高中数学知识点公式解题技巧大全集【强烈推荐】（课堂PPT）

1、1公式汇公式汇2()()card A BcardA cardB card A B345678910111213cxdyaxb(0,0)byaxabx1415,0,0f x yf xa y,0,0f x yf x yb1617181920212223240()kfx 一般地，曲线一般地，曲线y=f(x)上一点上一点P(x0，y0)的切线的切线的斜率的计算公式：的斜率的计算公式：nPT. )( 000 xxxfyy 25262728293031323334)2(022) 1 (101010101CyyBxxABAxxyy利用公式）点利用公式）点P（x0，y0）关于直线）关于直线Ax+By+C=0的

2、对称点的对称点Q的坐标为的坐标为22000220002,2BACByAxByBACByAxAx35一般地一般地：点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x的对称点为（的对称点为（y0，x0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x的对称点为（的对称点为（-y0，-x0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x+b的对称点为（的对称点为（y0-b，x0+b）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x+b的对称点为（的对称点为（b-y0，-x0+b）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=0（即（即x轴）的对称点为（轴）的对称点为（ x0，-y0）点（点（x0，y0）关于直线）关

3、于直线x=0（即（即y轴）的对称点为（轴）的对称点为（-x0，y0） 点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=m的对称点为（的对称点为（x0，2m-y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线x=n的对称点为（的对称点为（2n-x0，y0） 注：注：当对称轴的斜率为当对称轴的斜率为1或对称轴与或对称轴与坐标轴垂直坐标轴垂直时可用时可用上述方法直接求出对称点的坐标。上述方法直接求出对称点的坐标。36373839数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通 项前n项和性 质) 2() 1(11nSSnSannn知识结构40 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 定义定义通项公式通项公

4、式中项公式中项公式 前前n n项和项和公式公式 an+1-an=d(常数常数) , nN* an+1/an=q(常数常数), nN* an= a1+(n-1)d an=a1qn-1(a1,q0) 若若a，A，b成等差成等差数列，则数列，则 A=(a+b)/2. 等差、等比数列的有关概念和公式等差、等比数列的有关概念和公式 若若a a，G G，b b成等比数列，成等比数列，则则G G2 2=ab=ab（a,b0a,b0）11()2(1)2nnn aaSn nnad 111 (1)(1)(1)11nnnnaqSa aqaqqqq 41判断（或证明）数列为等差判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：

5、等比）的方法：方法一（定义）方法一（定义）( a n + 1 a n = d 或或 a n a n 1 = d ( n 2 ) 方法二方法二(等差中项等差中项) a n + 1 +a n 1 = 2a n ( n 2 ) 421、等差数列：、等差数列：11()(1)22nnnaannSnad 2、等比数列：、等比数列：111 (1)(1)(1)11nnnnaqSa aqaqqqq 等差数列与等比数列前等差数列与等比数列前n n项和项和43注意公式的变形应用注意公式的变形应用44（1）nmaanm d（2）若若2mnpqk则则2mnpqkaaaaanmaadnmdkd2（3）若数列）若数列 是等

6、差数列，则是等差数列，则 也是等差数列也是等差数列 na,34232kkkkkkkSSSSSSS等差数列的重要性质45等差数列的重要性质若项数为n2则ndSS奇偶若项数为12n则naSS偶奇（中间项）1SnSn奇偶46.) 1(1dnaandmnaamn)( .mnaadnmmn时，当()naknb k b，是常数47)2() 1 (1nddaaannn是常数，是等差数列)()2(是常数，是等差数列bkbknaann)2(2)3(11naaaannnn是等差数列48.)2(qpnmaaaaqpnm，则若.)4(232等差数列组成的数列仍然是，kkkkkSSSSS(5) ().nnnnabmak

