2020-2021成都九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习

1、2020-2021成都九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习一、圆的综合(1) 图，。的半径为6cm,经过。上一点C作。的切线交半径 OA的延长于点 B, 作/ACO的平分线交。于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证：AC/ OD;BP折叠，分别得到点 A,。的对称点A, O,设/ABP=a.(1)当a =15时,过点试题分析：(1)由OC=OD, CD平分/ACQ 易证得/ACD=/ODC,即可证得 AC/ OD;(2) BC切。于点C, DELBC,易证得平彳T四边形 ADOC是菱形，继而可证得 4AOC是等 边三角形，则可得： /AOC=60,继而求得弧 AC的长

2、度.试题解析：(1)证明：OC=OD, ZOCD=Z ODC. .CD 平分/ACQ/ OCD=Z ACD,/ ACD=Z ODC,. AC/ OD;(3) BC切。于点 C,BCOC. DEBC, . OC/ DE, AC/ OD, .四边形 ADOC是平行四边形.- OC=OD,，平行四边形 ADOC是菱形，OC=AC=OA,4AOC是等边三 角形，ZAOC=60, .弧 AC 的长度=606 =2 Tt.180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公 式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.2.图1和图2,半圆O的直径AB=2,点P (不与点A

3、, B重合)为半圆上一点，将图形延A作A 0/AB,如图1,判断A当半圆O的位置关系，并说明理由.(2)如图2,当a =时；BA与半圆O相切.当a=时，。点O落在F”上.（3）当线段BO与半圆。只有一个公共点 B时，求a的取值范围.【答案】（1） A右半圆。相切；理由见解析；（2） 45； 30； （3） 0 a 30或45 W”0,由(2)可知当a增大到30时，点O在半圆上， 当0。 av 30时点O在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点 B;当a增大到450时BA与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点 B. 当“继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P, B不重合， a 90 :当

4、45 WB0线段BO与半圆只有一个公共点B.综上所述 0 a30或 45 Wq90.考点：圆的综合题.3.如图，AB为eO的直径，弦CD/AB, E是AB延长线上一点，CDB1 DE是e O的切线吗？请说明理由；2 求证：AC2 CD BE .2)证明见解析【答案】(1)结论：DE是e O的切线，理由见解析;【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE即可；(2)只要证明：AC BD , VCDBsVDBE即可解决问题【详解】1解：结论：de是e O的切线.理由：连接OD.Q CDB ADE ,ADC EDB, QCD/AB, CDA DAB , QOA OD , OAD ODA, A

5、DO EDB, Q AB是直径，ADB 900,ADB ODE 900,DE OD , DE是e O的切线.2 QCD/AB,ADC DAB , CDB DBE, n n AC BD，AC BD ,Q DCB DAB , EDB DAB , EDB DCB ,VCDB s VDBE ,CD DB ， BD BEBD2 CD BE , AC2 CD BE .【点睛】解题的关键是学会本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识, 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型4.如图，AB是半圆O的直径，C是窟的中点，D是,密的中点，AC与BD相交于点E.(1)求证：

6、BD平分/ABC;(2)求证：BE=2AD；_ DE(3)求的值.BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3)2【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD(3)连接OD交AC于H.简要思路如下：设 OH为1,则BC为2, OB=OD=J2 ,DH=J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是笳,的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCE

7、ACF,BE=AF=2ADC(3)连接OD交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,则 BC 为 2, OB=OD=72 ,DH-2 1,DE DHBE - BCBE1、2中分别过圆外一点5 .不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图 A作出直径BC所在射线的垂线.【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线 .解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线6 .如图，AB是。的直径，PA是。的切线，点C在。上，CB/ P0.

8、(1)判断PC与。的位置关系，并说明理由；(2)若 AB=6, CB=4,求 PC 的长.【答案】(1) PC是。的切线，理由见解析；(2) 3x5 2【解析】试题分析：(1)要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证/PCO=90即可.(2)可以连接 AC,根据已知先证明 ACPPCO再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线. 证明：连接OC. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB-.OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又,. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OCP. PA是。O的切线/ O

9、AP=90 / OCP=90 2 .PC是。的切线.(2)连接AC.AB是。O的直径/ ACB=90 (6 分)由(1)知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC3 / ACB=Z PCO.ACBAPCOBC AC,二.” OC-AC 37aB2-BC2 3462T2 裾f BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.7.如图，已知 AB是。O的直径，点 C为圆上一点，点 D在OC的延长线上，连接 DA, 交BC的延长线于点 E,使得/ DAC=Z B.(1)求证：D

