC相切, BD就是。P的半径,1 BD在 RtA ABD 中,tanA= - BD2 AD '设 BD=x,则 AD=2x, x2+(2x)2=152,解得：x=3j5,半径为3痣；(2)相似，理由见解析，如图，过点 P作PH，AC于点H,作BD)1 AC,垂足为点 D, ，PH垂直平分MN,，PM=PN,1 PH在 RtAHP 中，tanA= 2 AH '设 PH=y, AH=2y, y2+ (2y) 2= (65/5)2 解得：y=6 (取正数)， ，PH=6, AH=12,在 RtA MPH 中，MH= 375 2 62 =3

13、,MN=2MH=6 , .AM=AH-MH=12-3=9 , NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,.AM 93 5 PN 3.5MP 3,55 ' NC5AM PN =,MP NC又 PM=PN,/ PMN=Z PNM, / AMP=Z PNC.AMPAPNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较 强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键E,圆5.四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE= EC BE= ED,以AD为直径的半圆过点 心为O.(1)如图，求证：四边形 ABCD为菱形；(2)如图，若BC的延长线与

14、半圆相切于点 F,且直径AD = 6,求弧AE的长.-J【答案】(1)见解析；(2)2【解析】试题分析：(1)先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再判断出AC± BD即可得出结论；(2)先判断出 AD=DC且DE，AC, / ADE=/ CDE进而得出 / CDA=30°,最后用弧长公式 即可得出结论.试题解析：证明：(1)二.四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE=EC, BE=ED, .四边形ABCD是平行四边形.二,以AD为直径的半圆过点 E,，/ AED=90°,即有AC，BD,四边 形ABCD是菱形；(2)由(1)知，四边形 ABCD是菱形， 4AD

15、C为等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE如图2,过点 C作CG,AD,垂足为 G,连接FO. 丁 BF切圆。于点F,1 OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四边形 CGOF为矩形，CG=OF=3. 2CG 1在 RtCDG中，CD=AD=6, sin/ADC=-,. . / CDA=30 ,，/ADE=15 .CD 2连接 OE,贝U / AOE=2X/ ADE=30°, . . Ae 303 1802 ,点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性 质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.6.如图，AB是。的直径，点 C,

16、 D是半圆O的三等分点，过点 C作。的切线交 AD的 延长线于点 E,过点D作DF, AB于点F,交。于点H,连接DC, AC.(1)求证：/AEC=90;(2)试判断以点 A, O, C, D为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析；(2)四边形AOCD为菱形;(3) DH=2K.【解析】 试题分析：（1）连接OC,根据EC与。O切点C,则/OCE=90,由题意得,/DAC=/ CAB,即可证明 AE/OC,贝U / AEC+/ OCE=180,从而得出Z AEC=90（2）四边形AOCD为菱形.由（1）得万打二仃7,则/DCA=/ CAB可证

17、明四边形 AOCD是 平行四边形，再由 OA=OC即可证明平行四边形 AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边 形是菱形）；（3）连接OD.根据四边形 AOCD为菱形，得4OAD是等边三角形，则 / AOD=60,再由DFDHLAB于点F, AB为直径，在 RtOFD中，根据sin/AODp”,求得DH的长.试题解析：（1）连接OC,.EC与。O切点C,OCX EC,/ OCE=90,°点CD是半圆O的三等分点，Z DAC=Z CAB, .OA=OC,Z CAB=Z OCA,Z DAC=Z OCA, .AE/ OC (内错角相等，两直线平行) / AEC+Z OCE=180,°

18、;/ AEC=90;°(2)四边形AOCD为菱形.理由是：.前二四Z DCA=Z CAB, .CD/ OA,又 AE/ OC,四边形AOCD是平行四边形，,.OA=OC,平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD.四边形AOCD为菱形, .OA=AD=DC=2 -.OA=OD, .OA=OD=AD=2, .OAD是等边三角形，/ AOD=60 ； DHL AB于点F, AB为直径, .DH=2DF,DF在 RtOFD中，sin/AOD=力DF=ODsinZ AOD=2sin60 =W, .DH=2DF=2V'.考点：1.切线的性质2.等边三角

19、形的判定与性质 3.菱形的判定与性质 4.解直角三角形.7.如图，4ABC 内接于。O,弦 ADLBC 垂足为 H, Z ABC= 2 Z CAD.（1）如图1,求证：AB= BC;（2）如图2,过点B作BMLCD垂足为 M, BM交。于E连接 AE、HM ,求证：AE/ HM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接 BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH=2jg ,AD= 11,求线段 AB的长.1囤D“喇"国力【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AB的长为10.【解析】分析：(1)根据题意，设/CAD=a,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出 /BAC