7、bmk若数列与均为等差数列 ， 则数列， 为常数 仍为等差数列.) 3(2mdaaamkmkk等差数列，且公差为组成的数列仍然是，等差数列性质等差数列性质：若数列若数列an是公差为是公差为d 的等差数列，则的等差数列，则.)() 1 (dmnaamn49*mnpqNmnpq(2) 若(2) 若、 、 、且且mnpqaaaa)(反之不成立dnadmaaanm) 1() 1(11由通项公式得：证明：dnma)2(21dqadpaaaqp) 1() 1(11dqpa)2(21qpnmqpnmaaaa前前n n和公式：和公式：1(1)22nn nSnad 公公式式 ：1() 12nnn aaS 公公式

8、式 ：等差数列等差数列 a an n ndandSn)2(212.2BnAnSn则时，当)(12*Nkkn2)(12(12112kkaakS2)(12(kkaakkak) 12(时，当)(2*Nkkn2)(2212kkaakS. )(1kkaak说明：说明：利用这一特征，可以简化解题，减少运算量利用这一特征，可以简化解题，减少运算量.)2() 1 (1nddaaannn是常数，是等差数列)()2(是常数，是等差数列bkbknaann)2(2)3(11naaaannnn是等差数列)()4(2是常数，是等差数列BABnAnSann53设设 数列数列 的前的前 项和，项和， nannS即即 1112

9、nnnSnaSSn123nnSaaaa则则知和求项知和求项: :54111(1)(1)11(1)nnnaqaa qqSqqna q(0,0,1)nnSAqB A Bqq等差数列和等比数列的比较等差数列和等比数列的比较1 1通项公式通项公式)d(naan11等差数列等差数列 等比数列等比数列2前前 n 项和项和2)(1naaSnn ），（，（11)1(1 qqqaSnn2)1(1dnnnaSn )1( ,11 qqqaaSnn n 的系数的系数k就是公差就是公差 11nnqaabknannnkaa 特特 征征特特 征征bnanSn 2kkaSnn 是关于是关于n 的不含常的不含常数项的二次函数数

10、项的二次函数 a 的的n 次幂的系数与常次幂的系数与常数项互为相反数项互为相反 数。数。底数底数a就是公比就是公比 3 3性质性质等差数列等差数列等比数列等比数列pknm mnaadmn mnmnaaq dmnaamn)( mnmnqaa pkmnaaaa pkmnaaaa 成成等等比比、rqpaaa成成等等差差、rqp也成等差也成等差、nnnnnSSSSS232 也成等比也成等比、nnnnnSSSSS232 也也是是等等差差数数列列、则则是是等等差差数数列列，、若若nnnnnnbakakaba 也也是是等等比比数数列列、则则是是等等比比数数列列，、若若nnknnnnbaakaba 成成等等差

11、差、rqpaaa57231234111111234(1)22222111111234(1)222222nnnnnnSnnSnn 1(1).2nnnanS23111111111(1)2222231133(1)2222233()2nnnnnnnnSnnnnSnN58基本不等式基本不等式 （2）一一“正正”二二“定定”三三“相相等等”592211222babaabba 重要结论：重要结论：),( Rba号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数平方平均数平方平均数601 “1 “直线定界、特殊点定域直线定界、特殊点定域”. .2 “2

12、 “同侧同号、异侧异号同侧同号、异侧异号”. .知识串知识串6162等价转化思想等价转化思想1224abab42ab6364413aad652.直线方程：直线方程：形形 式式条条 件件方方 程程点斜式点斜式过点过点( x0,y0),斜率为斜率为k斜截式斜截式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率为斜率为k两点式两点式过过P1（x1, y1),P2（x2, y2)截距式截距式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,在在x轴上的截距为轴上的截距为a一般式一般式A、B 不同时为不同时为 0 xxxxyyyy121121 . 1 byax)(00 xxkyy bkxy 0 CByAx663. 已知两已知两直

13、线直线 l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，时， 则直线则直线 l1l2k1= =k2且且b1b2k1 k2= 1直线直线 l1 l2 已知两直线已知两直线 l1: A1x+B1y + C1=0 , l2: A2x+B2y+C2=0 且且 A1B1C1 0 , A2B2C2 0 ，则直线则直线 l1l2.212121CCBBAA l1 l202121 BBAA直线直线 l1与与l2重合重合.212121CCBBAA 直线直线 l1与与l2相交相交.2121BBAA 674. 与直线与直线A x + B y + C = 0平行的直线可设为平行的直线可设为:_；A x + B