10、A是。O切线；(2)求证：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=1 ,求 AE的长.3D【答案】(1)证明见解析；(2)收【解析】分析：(1)由圆周角定理和已知条件求出AD AB即可证明DA是。O切线;(2)由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA;(3)由题意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到 DC2=DE?AD,故此可求得 DE的长，于是可求得 AE的长.详解：(1) .AB 为。的直径，/ACB=90,ZCABZ B=90./DAC=/B Z CABZ DAC=90ADXAB OA是。O半径，DA为。的切线；(2)OB=OC

11、,ZOCB=Z B. ./DCE=/OCR ，/DCE=/B. ZDAC=ZB, . . / DAC=/DCE(3)在 RtAOD 中，OA=1,1 sinD=, 3 ./D=/D,ACEDIA ACD;-OD=-OA-=3, .-.CD=OD)- OC=2.sinDi ad=而DOA =2 灰CDDE.,de=cd=V2,ADAD又CEDACD,CDAE=AD - DE=2 衣一拒=拒.点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质 和判定，证得 DESDCA是解题的关键.8.如图，O是4ABC的内心，BO的延长线和 ABC的外接圆相交于 D,连结DC DA、

12、OA、OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证：BOCCDA.(2)若AB=2,求阴影部分的面积.0【答案】(1)证明见解析;【解析】分析：(1)根据内心性质得 /1 = /2, Z3=Z4,则AD=CD,于是可判断四边形 OADC为菱 形，则BD垂直平分 AC, Z4=Z5=Z6,易得 OA=OG /2=/3,所以OB=OC,可判断点 O 为4ABC的外心，则可判断 4ABC为等边三角形，所以 Z AOB=Z BOC=Z AOC=12 0 ,BC=AC再根据平行四边形的性质得 ZADC=Z AOC=120, AD=OC, CD=OA=OB则根据 “SASE明BOXACDA;(2)作OHU

13、 AB于H,如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 /BOH=30 ；根据垂径定理得到 BH=AH=1aB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系2得至U OH= BH= , OB=2OH=23 ,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用333S阴影部分=S扇形AOB0 AOB进行计算即可.详解：(1)证明：:。是4ABC的内心，4，/2=/3, /5=/6, - / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=7 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AQ/3=/4=/6,/ ABC=Z ACB.AB=AC .ABC是等边三角形

14、 .O是4ABC的内心也是外心.OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分 AC在 RtOCE中，CE=1AC=1AB=1 / OCE=30, 22 .OA=OB=OC=2 33 / AOC=120 ,SK 影=S扇 AOB SVAOB_1202,3 2 13（）2 360323_43/39点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，： 角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算.9,已知：如图， ABC中，AC=3, /ABC=3

15、0.（1）尺规作图：求作 ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法;（2）求（1）中所求作的圆的面积.【答案】（1）作图见解析;【解析】2）圆的面积是9 7t.试题分析：（1）按如下步骤作图： 作线段AB的垂直平分线； 作线段BC的垂直平分 线；以两条垂直平分线的交点 O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆 O即为所求作的圆. 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC= 3,如图弦AC所对的圆周角是/ABC=30。，所以圆心角/AOC=60。，所以？AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积.,. AC=3, /ABC=30,Z AOC=60 ；.AOC是等边三角形，

16、圆的半径是3,，圆的面积是S= nt2=9兀10.如图所示，以 RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点 D, E为BC边上的 中点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2) -连接OE, AE,当/CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求 sin/CAE 的值.【答案】 见解析；(2)-1.10【解析】分析：(1)要证 DE是。的切线，必须证 ED OD,即/EDB+/ ODB=90(2)要证AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又BD AC,所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：(1)证明：连接

17、O、D与B、D两点，.BDC是RtA ,且E为BC中点，/ EDB=Z EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 :.DE是。O的切线.(2)解：/ EDO=Z B=90,若要四边形AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又 ; BD) AC, ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作EHIAC于H,、一 一 万 一设 BC=2k,则 EH=22k, AE=75k, .sin/CAE=EH- 50.AE 10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点(即为半径)，再

18、证垂直即可.11 .如图，4ABC内接于OO,且AB为。的直径./ACB的平分线交。于点D,过点 D作。的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AE, CD于点E,过点B作BF, CD于 点F.(1)求证：DP/ AB；(2)若AC=6, BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB为。的直径，根据圆周角定理得 /ACB=90,再由/ACD=/ BCD=45 , 贝U / DAB=Z ABD=45 , 所以 DAB 为等腰直角三角形，所以 DOLAB, 根据切线的性质得 ODLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于 DA

19、B为等腰直角三角形，可得到AB 10AD 225J2；由 ACE为等腰直角三角形，得到6衣 3 J2 ,在RtAAED中利用勾股定理计算出 DE=4J2 ,则CD=7点,易证得PD PA AD. PDAs PCD,得至i PC PD CD5 2，尸，所以7.25PA= PD,7PC=7PD,然后禾I用PC=PA+A（CT计算出PD.5D【详解】解：（1）证明：如图，连接 OD,.AB 为。的直径,/ACB=90./ ACB 的平分线交 O O 于点 D,Z ACD=Z BCD=45 :/ DAB=Z ABD=45 . DAB为等腰直角三角形.DOXAB.PD为。的切线,2 .DP/ AB.3

