2016年江苏省高考理科数学试题及答案

1、数学I试题参考公式 圆柱的体积公式：V酬i=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：V圆锥1Sh,其中S是圆锥的底面积，h为高.3一、填空题：本大题共 14个小题，每小题5分共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1 .已知集合 A 123,6, B x| 2 x 3,则 AI B=A.2 .复数z (1 2i)(3 i),其中i为虚数单位，则z的实部是.223.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 上 1的焦距是.734 .已知一组数据 47,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .5 .函数y= J3- 2x- X2的定义域是.6 .如图是一个算法的流程图，则输出的

2、a的值是 .7 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .8 .已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a+a22=-3, S5=10,则a9的值是 .9 .定义在区间0,3 或的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .24 1(a> b> 0)的右焦点，直线y b2b . 一、一与椭圆交于B,22x10 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，F是椭圆 aC两点，且 BFC 90° ,则该椭圆的离心率是 一(第10题)a,11.设f (x)是定义在R

3、上且周期为2的函数，在区间-1,1)上，f (x),00,d其中a R.若 1,59f(3if(5a)2y12 .已知实数x, y满足2x 3x00 ,则x2+y2的取值范围是0uuuuur uur1 ,uur13 .如图，在那BC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点，uuu uuu则BE CE的值是一14 .在锐角三角形 ABC中，若sinA=2sin BsinC,则tanAtanBtanC的最小值是二、解答题(本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)15 .(本小题满分14分)4在 ABC 中，AC=6, cos B

4、= 一 5(1)求AB的长;(2)求cos(A-3)的值. 616 .(本小题满分14分)BC的中点，点F在侧棱BiB如图，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，D, E分别为AB,上，且 B1D AF , AC1 AB.求证：(1)直线DE/平面AiCiF；(2)平面 BiDEL平面 AiCIF.17 .(本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P ABGD1,下部分的形状是正四棱柱ABCD ABQiDN如图所示)，并要求正四棱柱的高 OiO是正四棱锥的高POi的四倍.(1)若AB 6m,POi 2 m,则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6

5、 m,则当POi为多少时，仓库的容积最大？18 .(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2 y2 12x 14y 60 0及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；uir uir uuu 设点T (t,0)满足：存在圆 M上的两点P和Q,使得TA TP TQ,求实数t的取值范围。19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) ax bx(a 0,b 0,a 1,b 1).(1)设 a=2,b=l.2求方程f(x)=2

6、的根；若对任意x R,不等式f(2x) mf(x) 6恒成立，求实数 m的最大值；(2)若0 a 1,b>1,函数g x f x 2有且只有1个零点，求ab的值.20 .(本小题满分16分)记U 1,2, ,100 .对数列ann N 和U的子集若T ，定义St0;若T t1,t2，tk ,*定义St at1 at2 3+atk.例如：T= 1,3,66时，St a1 a3+a66.现设ann N 是公比为3的等比数列，且当T= 2,4时，St=30 .(1)求数列 an的通项公式；(2)对任意正整数k 1 k 100 ,若T1,2，k ,求证：St ak 1 ；(3)设 C U, D

7、U ,Sc Sd,求证：Sc Scid 2Sd .数学n (附加题)21 .【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.【选修4一1几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，在 AABC中，/ ABC=90°, BDXAC, D为垂足，E是BC的中点，求证：/ EDC = /ABD.B.【选修42：矩阵与变换】（本小题满分10分）12 八11已知矩阵A 02 ,矩阵B的逆矩阵B =2,求矩阵AB.02C.【选修4 4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐

8、标系 xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程x cos , 为 y 2sin为参数）.设直线l与椭圆C相交于A, B两点，求线段 AB的长.D.设 a>0, |x-1|< a , |y-2|v a ,求证：|2x+y-4|va.33【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答 .解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 .22 .（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l: x-y-2=0 ,抛物线C：y2=2px（p>0）.（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线 C的方程；（2）已知抛物线