14、 y += 0 (C) 与直线与直线A x + B y + C = 0垂直的直线可设为垂直的直线可设为:_；B x A y + = 0 过两直线过两直线l1:A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2: A2 x + B2 y + C2 = 0交点的直线可设为交点的直线可设为: _ .A1 x + B1 y + C1+ ( A2 x + B2 y + C2) = 0 685.两点两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)间的距离公式为间的距离公式为: ，点点P(x0， y0)到到直线直线l:Ax+B y +C=0的距的距离公式为离公式为: 22122121)()(|yyxxPP 22

15、00BACByAxd 两平行直线两平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0间的距离为间的距离为:2221BACCd 69基础自查基础自查到定点的距离等于定长到定点的距离等于定长 (a，b) x2y2r2 70 71722tan2ABCSb73求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程741 待定系数法待定系数法752 定义法定义法763 直接法直接法774 相关点法相关点法785 点差法点差法796 向量法向量法807 参数法参数法81标准方程标准方程12222byax0ba 12222bxay00ba， 范范 围围对称性对称性顶顶 点点离心率离心率ay |关于坐标轴对称、关

16、于原点对称关于坐标轴对称、关于原点对称(-a,0), (a,0)ax |(0,-a) , (0,a) 图图 象象2221bacace，焦焦 点点(-c,0), (c,0)(0,-c) , (0,c) 渐近线渐近线 0yxab0yxab准准 线线 cax2cay2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质83ace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba 等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2的双曲线是等轴双曲线离心率2eA1A2B1B2abc222cba x0y几何意义几何意义得得由双曲线的第二定义，由双曲线的第二定义，ecaxMF|201，ecaxMF|202:化简得化简得F1

17、F2axc2 axc2 焦半径公式：焦半径公式：MFaex20| |.MFaex10| |，xy00(,)同理可得焦点在同理可得焦点在 y 轴上的焦半径公式：轴上的焦半径公式：MFaey20| |.MFaey10| |，F1F2xy85图形图形 方程方程范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率x0 (0 , 0)x 轴轴抛物线的几何性质抛物线的几何性质 e1x 轴轴y 轴轴y 轴轴x0 y0 y0 (0 , 0)(0 , 0)(0 , 0)e1e1e1pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p86方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -

18、2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）87 引例引例. .yOx. . . .ABF 想一想？想一想？882121xxkl2122124)()1 (xxxxk.当直线的斜率存在时，弦长公式：当直线的斜率存在时，弦长公式：（其中（其中（11, yx），（），（22, yx）是交点坐标）。）是交点坐标）。抛物线抛物线pxy2

19、2的焦点弦长公式的焦点弦长公式其中其中为过焦点的直线的倾斜角。为过焦点的直线的倾斜角。221sin2ppxx|AB|=89基础自查基础自查1平面的基本性质平面的基本性质 (1)公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都点都 在这个平面内在这个平面内 (2)公理公理2：如果两个平面：如果两个平面(不重合的两个平面不重合的两个平面)有有 公共点，那么它们还公共点，那么它们还有其有其 他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 (3)公理公理3：经

20、过：经过 的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面 推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面：经过两条平行直线，有且只有一个平面一个一个不在同一条直线上不在同一条直线上902空间两条直线空间两条直线 (1)空间两条直线的位置关系有空间两条直线的位置关系有 、 、 (2)平行直线平行直线 公理公理4：平行于同一条直线的两条直线：平行于同一条直线的两条直线 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的

21、两边分别平行并且方向相同，那等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角么这两个角 (3)异面直线异面直线 定义：异面直线是指定义：异面直线是指 的两条直线的两条直线 性质：两条异面直线既不相交又不平行性质：两条异面直线既不相交又不平行 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线 是异面直线是异面直线 (4)异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O作直线作直线aa，bb，由于，由于a和和 b所成角的大小与点

