本单元讨论了和与积两个基本法则,以及各种排列与组合的定义及性

1、 本单元讨论了和与积两个基本法则，以及各种排列与组合的定义及性质，给出了排列与组合数的计算公式。介绍了多项式定理和排列、组合的生成。 本单元关键词 排列 排列数 循环排列 翻转循环排列 重复排列 组合 组合数 多项式定理主要公式：求排列数的公式 求循环排列数的公式 求翻转循环排列数的公式 求组合数公式 组合数的性质1对称性质：2. 二分性质：3多分性质：4分积性质1：5分积性质2：6最大值性质：主要定理二项式定理 假设n是一正整数，则对所有的x和y，有多项式定理：假设n,m为正整数，对所有xi(i1，2，m)，有主要算法(字典序)1排列的生成算法2组合的生成算法复习思考题1 什么是加法法则？使

2、用加法法则要注意哪些问题？2 什么是乘法法则？使用乘法法则有无条件限制？3 本单元共阐述了几种排列？每种排列是怎样定义的？其计算公式你记住了吗？4 有几种组合？每种组合的计算公式如何？5 组合数有儿条性质？这些性质是采用什么方式证明的？6 多项式定理是用什么方式证明的？7 全排列的字典序生成算法是怎样的？你能用普通语言进行叙述吗？8 组合的字典序生成算法你能叙述吗？学习指导学习排列与组合这一节时，要注意如下两个问题。1加法法则和乘法法则是计数的两个基本原则。它们的主要区别在于：用加法法则求方法总数是各类方法数之和。分类时要求不重不漏；用乘法法则求“全过程”的方法数，即各步方法数的乘积，各步要求

3、独立又衔接。2排列和组合是计数的两个基本方法。它们的主要区别在于：排列与顺序有关，是排队问题，且有选排列和全排列；组合与顺序无关，是并组问题，只选不排。若排列是重复排列问题，具有两种不同元素的重复排列和组合实质是一样的，只是考虑的角度不同，计算公式相同。 例l 5位先生各自带自己的夫人到同一照相馆照相。他们排成一排可照出( )种不同的照片。 (A)5(B)10(C)25(D)120(E)240 (F)252(G)768(H)3840(1)86400(J)3628800 解 这是一个10个不同元素的全排列问题，因此，有 10!3628800种不同照片，故选(J)。 若将此问题做如下各种变化，其结

4、果当然就不同了。 (1)若改为“5个黑球和5个白球排成一排，有多少种不同排法”，这便是重复排列的问题了。因此，有 种排法故选(F)。 (2)若5位先生必须和自己的夫人相邻，则有 25×5!3840种排法故选(H)。 将5位先生和各自的夫人一起视为一个元素，有5! 种排法，再交换先生和夫人的位置，故应乘2，因为符合乘法法则。 (3)若5位先生不仅要和自己的夫人相邻，并且要求先生居左，夫人居右，则有 5! = 120种排法，应选(D)。 (4)若5位先生不得相邻，则有5!6!86400种排法，故应选(I)。先把5位夫人排好(如×)，随后把5位先生 O×O×O

5、×O×O×O排在6个O的位置中的5个。(5)若5位先生和5位夫人都不得相邻，则有 2×5!240种排法，应选(E)。若忽视乘2，则是不对的。(6)若选一位先生来拍照，则有种选法，故应选(A)。(7)若任选一位来拍照，则有种选法，故应选(B)。符合加法法则。 (8)若任选一位先生和一位夫人来拍照，则有种选法，故应选(C)。符合乘法法则。(9)若任选一位先生和他的夫人来拍照，则有种选法，故仍然选(A)。(10)若5对先生和夫人拍照后去餐馆用餐，坐在一个圆桌周围，椅子不编号，且先生要和自己的夫人相邻，则为圆排列问题，这时有种坐法，故应选(G)。如果椅子编号，则

6、属线排列问题，和(2)一样应选(H)。例2 用10块1´2(fm2)的砖去覆盖2´10(fm2)的甬路，问有多少种覆盖方式？解：方法1，重复排列法。将覆盖方式分成如下六类：(1)10块砖全横放，有种覆盖方式。(2)只有1对砖纵放，其余8块砖全横放，有种覆盖方式。(3)有2对砖纵放，其余6块砖全横放，有种覆盖方式。(4)3对砖纵放，其余4块砖横放，有种覆盖方式。(5)4对砖纵放，其余2块砖横放，有种覆盖方式。(6)5对砖全纵放，有种覆盖方式。学数乙口组编第种覆盖方式。 因此，共有 1十9十28十35十15十l89种覆盖方式。方法2，组合法。同样分成如上六类。各类覆盖方式求和依次为种 方法3，递推关系法。(学完第19章，再阅读本方法) 设甬路长为n，宽为2。覆盖方式为an. 易见a11，a22。将an分成两类，一类是an-1，再横放1块砖得an; 另一类是an-2，再并排纵放2块砖得an. 因此，an = an-1 + an-2,从而，得到递推关系公式：an = an-1 + an-2, a1 = 1,