2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及答案解析

1、2020-2021备战中考数学圆的综合(大题培优 易错难题)及答案解析一、圆的综合1 .如图，在。0中，AB为直径，OCa AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且 EF=ED.(1)求证：DE是。的切线；(2)若tanA=l,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若 OF=1,求圆O的半径.【答案】(1)答案见解析；(2) AB=3BE; (3) 3.【解析】试题分析：(1)先判断出ZOCF+ZCFO=90°,再判断出ZOCF=ZODF,即可得出结论；(2)先判断出/BDE=/A,进而得出 EBgEDA,得出AE=2DE, DE=2BE,

2、即可得出结 论；(3)设BE=x,则DE=EF=2x, AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结 OD,如图.-. EF=ED,Z EFD=Z EDF. / Z EFD=Z CFO, / CFO/EDF. -.OCX OF,ZOCF+Z CFO=90 ： / OC=OD,/ OCF=/ODF, . / ODC+/EDF=90 ；即 / ODE=90 ；，OD，DE. .点 D 在。O 上，. . DE是。的切线;(2)线段AB> BE之间的数量关系为：AB=3BE.证明如下：. AB 为。O直径，/ADB=90；Z AD

3、O=Z BDE. / OA=OD, ，/ADO=/A,/ 一 ,DE BE BD - . / BDE=/A,而 / BED=/DEA, .EBgEDA, ./ RtAABDAE DE AD中,tanA=BDAD 2.AE=2DE, DE=2BE,DEBE 1一二一,AEDE 2AE=4BE,AB=3BE;(3)设 BE=x,贝 U DE=EF=2x, AB=3x,半径 OD=3x. OF=1,OE=1+2x.23 ccc2.-在 RtODE中，由勾股te理可得：(-x) 2+ (2x) 2= (1+2x) 2,，x=(舍)或 x=2,29圆O的半径为3.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的

4、判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出 EB2 EDA是解答本题的关键.2.如图，。的半径为6cm,经过。上一点C作。的切线交半径 OA的延长于点 B, 作/ACO的平分线交。于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证：AC/ OD;试题分析：(1)由OC=OD, CD平分/ACQ 易证得/ACD=/ODC,即可证得 AC/ OD;(2) BC切。于点C, DELBC,易证得平彳T四边形 ADOC是菱形，继而可证得 4AOC是等 边三角形，则可得：/AOC=60°,继而求得弧 AC的长度.试题解析：(1)证明：- OC=OD,

5、ZOCD=ZODC. .CD平分/ACQ/ OCD=Z ACD,/ ACD=Z ODC,AC/ OD;(2) BC切。于点 C,BC±OC.DE±BC, . OC/ DE, AC/ OD, .四边形 ADOC是平行四边形.- OC=OD,，平行四边形 ADOC是菱形，OC=AC=OA,4AOC是等边三 角形，ZAOC=60°, .弧 AC 的长度=60一6 =2 兀180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公 式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.3.如图，AB为。O的直径，点 D为AB下方。O上一点，点 C为弧AB

6、D的中点，连接 CD, CA.(1)求证：/ABD=2/BDC;(2)过点 C作CHI± AB于H,交AD于E,求证：EA=EC;(3)在(2)的条件下，若 OH=5, AD=24,求线段DE的长度.图】卿邳_ .一9【答案】(1)证明见解析；(2)见解析；(3) DE -.2【解析】【分析】(1)连接AD,如图1,设/BDOa, Z ADC= 3,根据圆周角定理得到 /CAB=/BDC=a,由AB为。O直径，得到Z ADB=90 °,根据余角的性质即可得到结论；(2)根据已知条件得到 /AC&/ADC,等量代换得到 /ACE=/CAE,于是得到结论；(3)如图2,

7、连接OC,根据圆周角定理得到 /CO&2/CAB,等量代换得到ZCOB=ZABD,根据相似三角形的性质得到OH=5,根据勾股定理得到AB= AD2BD2 =26,由相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)连接 AD.如图 1,设/BDC=a, /ADC=3,贝忆 CAB=Z BDC=a,点 C为弧 ABD 中点，AC=CD， - /ADC=ZDAC=3, . ZDAB=3- a,. AB 为。O 直径，/ADB=90； a + 3 =90.° 3 =90-° a, .1. Z ABD=90 - Z DAB=90 -(3- a) , ZABD=2a,/ABD=2/