20、ODXPD.(2)在 RtACB 中,AB -EiC： = K ,A，心e右一,AB 10之片 DAB为等腰直角三角形，2 = 丁=不=又拄AE CD, ACE为等腰直角三角形.具工=CE =在 RtAED中，DE =AD：-：=45后 T3 . 4点, .CDtCE-DE =3右-4.PD PA AO 邛 PC = TO CD= 72. AB / PD,/ PDA=Z DAB=45 ./ PAD玄 PCD.又 / DPA=Z CPD, PD PCD.35 PA=-PD, PC=- PD.又PC=PA+AC 7PD+6=5PD,解得 PD= .57r12.在平面直角坐标系中，已知点 A (2,

21、 0),点B (0, ，点 O (0, 0) . AAOB 绕着O顺时针旋转，得 AOB,点A、B旋转后的对应点为 A, B,记旋转角为 先图1图Z(I )如图1, AB恰好经过点A时，求此时旋转角 a的度数，并求出点 B的坐标；(n )如图2,若0V a90,设直线 AA和直线 BB交于点P,求证：AAUBB;(出)若0 a BC),则折线 ACB称为。的一 条折弦”.(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EFAC于点E,求证：点E是 折弦 ACB的中点，即 AE= EC+CB(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那

22、么AE、EG CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明.(3)如图4,已知 RtA ABC中，/C= 90, Z BAC= 30, RtABC的外接圆。的半径为 2,过。上一点 P作PH, AC于点H,交AB于点 M,当Z PAB= 45时，求 AH的长.C图3度4【答案】(1)见解析；(2)结论AE= EC+CM成立，新结论为： CE= BC+AE见解析;(3) AH的长为6 T或行+1 .【解析】【分析】(1)在AC上截取AG= BC,连接FA, FG, FB, FC,证明FA8 4FBC,根据全等三角形的性质得到FG= FC,根据等腰三角形的性质得到EG= EC,即可证明.(2)在CA

23、上截取CG= CB,连接FA FB, FC,证明FC84FCB,根据全等三角形的性 质得到FG= FB,得到FA= FG,根据等腰三角形的性质得到AE= GE,即可证明.(3)分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】解：(1)如图2,在 AC上截取 AG= BC,连接 FA, FG, FB, FC,点f是Afb的中点，FA= FB,在 FAG和4FBC中，FA FBFAG FBCAG BC,.FAGAFBC (SAS ,FG= FC,FE AC,EG= EC,.AE= AG+EG= BC+CE(2)结论 AE= EC+CM成立，新结论为：CE= BC+AE理由：如图3,在

24、CA上截取CG= CB,连接FA, FB, FC, 丁点f是Afb的中点，FA= FB, ?A ?B ,/ FCG= / FCBCG CB 在 FCG 和 FCB 中，FCG FCBFC FC,.,.FCCGAFCB (SA ,FG= FB,FA= FG, ,.FEL AC, .AE=GE, .CE= CG+GE= BC+AE(3)在 RtABC 中，AB=2OA=4, /BAC=30,1 :BC AB 2, AC 2 3,当点P在弦AB上方时，如图4,在CA上截取CG= CB,连接 PA, PB, PG, / ACB= 90 ；.AB为。的直径，/ APB= 90 ； / PAB= 45 ；

25、/ PBA= 45 = ZPAB,PA= PB, / PCG= / PCB,CG CB在 APCG 和 APCB 中，PCG PCBPC PC,.-.PCGAPCB (SAS ,PG= PB,PA= PG, .PHXAC,.AH=GH,AC= AH+GH+CG= 2AH+BC,，2: 3 2AH 2, AH J3 1,当点P在弦AB下方时，如图5, 在 AC 上截取 AG= BC,连接 PA, PB, PC, PG / ACB= 90 ； .AB为。的直径，/ APB= 90 ; / PAB= 45 ；/ PBA= 45 = ZPAB,PA= PB,在 PAG和PBC中，AG BCPAG PB

26、CPA PB, .PAGAPBC (SAS ,PG= PC, .PHXAC,.CH=GH,AC= AG+GH+CHk BC+2CH273 2 2CH , CH .3 1,AH AC CH 2 3. 3 1.3 1,即：当/PAB= 45。时，AH的长为J3 1或百1图5【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用15.如图，已知 BAC, AB AC,O为ABC外心，D为e O上一点，BD与AC的交 点为 E ,且 BC2 AC CE .求证：CD CB ;若 A 300,且eO的半径为3 &，I为 BCD内心，求