20、=/ ACB,再根据等角对等边得证结论；(2)延长AD、BM交于点N,连接ED根据圆周角定理得出 ZN=ZDEN=Z BAN,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH / AE；(3)连接CE,根据(2)的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HQ然后结合勾股定理求出AG-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：(1)证明：设Z CAD=a,贝U / ABC=2aZ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90 -2a+a=90 -a °/ BAC=Z A

21、CB.1. AB=BC(2)证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN* 4/ N=Z DEN=Z BAN.DE=DN,BA=BN又 ; BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)连接CE./ BDA=Z BCA,Z BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD± EF. AFNBAENB,同理可证 AAFHAACH/. HF=HC

22、又FN=NE . NH / EC,EC=2NHK -NH=2而，EC=4>/5/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC=M EC,.AC=EC=4, 5设 HD=x, AH=11-x,/ ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG,可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CC2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2xi=3,x2=27 (舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2AH CH _. tan2a,/ BH=6 -ab=VbMAH 82 10 BH DH点睛：此题主要考查了

23、圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性 质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键8.如图，AD是4ABC的角平分线，以 AD为弦的。交AR AC于E、F,已知EF/ BC.(1)求证：BC是。的切线；(2)若已知 AE=9, CF=4,求 DE长；(3)在(2)的条件下，若 /BAC=60,求tan/AFE的值及GD长.【答案】(1)证明见解析(2) DE=6 (3) 18向 6电5【解析】试题分析：(1)连接OD,由角平分线的定义得到 /1 = /2,得到DE DF ,根据垂径定 理得到ODL EF,根据平行线的性质得到ODL BC,于是

24、得到结论；(2)连接DE,由DE DF ,得到DE=DF,根据平行线的性质得到 /3=/4,等量代换得到/ 1 = 74,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)过F作FHI± BC于H,由已知条件得到 / 1 = /2=/3=/4=30°,解直角三角形得到11FH=-DF=- X 6=3 DH=3 J3 , CH=JChf 26 ,根据三角函数的定乂得到HF 3 7tan / AFE=tanZ C=-HF 37 ;根据相似三角形到现在即可得到结论.CH 7试题解析：(1)连接OD,.AD是 ABC的角平分线，/ 1 = Z 2,De Df , .ODEF, . EF/ B

25、C, ODXBC, .BC是。O的切线；(2)连接DE,De Df , .DE=DF EF/ BC,/ 3=Z4, - / 1 = / 3,/ 1 = / 4, / DFC玄 AED, .AEDADFC,AEDE9DE 一 一，即一 一，DFCFDE 4 .DE2=36, .DE=6;(3)过 F作 Fhl± BC于 H,/ BAC=60 ,°.1. / 1 = / 2=Z3=Z 4=30 ； .FH=1DF=1 6=3, DH=3£, 22 CH= .CF2 HF2 万， EF/ BC,/ C=Z AFE,HF 3.7tan / AFE=tanZ C= ；CH

26、7 /4=/2. /C=/C, .ADCADFC,AD CD一 一,DF CF /5=/5, Z3=Z2, .ADFAFDGJ,AD DFDF DGCD吐，即3囱用一CF DG4 DG.代18.3 6 7 DG-5点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、 平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键9.已知：如图1, /ACG=90°, AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接 AB,将4ACB沿AB边所在的直线翻折得到 ADB,过点D作DF，CG于点F.(1)当BC=2/3时，判断直线FD与以AB为直径的。的位置关系，并加以证明； 3(2)如图2,

27、点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的。交于D、H两点，连接AH,当/CAB=/ BAD=Z DAH时，求 BC的长.【答案】(1)直线FD与以AB为直径的。相切，理由见解析；(2) 2& 2 .【解析】试题分析：(1)根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的。相切;(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.试题解析：(1)判断：直线 FD与以AB为直径的。相切.证明：如图，作以AB为直径的OO; ADB是将 ACB沿AB边所在的直线翻折得到的， .ADBAACB,/ ADB=Z ACB=90 .°.O为AB的中点，连接

28、DO, .OD=OB工AB, 2.点D在。O上.在 RtA ACB 中，BC=2拳,AC=2；.tan/CAB=1当，/ CAB=Z BAD=30 ,°/ ABC=Z ABD=60 ,° .BOD是等边三角形./ BOD=60 :/ ABC=Z BOD, .FC/ DO. .DFXCGJ,/ ODF=Z BFD=90 ；ODXFD,.FD为。O的切线.(2)延长AD交CG于点E,同(1)中的方法，可证点 C在。O上;，四边形ADBC是圆内接四边形./ FBD=Z 1 + /2.同理 / FDB=Z 2+Z 3. - / 1 = 7 2=73,/ FBD=Z FDB,又/ D