8、BDC;图12(2) CHI± AB,Z ACE+Z CAB=Z ADC+Z BDC=90°, Z CAB=Z CDB,Z ACE=Z ADC, / CAE=Z ADC,/ ACE=Z CAE, . AE=CE;(3)如图 2,连接 OC,ZCOB=2Z CAB, Z ABD=2Z BDC, Z BDC=Z CAB, . / COB=/ABD,。"c"OH OC 1 Z OHC=Z ADB=90 ； . . OCH ABD, ，BD AB 2 . OH=5,BD=10,AB= 7AD2_BD 2 =26,，AO=13,，AH=18,.AHEAADB,AH

9、ADAE ,18 AE,即一=AB 24 2639AE=,DE=-图1图2【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出 辅助线是解题的关键.4.如图1,将长为10的线段OA绕点。旋转90得到OB,点A的运动轨迹为 Ab，P是 半径ob上一动点，q是Ab上的一动点，连接 pq.发现：ZPOQ=时，PQ有最大值，最大值为 ;思考：(1)如图2,若P是OB中点，且QPLOB于点P,求？Q的长；(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B恰好落在OA的延长线上， 求阴影部分面积；探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧 QB恰好与半径O

10、A相切，切点为C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.【答案】发现：90 ； 10 J2 ； 思考：(1) ； (2) 25 % -100/2 +100； ( 3)点 O到折痕PQ的距离为国.【解析】分析：发现：先判断出当 PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结 论；思考：(1)先判断出Z POQ=60,最后用弧长用弧长公式即可得出结论；(2)先在 RtA B'OP 中，OP2+(10 J2-10)2= (10-OP) 2,解得 OP=10j2-10,最后用面积 的和差即可得出结论.探究：先找点 。关于PQ的对称点O',连接OO、O' B O'

11、 C O' R证明四边形 OCOB是矩1 形，由勾股te理求 O H从而求出OO的长，则OM=OO730 .2详解：发现：:p是半径ob上一动点，q是ab上的一动点， 当PQ取最大时，点 Q与点A重合，点P与点B重合，此时，/ POQ=90 , PQ= Joa2_OB2 =10& ；思考：（1）如图，连接OQ,点P是OB的中点,1 一 1一 -OP=2OB=2OQ.QPXOB,/ OPQ=90 °OP 1在 RtA OPQ 中，cos/ QOP= 一,OQ 2/ QOP=60 ；6010 101bq= -;1803(2)由折叠的性质可得，BP= BP, AB'

12、= AB= 10 J2 ,在 RWOP 中,0产+(1。72-10)2= (10-OP) 解得 op=10J2-10,90102S 阴影=S 扇形 aob-2Sa aop=36012102(10.2 10)= 25 71-10072+100；探究：如图2,找点。关于PQ的对称点O',连接 OO、O' R O' G O' R则OM=OM , OO ± PQ, O' P=OP=3点O'是？ Q所在圆的圆心, ,.O' C=OB=10 折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切于C点, .O' dAO, .O' a o

13、b, 四边形OCO'建矩形，在 RtO' B呻,O B=62 42 2V5，在 RtA OB<° K, OO =102 （275）2=2,y30， 11 . OM= 2 OO w X2730 =闻,即O到折痕PQ的距离为J30 .点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式n R180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常15.如图，已知在 4ABC中，AB=15, AC=20, tanA=，点P在AB边上，O P的半径为te2长.当点P与点B重合时，OP恰

14、好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相 交于点M和点N.（1）求。P的半径；（2）当AP=6J5时，试探究AAPM与4PCN是否相似，并说明理由.【答案】（1）半径为3而；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD>± AC,垂足为点D, OP与边AC相切，则BD就是。P的半径，利用解直角三角形得出 BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长； 如图，过点 P作PHI±AC于点H,作BD±AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH , PM=PN,再利用勾股定理求出 PH、AH、MH、MN的长，从而求出 AM、NC的长，