22、所成角的大小与点O的选择无关，我们把的选择无关，我们把a与与b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做叫做 异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角) 如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是 ，就说两条异面直线互相垂直，就说两条异面直线互相垂直相交相交平行平行异面异面互相平行互相平行相等相等不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内直角直角913斜二测画法斜二测画法 (1)在已知图形中取互相垂直的轴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，画直观图时，把它画成对应的轴，画直观图时，把它画成对应的轴 Ox、Oy使使xOy45或或135，它们确定的平面表示水平，它们确定的平面

23、表示水平 面面 (2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和轴和 y轴的线段轴的线段 (3)在直观图中，已知图形中平行于在直观图中，已知图形中平行于x轴的线段，轴的线段， ；平行于；平行于y轴轴 的线段，的线段， 保持原长度不变保持原长度不变长度为原来的一半长度为原来的一半92基础自查基础自查1直线和平面平行直线和平面平行 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面 (2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这判定定理：如果平面外的一

24、条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行条直线和这个平面平行 用符号表示为：用符号表示为： . (3)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 的平面和这个平的平面和这个平 面相交，那么这条直线就和交线平行面相交，那么这条直线就和交线平行 用符号表示为：用符号表示为：a，a，bab.经过这条直线经过这条直线a ，b，且，且aba932两个平面平行两个平面平行 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行 (2)判定定理：如果一个平面内判定定理：如果一个平面内 都平行于另一个平面，那么这两都平

25、行于另一个平面，那么这两 个平面平行个平面平行 用符号表示：用符号表示：a，b，abM，a，b. (3)性质定理：如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行性质定理：如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 用符号表示：用符号表示： .有两条相交直线有两条相交直线，a，bab941直线与平面垂直直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法判定直线和平面垂直的方法 定义法定义法 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和直线都垂直，则该直线和 此平面垂直此平面垂直 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一

26、个平面，那么另一条直线也推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面于这个平面 (2)直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线直线 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面垂直于同一直线的两平面 相交相交垂直垂直任意任意平行平行平行平行952三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它那么它 也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直 逆定

27、理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线的这条斜线的 垂直垂直3平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法 定义法定义法 利用判定定理：一个平面过另一个平面的利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直，则这两个平面垂直 (2)平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个平面射影射影一条垂线一条垂线交线交线96基础自查棱柱棱柱棱锥棱锥定义定义

28、有两个面互相有两个面互相 ，其余各面都，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的公共边都互相平行，这些面围成的几何体的几何体有一个面是多边形，其余各面有一个面是多边形，其余各面是是 的三角形，由的三角形，由这些面围成的几何体这些面围成的几何体底面底面互相平行的面互相平行的面多边形多边形侧面侧面其余各面其余各面侧棱侧棱两个侧面的公共边两个侧面的公共边顶点顶点侧面与底面的公共顶点侧面与底面的公共顶点各侧面的公共顶点各侧面的公共顶点高高两个底面间的距离两个底面间的距离顶点到底面的距离顶点到底面的距离平行有一个公共顶点97棱柱棱柱棱锥棱锥侧

29、面侧面平行四边形平行四边形三角形三角形侧棱侧棱平行且相等平行且相等交于一点交于一点平行于底面的截面平行于底面的截面与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面相似的多边形与底面相似的多边形纵截面纵截面平行四边形平行四边形三角形三角形98中心 全等的等腰三角形 相等 99平行四边形面积之和平行四边形面积之和 斜高乘积的一半斜高乘积的一半 100基础自查基础自查1多面体多面体 (1)多面体的概念多面体的概念 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶

30、点叫做多面体面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点的顶点 把一个多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧，把一个多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体叫做凸多面体这样的多面体叫做凸多面体 一个凸多面体至少有一个凸多面体至少有 面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、 六面体等六面体等 (2)正多面体正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有相同数目的棱的每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有相同数目的棱的 凸多

31、面体叫做正多面体凸多面体叫做正多面体4个个101垂直垂直 直径直径 102103在下列条件下，判断正三棱锥在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC内的射影位置内的射影位置1 1、三条侧棱相等、三条侧棱相等2 2、侧棱与底面所成的角相等、侧棱与底面所成的角相等3 3、侧面与底面所成的角相等、侧面与底面所成的角相等4 4、顶点、顶点P P到到ABCABC的三边距离相等的三边距离相等5 5、三条侧棱两两垂直、三条侧棱两两垂直6 6、相对棱互相垂直、相对棱互