29、FB=90 .EC=AC=2设 BC=x,则 BD=BC=x / EDB=90 ,°，EB=J 取. EB+BC=ECV 2x+x=2,解得 x=22,.BC=2'/2- 2.10 .问题发现.(1)如图，RtABC中，ZC=90°, AC= 3, BC= 4,点D是AB边上任意一点，则 CD的 最小值为.(2)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的 最小值.(3)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,点E是AB边上一点，且 AE= 2,点F是BC边 上的任意一点，把 4BEF沿EF翻折，点B的对应点为 G

30、,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度.若不存在，请说明理由.MN的最小值为961525.(3) 212 八【答案】(1) CD ；(2) CM5试题分析：(1)根据两种不同方法求面积公式求解；(2)作C关于BD的对称点C ,过C作BC的垂线，垂足为 N ,求C N的长即可;(3)连接AC ,则Sfaagcd Svadc Svacg, GB EB AB AE 3 2 1,则点 G 的轨迹为以 E 为圆 心，1为半径的一段弧.过 E作AC的垂线，与O E交于点G ,垂足为M ,由 VAEMsVACB求得gm的值，再由 S四边形AGCDSVACD

31、SVACG求解即可.试题解析：(1)从C到AB距离最小即为过 zKA DHCD AB AC BC-SVABC，22AC BC 3 4 12CD ,AB55(2)作C关于BD的对称点CC作AB的垂线，垂足为D ,，过C作BC的垂线，垂足为N ,且与BD交于M ,N N则CM MN的最小值为C N的长，设CC与BD交于H ,则CH BD ,八八一.12 VBMCsVBCD，且 CH ，5一_ - 24CCBBDC , CC ，5VC NCsVBCD ,丝4CN CCB )纥BD52596即CM MN的最小值为96 .25(3)连接 AC ,则 Szgagcd Svadc 'amd堤沙ACG

32、，1,1为半径的一段弧.GBEB AB AE 3 2，点G的轨迹为以E为圆心,过E作AC的垂线，与。E交于点G ,垂足为M , VAEM sVACB ,EM AEBC ACAE BC 248EM ,AC 55-83GM EM EG - 155S四边形 AGCD SVACD SVACG，15.2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知 识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题.11.如图1,已知AB是。的直径，AC是。的弦，过。点作OFLAB交。于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点 F,点G是EF的中点，连接 CG判断CG与

33、。的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB2=BC?BF;(3)如图 2,当/DCE= 2/F, CE= 3, DG= 2.5 时，求 DE 的长.图1图2【答案】(1) CG与。相切，理由见解析；(2)见解析；(3) DE= 2【解析】【分析】(1)连接CE由AB是直径知4ECF是直角三角形，结合 G为EF中点知/ AEO= / GEC= /GCE 再由 OA= OC 知/OCA=/OAC,根据 OF，AB 可得 / OCA+/GCE= 90；即OCX GC,据此即可得证；.一 BC(2)证ABJFBO得上BOAB,结合AB=2BO即可得;BFEC(3)证 ECDEGC得EG ECED ,

34、根据 CE= 3, DG= 2.5 知3DE 2.53DE ,解之可得.【详解】解：（1） CG与。O相切，理由如下:如图1,连接CE,国1 .AB是。的直径，/ ACB= / AC已 90 °, 点G是EF的中点，.GF= GE= GC,/ AEO= ZGEC= / GCE,.OA=OC,/ OCA= / OAC, .OFXAB, / OAG/AEO= 90 °, / OCA+Z GCE= 90 :即 OCX GC,CG与。O相切；(2) Z AOE= Z FCE= 90°, ZAEO= Z FEC/ OAE= / F,又 : / B= / B, .ABCAFB

35、O,BC AB 目口 f ,即 BO?AB= BC?BF,BO BF .AB=2BO, 2OB2 = BC?BF;(3)由(1)知 GC= GE= GF,/ F= / GCF/ EGC= 2/F,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DCE, / DEG= / CEG .ECtDAEGC；EC EDEG EC ? . CE= 3, DG= 2.5,3 DE , DE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质

36、等知识点.12.已知P是e O的直径ba延长线上的一个动点，/P的另一边交e O于点C、D,两点1 一一.位于AB的上万，AB=6, OP=m, sin P= 3,如图所示.另一个半径为 6的e Oi经过点 C、D,圆心距。.n .(1)当m=6时，求线段 CD的长；(2)设圆心Oi在直线AB上方，试用n的代数式表示 m；(3) POQ在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由.【答案】(1)CD=2j5;(2)m=3n81 ;(3) n 的值为 2/5 或9 J152n55分析：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点H ,连接OC .