15、然后求出AM、型的值，得出aM=£N，利用两边对应成比例且夹角相等的两 MP NCMP NC三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD>±AC,垂足为点D,.OP与边AC相切,.BD就是。P的半径,1 BD 在 RtA ABD 中,tanA= - BD2 AD ' 设 BD=x,则 AD=2x, ，x2+(2x)2=152, 解得：x=3j5,二半径为3 J5 ；(2)相似，理由见解析，如图，过点 P作PH，AC于点H,作BD± AC,垂足为点 D, ，PH垂直平分MN, ，PM=PN,1 PH在 RtAHP 中，tanA= 2 AH '

16、设 PH=y, AH=2y, y2+ (2y) 2= (675) 2 解得：y=6 (取正数)， ，PH=6, AH=12,在 RtA MPH 中，MN=2MH=6 ,.AM=AH-MH=12-3=9 ,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,AM 93 5 PN 3/5MP 3.55 ' NC 5AM PN=, MP NC又 PM=PN,/ PMN=Z PNM,/ AMP=Z PNC.AMPAPNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较 强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键6.如图，AB是。的直径，PA是。O

17、的切线，点C在。O上，CB/ PO.（1）判断PC与。O的位置关系，并说明理由；若AB=6, CB=4,求PC的长.一 3【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证Z PCO=90即可.（2）可以连接 AC,根据已知先证明 ACPPCO再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC1. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OC

18、P. PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 ° .PC是。的切线.（2）连接AC.AB是。O的直径 ./ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=/ PCO.ACBAPCOcc 口二.pp=-二二BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.7.如图，。是4ABC的外接圆，AC为直径，BD= BA, B已DC交DC的延长线于点 E 求证：BE是。的切线(2)若 EC= 1, CD= 3,

19、求 cos/ DBA【答案】（1）证明见解析；（2） /DBA【解析】 分析：（1）连接OB, OD,根据线段垂直平分线的判定，证得 BF为线段AD的垂直平分 线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到 /ADC=90,证得四边形 BEDF是矩形，即 /EBF=90,°可得出结论.（2）根据中点的性质求出 OF的长，进而得到 BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三 角函数求解即可.详解：证明：（1）连接BO并延长交AD于F,连接OD1 . BD=BA, OA= ODBF为线段AD的垂直平分线.AC为。O的直径/ ADC= 90 °2 .BEXDC四边形BEDF为矩形/ E

20、BF= 90 °3 .BE是。O的切线D(2)O、F分别为AC、AD的中点13.OF= CD=22.BF= DE= 1 + 3=43 5 " OB= OD= 4 2 23OF 2 3 cos/ DBA= cos/ DOF= - OD 5 52点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化8.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截 面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析

21、】分析：先过圆心 O作半径COX AB,交AB于点D设半彳全为r,得出AD、OD的长，在RtA AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解：解：过点 O作OC，AB于D,交。于C,连接OB,.OCX AB1. BD= AB= X 16=8cm22由题意可知，CD=4cm，设半径为xcm,则OD= (x-4) cm在 RtA BOD 中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x-4) 2+82=x2解得：x=10.答：这个圆形截面的半径为10cm.C点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行 求解.9.如图，AB, BC分别是。的直径和弦，点 D为Be

22、上一点，弦DE交OO于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于 H,且HC=HG连接BH,交。O 于点M,连接MD, ME. 求证：(1) DE± AB;(2) Z HMD=ZMHE+Z MEH.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)连接OC,根据等边对等角和切线的性质，证明/BFG=/ OCH=90即可；(2)连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出 /HMD=/BME,再根据三角形 的外角的性质证明 / HMD=Z DEB=Z EMB即可.详解：证明：(1)连接OC, * HC=HG,/ HCG=Z HGC; hc切。于e点

