牛顿-莱布尼茨条件弱化的应用

1、牛顿-莱布尼茨公式的应用姓名：李宋萍 关键词：莱布尼茨公式 中值定理 零点定理引言：牛顿-莱布尼茨公式即微积分基本定理,是定积分教学中的一个重要部分.学生掌握好了牛顿-莱布尼茨公式,就能很有效的解决一些定积分问题牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程： 我们知道，对函数f(x)于区间a,b上的定积分表达为： b(上限)a（下限）f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数： (x)= x(上限)a（下限）f(x)dx 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是

2、表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： (x)= x(上限)a（下限）f(t)dt 接下来我们就来研究这个函数(x）的性质： 1、定义函数(x)= x(上限)a（下限）f(t)dt，则(x)=f(x)。 证明：让函数(x)获得增量x，则对应的函数增量 =(x+x)-(x)=x+x(上限)a（下限）f(t)dt-x(上限)a（下限）f(t)dt 显然，x+x(上限)a（下限）f(t)dt-x(上限)a（下限）f(t)dt=x+x(上限)x（下限）f(t)dt 而=x+x(上限)

3、x（下限）f(t)dt=f()x(在x与x+x之间，可由定积分中的中值定理推得， 也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。) 当x趋向于0也就是趋向于0时，趋向于x，f()趋向于f(x)，故有lim x0 /x=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出(x)=f(x)。 2、b(上限)a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。 证明：我们已证得(x)=f(x)，故(x）+C=F（x） 但(a)=0（积分区间变为a,a，故面积为0），所以F（a）=C 于是有(x）+F（a）=F（x），当x=b时，(b)=F(b)-F(a), 而(b)=b(上限)a（下限）f(t)

4、dt，所以b(上限)a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。 牛顿-莱布尼茨结论：若函数f(x)在 上联系，且有原函数F(x),即F(x)=f(x),，则在f在上可积，且莱布尼茨公式的应用的条件有较高的要求，能否在某些题目上可以不用如此高的要求呢？首先我们可以将“f(x)在上连续”减弱为可积，既有结论：若函数f(x)在一定范围内可积，且有原函数F(x)，则例如：证明: f(x)=在上可积且具有原函数，并且牛-莱公式也适用 证明：令则当时有且则F(x)是f(x)在上的一个原函数又因为，有从而f(x)在上有界，且只有一个间断点，则f(x)在上可积同时牛-莱公式也适用即 利用微积分基本定理可知，由牛顿-莱布尼茨结论可知条件“f(x)在上联系”蕴含着条件“f(x)在上有原函数”。一个很自然的问题是：在结论1中条件“f(x)”与条件“f(x)在上有原函数”之间是否也存在着类似的蕴含关系呢？或者是具有反蕴含关系呢？问题两方面的回答是否定的。例如：函数在上有界，从而不可积，但它在该范围内存在原函数 在分析结论1的条件“f(x)在上有原函数F(x)”即为f(x)在上可微且F(x)=f(x)”，它可以弱碱为仅要求：“在上连续，在内可微”即有：结论2 若F(x)在上连