(完整word版)一元二次方程题型分类的总结,推荐文档

1、实用标准文案一元二次方程题型分类总结知识梳理一、知识结构:解与解法一元二次方程根的判别韦达定理考点类型一概念（1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程 就是一元二次方程。（2） 一般表达式： ax2_2.C ax bx c 0D x 2x x 1变式：当k 时，关于x的方程kx2 2x x2 3是一元二次方程。例2、方程 m 2 x|m| 3mx 1 0是关于 x的一元二次方程，则 m的值为 o针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ,常数项是 2、若方程m 2 x'm 1 0是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。3、若方程m 1

2、 x2 Vm?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围 bx c 0（a 0）o 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=3,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点类型二方程的解概念：|使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为。例2、关于x的一元二次方程a 2x2 x a2 4 0的一个根为0,则a的值为 o例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b,则 此方程必有一根为。例4、已知a,b是方程x2

3、 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两 个根，则m的值为 o针对练习： 1、已知方程 x2 kx 10 0的一根是2,则k为,另一根是。x 1 2、已知关于x的万程x2 kx 2 0的一个解与方程3的解相同。x 1求k的值；方程的另一个解。3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式 m2 m 4、已知a是x2 3x 1 0的根，则2a2 6a 5、方程a b x2b c x c a 0的一个根为（）A 1B 1C b cD a6、若 2x 5y 3 0,贝U4x?32y 。考点类型三解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次对于x a 2 m,

4、ax m典型例题：例1、解方程：1 2x2 8 0;类型一、直接开方法:1x2 mm 0 , x 布bx n 2等形式均适用直接开方法_ _222 25 16x =0;3 1 x 9 0;例2、若9 x 1 2 16 x 2 2 ,则x的值为。针对练习：|下列方程无解的是()2_222_A. x 3 2x 1 B. x 20 C.2x 3 1 x D. x 9 0类型二、因式分解法x x1 x x20 x x1,或 x x2精彩文档方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式：力口 ax m 2 bx n 2 , x a x b22x 2ax a 0典型例题:例1、2x x

5、 3 5x 3的根为（A 5Ax B x 32例 2、若 4x y 2 3 4x y 4-5CXi, x2 3 D20 ,贝U 4x+y的值为变式 1： a2b2 2 a2b260,则a2b2变式3:若x2变式2:若x y 2 x y 3 0,则x+y的值为xy y 14 , y2 xy x 28 ,贝 x+y 的值为例3、方程x2 x 6 0的解为()A. x13,x22 B. x13, x22 C.x13,x23 D.x12,x22例4、解方程：x 7、万程1999x1998 2000x 1 0的较大根为r ,方程 2J3 1x 2居4 0例5、已知2x2 3xy 2y2 0,则的值为。x

6、 y变式：已知2x2 3xy 2y2 0,且x Qy 0,则x-y的值为。x y针对练习： 1、下列说法中：方程 x2 px q 0 的二根为 x1 , x2，则 x2 px q (x x1)(x x2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 (x y)( . x .y)( .x , y)方程(3x 1)2 7 0可变形为(3x 1 <7)(3x 1 万)0正确的有()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以1 /与1 V7为根的一元二次方程是()A. x2 2x 6 0 B . x2 2x 6 0C. y2 2y 6

7、0 D . y2 2y 6 03、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：_写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x y 3 x y 2 0,则x+y的值为（）A -1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1 或-2 D 、1或 215、方程：x 2的解是。 x6、已知 v®x2 xy <16y2 0,且 x 0, y 0,求2/ 芯丫 的值。 3x y2007x2 2008x 1 0的较小根为s, WJ s-r的值为类型三、配方法ax2 bx c 0 a 022b b 4ac2a4a2在解方程中，多不用配方法；但

8、常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0例2、已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值例4、分解因式：4x2 12x 3针对练习:1、试用配方法说明10x2 7x 4的值恒小于0。111 2、已知 x丁x-4 0,则x-xxx最小值3c的值 3、若t 2 3 3x2 12x 9 ,则t的最大值为 为。 4、如果 a b 7c 1 144a 2 2 vb1 4 ,那么 a 2b为。类型四、公式法条件：a 0,且b2 4ac 0，明八一b vb2

9、 4ac _ n. 2,_、2）公式： x , a 0,且b 4ac 02a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：22 31 x 6. x 3 x 68.(3) x 4x 1 0 3x2 4x 1 0(5)3 x 1 3x 1 x 1 2x 5例2、在实数范围内分解因式：(1) x2 2yf2x 3;(2) 4x2 8x 1, 2x2 4xy 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根，再写成2ax bx c - a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能

10、否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应厂求代数式的值;而二元二次方程组。典型例题：x 13 x2 1 .例1、 已知x2 3x 2 0,求代数式的值。x 1例2、如果x2 x 1 0,那么代数式x3 2x2 7的值。32例3、已知a是一元二次方程x2 3x 1 0的一根，求2a 5a 1的值。a2 1例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)x2 5xy 6y2 0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种： 先消元，再降次；先降次, 再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想， 即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点类型四根的判别式b2-4ac根的判别式的作用

11、：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 23kx 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 0例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 。有实数根，则m的取值范围是()A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.x2 2y2 6 .例5、m为何值时，方程组 x 2 6,有两个不同的实数解？有两个

12、相同的实 mx y 3.数解？针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程mx2 mx 2 。有两个不相等的实数根，则 m的值是 y kx 2.4、k为何值时，方程组 y2 4x 2y 1 0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)有两组不相等的实数解；(3)没有实数解. 5、当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有 理数？考点类型五方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m

13、为，只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程x2 2x k k23根的情况。例3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这 两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点类型六应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1市场，根据计

14、划，第一年投入资金 600万兀，第二年比第一年减少 1,第三年比第二年减少31-,该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21还要盈利,要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？(结果精确到0.1,3133 3.61 )4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5

15、、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点类型七根与系数的关系前提：忖于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。主要内容："|x1 x2-,x1x2 -IIaa应用

16、：陋体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. 3B.3C.6 D.6例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1x 1 0有两个不相等的实数根%»2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值;若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你 知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 a b, a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0 ,求 a b 变式：若a2 2a 1 0, b2 2b 1 0 ,则与b的值为。b a例5、已知，是方程x2 x 1 0的两个根，那么 4 3.针对练习:1、解方程组y 23,x2 y2 5 (2)2.已知 a2 7a 4 , b2 7b 4 (a b),求 Jb