32、相垂直7 7、三个侧面两两垂直、三个侧面两两垂直外心外心外心外心内心内心内心内心垂心垂心垂心垂心垂心垂心104105106107108109110法向量法向量 1111121131、平面图形的直观图画法、平面图形的直观图画法（1）画轴.（2）确定平行线段）确定平行线段.xyo( 450或1350 )xyo平行平行x轴的线段平行于轴的线段平行于x 轴轴 平行平行y轴的线段平行于轴的线段平行于y 轴轴（3）确定线段长度）确定线段长度.平行平行x轴的线段的长度保持不变轴的线段的长度保持不变. 平行平行y轴的线段的长度变为原来的一半轴的线段的长度变为原来的一半.确定点位置的画法确定点位置的画法: 在斜

33、坐标系里横坐在斜坐标系里横坐标保持不变标保持不变,纵坐纵坐标变为原来的一半标变为原来的一半.特殊的平行投影画法特殊的平行投影画法斜二测画法斜二测画法114无无 平面外平面外 此平面内此平面内 a a ,b b,且且a ab ba a115【知识梳理】【知识梳理】1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 类别类别 语言表述语言表述 应应 用用 判判 定定 如果一条直线和一个平面内的任何一如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直条直线都垂直, 那么这条直线和这个平那么这条直线和这个平面垂直面垂直 证直线和平面垂证直线和平面垂直直 如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条

34、相交直线都垂直交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这那么这条直线垂直于这个平面个平面 证直线和平面垂证直线和平面垂直直 如果两条平行直线中的一条垂直于一如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面个平面,那么另一条也垂直于同一个平那么另一条也垂直于同一个平面面 证直线和平面垂证直线和平面垂直直 116【知识梳理】【知识梳理】2直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质bababa ba类别类别语言表述语言表述图图 示示字母表示字母表示应应 用用性性质质如果一条直线和如果一条直线和一个平面垂直一个平面垂直,那么这条直线和那么这条直线和这个平面内的任这个平面内的任何一条直线都垂何一条直线都垂直直 a b证两

35、证两条直条直线垂线垂直直如果两条直线同如果两条直线同垂直于一个平面垂直于一个平面, 那么这两条直线那么这两条直线平行平行a b证两证两条直条直线平线平行行117【知识梳理】【知识梳理】2两个平面平行的判定两个平面平行的判定aP b/ababPab aaP bab,/a ba babPaabb aa 类类别别语言表述语言表述图图 示示字母表示字母表示应应 用用判判定定如果一个平面内如果一个平面内有两条相交直线有两条相交直线都平行于另一个都平行于另一个平面，那么这两平面，那么这两个平面平行个平面平行 证证两两平平面面平平行行如果一个平面内如果一个平面内有两条相交直线有两条相交直线分别平行于另一分别

36、平行于另一个平面内的两条个平面内的两条直线，那么这两直线，那么这两个平面平行个平面平行 垂直于同一条直垂直于同一条直线的两个平面平线的两个平面平行行 118【知识梳理】【知识梳理】3两个平面平行的性质两个平面平行的性质a/ /aab a ba/ /a/ /类别类别语言表述语言表述图图 示示字母表示字母表示应应 用用性性质质如果两个平面平如果两个平面平行，那么其中一行，那么其中一个平面内的直线个平面内的直线必平行于另一个必平行于另一个平面平面 a 证直线证直线和平面和平面平行平行如果两个平行平如果两个平行平面同时和第三个面同时和第三个平面相交，那么平面相交，那么它们的交线平它们的交线平行行 a