37、解RtA POH ,得到OH的 长.由勾月定理得 CH的长，再由垂径定理即可得到结论；(2)解RtA POH ,得到OH = m.在RtVOCH和RtA O1CH中，由勾股定理即可得到 3结论;(3) POO1成为等腰三角形可分以下几种情况讨论： 当圆心O1、O在弦CD异侧 时，分OP= OQ和01P= OO1 . 当圆心O1、O在弦CD同侧时，同理可得结论.详解：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点H ,连接OC .OH 2 .AB =6, . OC=3.由勾股定理得：CH 石.OH ± DC , CD 2CH 2石.1(2)在 RtA POH 中，QsinP= , 32OH =

38、m在 RtA OCH中，CH 2= 9在 RtA 01cH,_2中，CH =36可得：363n2 81m二2n(3) POOi成为等腰三角形可分以下几种情况:当圆心01、0在弦CD异侧时2i) OP= OO1，即 m= n ,由 n=3n一81,解得： 2ne Oi外切不合题意舍去.即圆心距等于e 0、e Oi的半径的和，就有e 0、m 2ii) OF= OO，由(n m)解得：m= 2n ,即2n=3n一81,解得： 2nn= -15 .581 3n2 m=当圆心O1、O在弦CD同侧时，同理可得:2n2POO1是钝角，只能是m n ,即n=,解得：2n综上所述：n的值为9J5或9工5.点睛：

39、本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解 答(3)的关键是要分类讨论.13.如图，AB为。的直径，DA、DC分别切。O于点A, C,且AB=AD.(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, OD交于点E,连结BE求/ AEB的度数；连结BD交。O于点H,若BC=1 ,求CH的长.【答案】(1) 2； (2) ZAEB= 135。； CH【解析】 【分析】AD=2A0,即可求tan/AOD的值;(1)根据切线的性质可得 / BAD=90 ,由题意可得 (2) 根据切线长定理可得 AD=CD, OD平分/ADC,根据等腰三角形的性质可得DOXAC, AE=CE根

40、据圆周角定理可求 /ACB=90°,即可证/ ABC=/ CAD,根据"AAS"证 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度数；由BC=1,可求AE=EC=1 BE 辰,根据等腰直角三角形的性质可求/ ABE=/ HBC,可证AB&4HBC,可求CH的长.【详解】(1) DA是。O 切线，/BAD=90.1 . AB=AD, AB=2AO, . . AD=2AO, ，tan/AOD 竺 2;AO(2)DA、DC 分别切。O 于点 A, C, AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE2 A

41、B 是直径，/ ACB=90 ,°/ BAC+Z ABC=90，且/ BAC+Z CAD=90 ；Z ABC=Z CAD,且 AB=AD, / ACB=/AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE3 . CE=CB 且 / ACB=90 ,° / BEC=45=°Z EBC,/ AEB=135 ,° 如图， BC=1,且 BC=AE=CE . - AE=EC=BC=1 . . BE AD=AB, / BAD=90 / ABD=45，且/ EBC=45, °/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,BC CH.ABEA

42、HBC, ，即 7EB AE , 21 CH,.CH 1本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识 是解题的关键.14.如图，AB为。的直径，BC为。的弦，过。点作OD，BC,交。的切线CD于点 D,交。于点E,连接AC、AE,且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是。的切线；(2)若 AF: EF=2: 1,求 tan/CAF的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得到 / OBD=Z OCD=90 ,根据切线的判定定理即可得

43、到结论；(2)根据已知条件得到 AC/ DE,设OD与BC交于G,根据平行线分线段成比例定理得到11AC: EG=2 1, EG=3AC,根据二角形的中位线的性质得到OG AC于是得到AC=OE求得/ABC=30,即可得到结论.【详解】证明：(1) OC=OB OD± BC,/ COD=Z BOD, 在 COD与 BOD中，OC=OBCOD= BOD, OD=OD.,.COCABOD,/ OBD=Z OCD=90 ；.BD是。O的切线；D(2)解：AB为。的直径，AC± BC,1 .ODXCB,2 .AC/ DE,设OD与BC交于G,. OE/AC AF- EF=2 1-rr J.AC： EG=2： 1