23、, / OCB+Z HCG=90 ;,.OB=oe,/ OCB=Z OBC, / HGC=Z BGF, / OBC+Z BGF=90 ；/ BFG=90即 DE± AB;(2)连接BE,由(1)知 DE± AB,.AB是。的直径，廊二前/ BED=Z BME;四边形BMDE内接于OO,/ HMD=/ BED,/ HMD=/ BME； / BME>AHEM 的外角，/ BME=Z MHE+Z MEH,/ HMD=Z MHE+Z MEH.H£点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角 形的性质、内接四边形的性质.10 .解决问

24、题：1如图，半径为4的e O外有一点P,且PO 7,点A在e O上，则PA的最大值和 最小值分别是 和.2如图，扇形AOB的半径为4, AOB 45°，P为弧AB上一点，分别在 OA边找 点E,在OB边上找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图 中确定点E、F的位置并直 接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用3如图，正方形ABCD的边长为442 .，E是CD上一点（不与D、C重合），CF BE于F, P在BE上，且PF CF , M、N分别是AB、AC上动点，求 VPMN周长的最小值.【答案】（1） 11, 3; （2）图见解析，VPEF周长最小值为4J2 ； （3）4，10 4&a

25、mp; - 【解析】【分析】1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；2作点P关于直线OA的对称点P1 ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2 ,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时 VPEF周长最小，然后根据等腰直角 三角形求解即可；3类似2题作对称点，VPMN周长最小 PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】解：1如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在 过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距

26、离.PA 的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11,PA 的最小值 PA1 PO OA17 4 3,故答案为11和3；2如图，以。为圆心，OA为半径，画弧 AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2,与OA、OB分别交于点 E F,点E、F即为所求.连接 OP1、OP2、OP、PE、PF,由对称知识可知，AO" AOP ,BOP2BOP , PE RE , PF P2FAOP1BOP2AOP BOP AOB 45o,POP245o 45o 90°,VPOP2为等腰直角三角形，PP2 BOr 4V2,VPEF 周长 PE

27、PF EF P1E P2F EF PP24j2 ,此时 VPEF 周长最小.故答案为4 2 ；3作点P关于直线AB的对称P，连接AP1、BP，作点P关于直线AC的对称F2，连接Pi、P2,与AB、AC分别交于点M、N.如图由对称知识可知， PM P1M , PN P2N , VPMN周长PM PN MN PM1 P2N MN PP2 ,此时，VPMN周长最小PP2.BARBAP ,EAP2EAP , AP1 AP AP2,由对称性可知，BAPEAP2BAP EAP BAC 45oPAP245o 45o 90°,VP1AB为等腰直角三角形，vpmn周长最小值PP2 J2ap ,当AP最

28、短时，周长最小.连接DF.QCF BE ,且 PF CF ,PCPCF 450,至 CFQ ACD 450,PCF ACD , PCA FCD ,又AC工,CDAC PC在 VAPC 与 VDFC 中，= PC, PCA FCD CD CFVAPC s VDFC ,处处正DF CDAP .2DFQ BFC 900,取 AB 中点 O.点F在以BC为直径的圆上运动，当 D F、。三点在同一直线上时， DF最短.DF DO FO JOC2 CD2 OC （2版）2 （4拘2 272 2加 272，AP最小值为AP J2DF此时，VPMN周长最小值PP272AP近>/2DF亚 质2>/?

29、02V24>/?0472.【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.11 .已知， ABC内接于e O ,点P是弧AB的中点，连接 PA、PB ;(1)如图 1,若 AC BC,求证：AB PC；(2)如图2,若PA平分 CPM ,求证：AB AC ;24(3)在(2)的条件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25图IS1【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2 J5.【解析】【分析】由点P是弧AB的中点，可得出 AP=BP通过证明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AEC BEC进而证明AB PC.(2)由PA是/ CP

30、M的角平分线，得到 / MPA=Z APC,等量代换得到/ ABC=Z ACB,根据等腰三 角形的判定定理即可证得 AB=AC.过A点作AD)± BC有三线合一可知 AD平分BC,点O在AD上，连结 OB,则/ BOD=/ BAC,根据圆周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得BDsin BOD sin BPC ，设OB=25x ,根据勾股定理可算出 OB、BD> OD、AD的 OB长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【详解】解：(1) .点P是弧AB的中点，如图1,.AP=BP,在 APC和 BPC中AP BPAC BC