37、b证两条证两条直线平直线平行行性性质质一条直线垂直于一条直线垂直于两个平行平面中两个平行平面中的一个平面，它的一个平面，它也垂直于另一个也垂直于另一个平面平面. a 证直线证直线和平面和平面垂直垂直119a , ba b=Pa / b / / 面面平行的判定定理面面平行的判定定理符号语言符号语言线不在多线不在多贵在相交贵在相交面面平行面面平行线面平行线面平行线线平行线线平行？ab 图形语言图形语言 如果一个有两条如果一个有两条 直线分别直线分别于另一个平面于另一个平面相交相交，那么这两个平面平行。，那么这两个平面平行。P P转转 化化转转 化化平面内平面内平行平行120a , ba b=Pa

38、/ b / / 面面平行的判定定理面面平行的判定定理符号语言符号语言线不在多线不在多贵在相交贵在相交ab 图形语言图形语言 如果一个平面内有两条如果一个平面内有两条 直线分别直线分别平行于另一个平面平行于另一个平面相交相交，那么这两个平面平行。，那么这两个平面平行。P P面面平行面面平行线面平行线面平行线线平行线线平行？转转 化化转转 化化121BmnllnlmlBnm m n 122 a123 a124作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内 l P ABABP ABO lP定义法定义法三垂线三垂线(

39、(逆逆) )定理法定理法垂面法垂面法CQAPBl125指出下列各图中的二面角的平面角：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDAABCCDDB二面角二面角BBC-ABBC-AADBCl二面角二面角 -l-l- lBA,BDACAClBD lOEOO二面角二面角A-BC-DA-BC-DD14126随机事件的概率随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件定义定义0P1P=1P=0概率概率频率频率求法求法事件事件的概率事件的关系包含包含并并交交互斥互斥对立对立加法公式加法公式127（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2） 每个基本事件出

40、现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模古典概率模型型，简称古典概型。，简称古典概型。P(A)=A包含的基本事件的个数包含的基本事件的个数基本事件总数基本事件总数 当且仅当所描述的基本事件的出现是当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性等可能性时才成立时才成立古典概型古典概型128 在几何概型中,事件A的概率计算公式如下 :P(A)=构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 当且仅当所描述的基本事件的

41、出现是当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性等可能性时才成立时才成立（1） 试验总所有可能出现的基本事件有无限个；试验总所有可能出现的基本事件有无限个；（2） 每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概几何概率模型率模型，简称几何概型。，简称几何概型。几何概型画频率分布直方图的步骤画频率分布直方图的步骤: : 第一步第一步: 求极差求极差: (数据组中最大值与最小值的差距数据组中最大值与最小值的差距) 第二步第二步: 决定组距与组数决定组距与组数: （强调取整）（强调取整） 第三步第三步: 将数据分组将

42、数据分组 ( 给出组的界限给出组的界限) 第四步第四步: 列频率分布表列频率分布表. （包括分组、频数、频率、频率（包括分组、频数、频率、频率/组距）组距） 第五步第五步: 画频率分布直方图画频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横（在频率分布表的基础上绘制，横坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距组距.） 组距组距：指每个小组的两个端点的距离，组距指每个小组的两个端点的距离，组距组数组数：将数据分组，当数据在将数据分组，当数据在100个以内时，个以内时， 按数据多少常分按数据多少常分5-12组。组。4.18.20.5极差组数=组距回忆：绘制频率分布直方图有

43、哪几个步骤呢？绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？ 例例1 1某赛季甲乙两篮球运动员每场比赛得分原始记录如下：某赛季甲乙两篮球运动员每场比赛得分原始记录如下：甲：甲：13, 51,23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 3913, 51,23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39乙：乙：49, 24,12,31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25,36,3949, 24,12,31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25,36,39用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好甲甲乙乙

44、0 12345 2 55 41 6 1 6 7 9 4 90 8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1 叶叶 茎茎 叶叶（二）（二）. . 茎叶图茎叶图 ( (一种被用来表示数据的图一种被用来表示数据的图) ) 131 方差、标准差方差、标准差是样本数据到平均数的一种是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。1、方差、方差（标准差的平方）公式为：公式为：)()()(1222212xxxxxxnsn假设样本数据是假设样本数据是,21nxxxx平均数是平均数是