9、C上存在关于直线l对称的相异两点 P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为（2-p, -p）；求p的取值范围.23.(本小题满分10分)(1)求 7C： YC；的值；C*+2 + +nC：T+ (n+1) C：= (m+1) C：+蓝.(2)设 m, n N*, n淅，求证：(m+1) C*+ (m+2) C*+i + (m+3)1.1,22.53. 2 .104.0.15.3,16.957.一68.20.9.7.10.11.632512.13.4 4,1357814.8.15.解（1）因为 cosB4,0 5参考答案，所以sinB 出标“白2AC由正弦定理知sin BABsin C所以ABAC s

10、inCsin B（2）在三角形ABC所以A6 J 工5 2.5 (B C).是 cosA cos(BC)cos(BcosBcos4 .又 cosB ,sin B53,故 cosA 54,22sin Bsin, 4210因为0 A所以 sin A . 1 cos2 A因止匕cos（A6)cos Acos sin Asin 一7210_11072107.220,616.证明：（1）在直三棱柱 ABC AB1C1中,AC/AC1在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.所以 DE / /AC ,于是 DE /AC1又因为DE 平面ACiF,ACi 平面ACiF所以直线DE/平面AC1F(2

11、)在直三棱柱 ABC AB1G中，AA1 平面ABG 因为AC1 平面AB1c1 ,所以AA1 AC又因为 AC1 AB1, AA1 平面ABB1A,AB1 平面ABBA,AB1I AA1 A所以AC1 平面ABB1A1因为B1D 平面ABB1A,所以AC1 BD又因为 B1D AF, AC1 平面AC1F,AF 平面AC1F,AC1I AF A所以B1D平面AC1F 因为直线 B1D 平面BDE ,所以平面B1DE 平面AC1F.17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：(1)由

12、PO1=2 知 OO1=4PO1=8.因为 A1B1=AB=6 ,12123所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V柱=-AB12 PO1 - 62 2 24 m3 ;33正四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1 的体积柱=庆82 OO162 8 288 m3 .所以仓库的容积 V=V锥+V柱=24+288=312 (m3).(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 0<h<6,OO 1=4h.连结 O1B1.因为在 RT PO1B1 中，OB12 PQ2 PB12,所以* h2 36，即 a2 2 36 h2 .21c 13 c 26o于是仓库的容积 V % V柱 a2

13、4h -a2 h a2h 36h h3 , 0 h 6 ,3332622从而 V' 36 3h 26 12 h .3令V' 0 ,得h 2点或h2点（舍）.h 2向时，V' 0 , V是单调增函数;I当2 J3 h 6时，V' 0, V是单调减函数故h 2J3时，V取得极大值，也是最大值.因此，当PO1 2J3时，仓库的容积最大.AB18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.八 一，一 一，.22解：圆M的标准万程为 x 6 y 725,所以圆心M(6 ,

14、 7),半径为5,.(1)由圆心在直线 x=6上，可设N 6,y0 .因为N与x轴相切，与圆 M外切，所以0 y0 7 ,于是圆N的半径为yo,从而7 y0 5y0,解得y0 1 .22因此，圆N的标准万程为 x 6 y 11.(2)因为直线l|OA,所以直线l的斜率为 匕0 2. 2 0设直线l的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0 ,则圆心M到直线l的距离12 6 7 ml|m 5d5，5 .因为 BC OA . 22 4 m 5 所以 255 , 解得 m=5 或 m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设 P Xi，Yi ,Q x2,y2 .nr

15、uir uuu因为 A 2,4 ,T t,0 ,TA TP TQ ,所以2.5,2XzY2x1 2 t而 MC2 d2 BC , 222因为点Q在圆M上，所以 x2 6y2 725.22将代入，得 Xi t 4yi 325.22于是点P X1,y1既在圆M上，又在圆 x t 4 y 325上，2222从而圆 X 6 y 7 25与圆 x t 4 y 3 25没有公共点， 所以 5 5 J t 463 7 2 5 5,解得 2 2J21 t 2 2721. 因此，实数t的取值范围是 2 2/21,2 2J21 .1X X19. (1)因为 a 2,b ,所以 f (x) 22 .2方程 f (x