31、, PC PC2 .APGABPC (SS§ ,3 / AC之 / BCP, 在 ACE和 BCE中AC BCACP BCP, CE CEABCE(SA3 ,：.Z AEC= Z BEG Z AEOZBEC=180 ,Z AEC= 90 ,ABXPC；(2) PA平分/CPM,Z MPA= ZAPC,Z APGZBPOZ ACB= 180 , Z MPA+Z APOZ BPC= 180 ,Z ACB= Z MPA= Z APC, Z APC= Z ABC,Z ABC= Z ACR . AB = AC;(3)过A点作ADJLBC交BC于D,连结 OP交AB于E,如图2,由(2)得出AB

32、= AC, AD 平分 BC, 点。在AD上，连结 OB,则 Z BOD= Z BAC, Z BPG= Z BAC,24 BD sin BOD sin BPC =,25 OB设 OB= 25x,贝U BD= 24x, OD= VoF_BD? = 7x，在 RtVABD 中，AD=25x+7x=32x, BD= 24x, -AB= >/aD2 BD2 =40x,.AC=8,AB= 40x= 8,解得：x=0.2,.OB=5, BD=4.8, OD=1.4, AD= 6.4,点p是Ab的中点,，OP垂直平分AB, .AE= AB= 4, /AEP=/AEO= 90 °,2在 Rt

33、AEO 中，°E= Jao2ae2 3，PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt APE 中，AP= ypE1 _ae2 亚4r 275 【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大12.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC, AB相交于点 D, E,连接AD.已知/ CAA / B.(1)求证：AD是。的切线；(2)若 CD= 2, AC= 4, BD= 6,求。的半径.【答案】(1)详见解析；(2) 述.(1)解答时先根据角的大

34、小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出ODLAD,从而证明AD为圆。的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以 得出结果【详解】(1)证明：连接OD,.OB=OD,.1. / 3= / B,一/ B= / 1 ,，/ 1 = / 3,在 RtACD中，/1 + /2=90°,/ 4= 180 - ( Z2+Z 3) = 90 °,ODXAD,则AD为圆O的切线；(2)过点O作OF, BC,垂足为F,.OFXBD1 一八 . DF= BF= BD= 32 . AC=4, C42, /AC490° AD= Jac2 cd2 =2通 / CA

35、D= / B, / OFB= / ACA 90 .,.BFOAACDBF =OB AC=ad即 3=OB4 2.53、5.OB=2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相 似的判定条件是解题的关键13.如图，四边形 ABCD是。的内接四边形，AC为直径，?D AD，DELBC,垂足为E.(1)判断直线ED与。O的位置关系，并说明理由；(2)若CE=1, AC=4,求阴影部分的面积.2 :一【答案】(1) ED与e O相切理由见解析；(2) S阴影=久.3【解析】【分析】(1)连结OD,如图，根据圆周角定理，由 Bd Ad得到/BAA/ACD,再根据

36、圆内接 四边形的性质得 / DCE=/BAD,所以/ ACD=/DCE;利用内错角相等证明OD/ BC,而DE，BC,则OD，DE,于是根据切线的判定定理可得DE为。的切线；(2)作OH，BC于H,易得四边形 ODEH为矩形，所以 OD=EH=2,则CH=HE- CE=1,于是 有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形ocd- S；aocd进行计算即可.【详解】(1)直线ED与。O相切.理由如下：连结 OD,如图，?D AD，/BAD=/ACD. / DC- BAD,/ ACD=Z DCE. . OC=OD, . . / OC

37、D=/ODC,而 / OCD=/DCE/ DCE=Z ODC, . .OD/ BC. . DEXBC, .-.ODXDE, . DE为。的切线；(2)作OHBC于H,则四边形 ODEH为矩形，OD=EH. CE=1, AC=4,OC=OD=2, . CH=HE CE=2- 1=1 .在 R匕 OHC 中，/ OC=2, CH=1 ,/OHC=90； /HOC=30；/ COD=60 ；，阴影部分的面积=S扇形 ocd- S；aocd6022 2| 加3604【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(

