一元二次函数问题的探究

1、一元二次函数问题的探究（高三复习）以二次函数为载体考察数学知识与能力的题型日趋丰富多彩学生又无所适从的感觉，本文就各地的模拟试题进行探讨并归纳其求解方法与技巧供学习参考。一：设解析式法求解：二次函数有三种表示式；一般式：y=ax2+bx+c(a0)根式y=a(x-)(x-)(、是f(x)0的两根)顶点式：y=a(x-h)2+k(h、k为顶点横、纵坐标)。题1：设f(x)=x2+ax+b 若方程f(x)=0两个非整数根,且这两实根在相邻两整数之间,证明存在整数k使得|f(k)|证明: 设f(x)=0的两根为、且n、n+1(nz)f(x)=x2+ax+b=(x-)(x-) f(n)=(n-)(n-

2、)f(n+1)=(n+1-)(n+1-)|f(n)f(n+1)|=|(-n)(-n)(n+1-)(n+1-)| =f(n)f(n+1) ，则f(n)或f(n+1)必有一个成立。二：替代法求证：即把a、b、c用已知的函数值代替这是一种常用的方法题2：已知f(x)=ax2+bx+c,若x 1,1均有|f(x)|1设g(x)=cx2+bx+a x 1,1求证：|g(x)|2证明 ：依题知： f(0)=c c=f(0)f(1)=a+b+c a=-f0)f(-1)=a-b+c b=g(x)=|f(0)(x2-1)+(x+1)+(1-x)|f(0)|(x2-1)|+ |(x+1)|+ |(1-x)|f(0

3、)|+(|x+1|+|1-x|) (-1x1 x+1+1-x=2 )2三：特值法求证：已知 f(x)=x2+ax+b当x-1,1 f(x)的最大值为M 求证:M证明:|f(x)|M x-1,1 取x=0,1,2 得|f(0)|M |b|M|f(1)|M |a+b+1|M|f(-1)|M |1-a+B|M4M|-2b|+|a+b+1|+|b-a+1|2M 四：判别式法求证：ax2+bx+c0对xR恒成立则 a>0 或 a=b=0 b2-4ac0 c0对有恒成立这类问题求解最实用题4：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR) a-b+c=0 对任意的x有f(x)-x0并且x0,

4、2时有f(x)()2求f(1)的值求证：ac=1:解 f(x)x f(1)1 又f(x) ()2f(1)1 f(1)=12:证： a-b+c=0 a+b+c=0 b= a+c=f(x)-x=ax2-x+c0(xR)恒成立a>0 =-4ac0 a>0 ac又ac=a(-a)=-(a-)2+ ac=五：端点最值法求解：二次函数y=f(x)取最值点在区间的端点或顶点把握这点是证题的关键如题5：设f(x)=x2+ax+b x-1,1时f(x)的最大值为 M 证明Mb+1：当0<a< 证明对任意x-1,1 |f(x)|1 -1b-a1:解：y=f(x)开口向上 y=f(x)在x=-1或1取最大值 若在x=-1点取最大值 则对称轴x=-a0 M=1-a+b1+b若在x=1点取最大值 则对称轴x=-a0 M=1+a+b1+b2：证明0<a< 对称轴x=-a0f(-1)f(1) |f(x)|1 x-1,1f(1)1 1+a+b1