45、)()()(122221xxxxxxnsn2、标准差、标准差公式为：公式为：在刻画样本数据分散程度上，两者是一致的！在刻画样本数据分散程度上，两者是一致的！132性质归纳：性质归纳：的平均数和方差：的平均数和方差：bkan，方差是，方差是的平均数是的平均数是，已知已知2321naaa方方差差是是，的的平平均均数数是是，则则2b321bababan，方方差差是是的的平平均均数数是是，2212k3knkakaka1332、方差、方差（标准差的平方）公式为：公式为：)()()(1222212xxxxxxnsn)()()(122221xxxxxxnsn3、标准差、标准差公式为：公式为： 方差、标准差方

46、差、标准差是样本数据到平均数的一种是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。134频率分布直方图如下频率分布直方图如下：月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.100.200.300.400.500.511.5 22.533.544.5中位数2.03135回归方程的斜率与截距的一般公式回归方程的斜率与截距的一般公式:xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121 以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它以上公式的

47、推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫和最小，这一方法叫最小二乘法最小二乘法。136统计统计137138139140141142143144145146147148149150815730.57180101745. 01801radradrad（1） 是第几象限角？2（22、若 是）2第是三象限角，那么第几象限角？151 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式: :sintan,cos 22sincos1 ,注意：注意： 只有当只有当的取值使三角函数有意义时，的取值使三角函数有意义时， 上面上

48、面恒等式恒等式才成立才成立 . .152 当角当角的终边在的终边在x轴轴上时上时, 正弦线、正切线正弦线、正切线分别变成一个点；分别变成一个点；ATOMMP、这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段叫做角的叫做角的正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线正切线 当角当角的终边在的终边在 y轴上时，余弦线变成一轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在个点，正切线不存在154155156157158公式公式 七七 公式公式 八八 3sin()cos23cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 公式公式 五五 公式公式 六六 sin()cos2cos()sin2 sin(

49、)cos2cos()sin2 公式五公式五 公式八可以实现正弦函数与余弦函数的互化公式八可以实现正弦函数与余弦函数的互化.159sin,yxxR cos,yxxR 1:定义域定义域:2:值域值域： 3:周期性周期性： 4:奇偶性奇偶性：5:单调性单调性：6:对称性：对称性：先平移变换，再周期变换先平移变换，再周期变换, ,最后振幅变换：最后振幅变换：)sin(xy)sin(xy平移平移 个单位个单位 横坐标变为横坐标变为原来的原来的 倍倍 1xysin)sin(xAy纵坐标变为纵坐标变为原来的原来的 A 倍倍纵坐标不变纵坐标不变横坐标不变横坐标不变的的图图象象的的两两种种策策略略的的图图象象变

50、变换换到到由由)sin(sin xAyxy先周期变换，再平移变换，最后振幅变换：先周期变换，再平移变换，最后振幅变换：xysinxysin横坐标变为横坐标变为原来的原来的 倍倍 1平移平移 个单位个单位 )(sin xy)sin(xAy纵坐标变为纵坐标变为原来的原来的 A 倍倍纵坐标不变纵坐标不变横坐标不变横坐标不变A：这个量振动时离开平衡位置这个量振动时离开平衡位置 的最大距离，称为的最大距离，称为“振幅振幅”.的的物物理理意意义义：其其中中，函函数数)0, 0)(, 0)sin( AxxAy函数表示一个振动量时：函数表示一个振动量时：T：. 2T称为“周期”称为“周期”间，间，往复振动一次

51、所需的时往复振动一次所需的时 f ：. 2T1的次数，称为“频率”的次数，称为“频率”单位时间内往返振动单位时间内往返振动 f: x称为称为“相位相位” .: x=0时的相位，称为时的相位，称为“初初相相”.利用正弦定理，可以解决两类问题：利用正弦定理，可以解决两类问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角已知两角和任一边，求其它两边和一角. .已知两边和其中一边的对角，求另一边的已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而可求出其它的角和边）对角（进而可求出其它的角和边）. .正弦定理：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 知识回顾知识回顾ABC164165166167168169 余弦定理余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.Abccbacos2222 Bacacbco