16、) 2,即 2x 2 x 2,亦即(2x)2 2 2x 1 0,所以(2x 1)2 0,于是2x 1 ,解得x 0.由条件知 f(2x) 22 x 2 2x (2 x 2 x)2 2 (f (x)2 2 .因为f(2x) mf (x) 6对于x R恒成立，且f (x) 0,(f (x)2 4 -所以m -对于xf(x)R恒成立._2而 f(x)点2f(x)?f(4x)(f (0)2 f(0)4,所以m 4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g (x) f (x) 2只有1个零点，而g(0)f(0) 2a0 b0 2 0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为'一- xx 一g (x)

17、a In a b In b ,又由 0 a 1,b1 知 ln a0,ln b0,所以g (x) 0有唯一解x0Ina、log b ().a 1nb令 h(x) g (x),则 h (x)(ax In a bx In b)ax(ln a)2bx(ln b)2 ,)上的单调增函数,从而对任意x R, h(x)''''于是当 x (,%), g(x) g (x0) 0；当 x (%,)时，g (x) g (x0) 0.因而函数g(x)在(，Xo)上是单调减函数，在(X0,)上是单调增函数下证X00 .若X0 0,则X0 应0,于是g(上)g(0) 0,22又g(lo

18、ga2) aloga2 bloga2 2 aloga2 2 0 ,且函数g(x)在以上和loga 2为端点的闭区间上的图象不2间断，所以在 电和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0 a 1,所以loga 2 0,又0 0 ,22所以 0与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若X0 0,同理可得，在 泡和log a 2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾 2因此，x0 0.In a于 1,故 lna ln b 0,所以 ab 1.In bn 1*20. (1)由已知得 an a1？3 , n N .于是当 T 2,4时，Sr a2 a4 3al 27al 30al.又 Sr 30 ,

19、故 30a1 30 ,即 a1 1 .所以数列an的通项公式为an 3n 1,n N*.n 1*(2)因为 T1,2,L ,k, an 30, nN ,所以 Sr a1a2 L ak 1 3 L3k 1；(3k1) 3k.因此，Sr ak1.(3)下面分三种情况证明.右D是C的子集，则SCSCIDSCSDSDSD 2sD .若C是D的子集，则SCSCIDSCSC2SC2SD.若D不是C的子集，且C不是D的子集.令 E C I CU D , F D I CUC 则 E , F , E I FSCSD ,得 SESF.于走 SCSESCI D，SDSFSCI D，进而由设k是E中的最大数，l为F中

20、的最大数，则k 1,l 1,k l .由（2）知，Seak i ,于是 3l 1aiSfkSeak i 3 ,所以 l 1 k ,即 l2从而 Sfa1a2 Lal1 3 Li3l 1ak 1 Se 1222故 SE2sf1 ,所以 SCSCI D2（Sd即 SCSCI D2SD1 .综合得，SC SCI D 2SD .21. A证明：在 ADB和ABC中，因为 ABC 90o,BD AC, A为公共角，所以 ADBs ABC,于是 ABD C.在Rt BDC中，因为E是BC的中点，所以ED EC ,从而 EDCC.所以 EDC ABD.2戢21 - A胆）a b w 11- a bB.解：设

21、B，则B1B2c d0 2cdb 1d2c2d1a-c114122 a 1-11故b-d0,解得 b 1 ,所以B242c 0c 02d 17 1d因此，ABC .解：椭圆 C的普通方程为22 y, r ,x 1 ,将直线l的参数方程4-t，代入2y4(12t)21 ,即 7t2 16t167所以 AB 1tl t2 | .aa21D.证明：因为 |x 1| -,| y 2| - -(y 2)| 2|x 1| |y 2| 2 -3 3 p2px(p 0)的焦点为(上,0)22 0上，得 R 0 2 0,即 p 4.2-.33所以 |2x y 4| |2(x 1)22 .解：(1)抛物线C:y2由点( ,0)在直线l : x y 2所以抛物线C的方程为y2 8x.(2)设 P(x1,yJQ(x2,y2