38、即为半径)，再证垂直即 可.也考查了扇形面积的计算.14 .对于平面内的OC和。C外一点Q,给出如下定义：若过点Q的直线与OC存在公共点，记为点A, B,设k AQ BQ ,则称点A (或点B)是。C的“胁目关依附点”，特别 CQ2AQ 八 2BQ地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ, k(或).CQ CQ已知在平面直角坐标系 xoy中，Q(-1,0), C(1,0), OC的半径为r.(1)如图1,当r J2时， 若Ai(0,1)是。C的“冰目关依附点”，求k的值.A 2(1 +夜，0)是否为OC的“冰目关依附点(2)若。C上存在“相关依附点”点M,当r=1 ,直线QM与。C相切时，求k的

39、值.当k J3时，求r的取值范围(3)若存在r的值使得直线yJ3x b与。C有公共点，且公共点时 OC的 药 相关依附点”，直接写出b的取值范围.0备用图图】【答案】(1)五.是;石 b 36.【解析】【分析】(2)kJ3;r的取值范围是(3)(1)如图1中，连接AC、QA1.首先证明QA1是切线，根据2AQ计算即可解决CQ问题；根据定义求出k的值即可判断；在x轴上方(切点M在(2) 如图，当r 1时，不妨设直线 QM与eC相切的切点 M x轴下方时同理)，连接 CM ,则QM CM ,根据定义计算即可； 如图3中，若直线QM与e C不相切，设直线 QM与e C的另一个交点为 N (不妨设QN

40、 QM ,点N , M在x轴下方时同理)，作 CD QM于点D ,则MD ND,可得MQ NQ (MN NQ) NQ 2ND 2NQ 2DQ , CQ = 2 ,推出k M；NQ 2DQ DQ，可得当 k V3 时，DQ p ,此时 CD JCQ2 DQ2 1 ,CQ CQ,假设e C经过点Q ,此时r = 2,因为点Q早e C外，推出r的取值范围是1, r 2 ；(3)如图4中，由(2)可知：当k J3时，1, r 2 .当r = 2时，e C经过点Q( 1,0)或 E(3,0), 当直线yJ3x b经过点Q时，bJ3 ,当直线yJ3x b经过点E时，b 3J3,即可推出满足条件的 b的取值

41、范围为 J3 b 30 .【详解】(1)如图1中，连接AC、QA1.图1由题意：OC OQ OA1 , aQAQ是直角三角形，CA1Q 90 ,即CAi QA , QAi 是 e C 的切线， k 2QA1 22 & .QC 2Q A2(1 班,0)在eC上， k 2 亚1 & 1 2,4是eC的“小目关依附2点”.故答案为：亚，是;(2) 如图2,当r 1时，不妨设直线 QM与eC相切的切点 M在x轴上方(切点 M在x轴下方时同理)，连接 CM ,则QM CMQQ( 1,0), C(1,0), r 1,CQ 2, CM 1,MQ J3 ,此时2MQCQ如图3中，若直线QM与e

42、 C不相切，设直线QM与eC的另一个交点为 N (不妨设QN QM ,点N , M在x轴下方时同理)，作 CDQM于点D ,则MDND,MQ NQ (MN NQ) NQ 2ND 2NQ 2DQ,QCQ 2,k MQccNQ 2DQ DQ ,当 k 73时，DQ 73,此时 CD JCQ2 DQ2 1, CQ CQ假设e C经过点Q ,此时r = 2, Q点Q早e C外，r的取值范围是1, r 2.图2图3(3)如图4中，由(2)可知：当k J3时，1, r 2.当r=2时，eC经过点Q( 1,0)或E(3,0),当直线yJ3x b经过点Q时，bJ3,当直线yJ3x b经过点E时，b 373 , 满足条件的b的取值范围为石 b 3而.【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A (或点B)是eC的k相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解 决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题.15 .结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，RABC的内切圆与斜边 AB相切于