定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式

1、第九章 定积分§1 定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式例1 证明：若，且，则存在，使证 采用反证法，倘若在任何上都使，则导致任一积分和，于是当时极限亦为非正，即，这与已知条件相矛盾。 例2 通过对积分和求极限来验证：， （1.6）解 首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分存在，然后根据前面问题2的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的值。为简单起见，取T为等分分割：，并取，则有 例3 设，与仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明，且有证 不失一般性，设g与f只在一点处取值不同，而且为记，因，故，当时，对一切有；于是又有由于当时

2、，而当时无论或，都有，因此只要，就能保证这即为，且 本例说明：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性，也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到例4 通过化为定积分后求极限： （1.7）解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数在某一区间上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算的值。由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为累加形式，为此记,不难看出，In是函数在区间0，1上对应于n等分分割，并取，的一个积分和同于在0，1上连续，且存在原函数，故由定理9.1知道，且有 于是就可求得 注 上面In也可看作在

3、1，2上的一个积分和，或者是在2，3上的一个积分和，亦即例5 试求由曲线以及直线x=2和x轴所围曲边梯形（图9-1）的面积S。解 由于因此依据定积分的几何意义，可求得 例6 设在0，1上可积，且为凸函数，试证： （1.8）证凸函数的特征是：，恒有；特别当时，满足 （1.9）要想证明不等式(1.8)，可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限，以便能用（1.9）把积分和中各项与相联系，为方便起见，我们将0，1等分为2n个小区间，并取为第I个小区间的中点（i=1,2,2n）,则有由于， 因此由（1.9）得到于是就证得即不等式（1.8）成立。 注 把本例中的区间0，1改为一般的a,b时，在同样的条件

4、下，类似地可证得请读者自行写出推导过程。§2可积条件例1 设，试用两种方法证明证证法一因，故，使，；于是有，因此由微分值定理推知 （其中） （2.2）根据可积第二充要条件（必要性），某分割T，可使；对于同一分割T，据（2.2）式便有 再由可积第二充要条件(充分性),证得 证法二 利用复合函数可积性质(教材第235页例2),已知为连续函数，在a,b上为可积函数，则 例2 证明：若，则证 ，因，故分割T，使把两点加入T而成，则由是T的加密，知道与此同时，在上的那部分分点构成对的一个分割，并有这就证得 例3 设是定义在a,b上的一个阶梯函数，意即有一a,b的分割T，使在T所属的每个小区间上

5、都是常的值可以是任意的，它对的积分无影响），证明：（1）若，则任给，存在阶梯函数,使得 （2.3）(2)若对任给的,存在阶梯函数,使得,则证 (1)由,使得由于,因此, (2.4)所以只要取阶梯函数和为 , ,就有, 把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。（2）满足题设条件的阶梯函数和存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割和，使令T=T1+T2，把T看作既是T1的加密，又是T2的加密，于是有 ，这就证得说明 由以上（1）的结论，立即得到，再与（2）相联系，便有如下命题的充要条件是：存在两个阶梯函数和，满足，由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方

6、式。例4 证明：若，则对任给的，存在一个连续函数，使得证 根据例3（1），取一阶梯函数h,满足，由f在a,b上可积，从而有界，设，若在上为常数，取,则可构造一个连续函数（如图9-4所示）：在上；在和上，满足的线性函数，于是有； 请读者自行证明：当时，存在连续函数，满足例5 本题的最终目的是要证明：若f在a,b上可积，则f在a,b上必定存在无限多个连续点，而且它们在a,b上处处稠密，这可以用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若分割T能使，则在T中存在某个小区间，使在其上有；（2）存在区间，使得；（3）存在区间，使得；（4）继续以上方法，求出一区间序列，使得，；可证是一个区间套，其公共点是f的一

7、个连续点；（5）按上面方法求得的f的连续点在a,b上处处稠密。*证 （1）倘若在小区间上都有,则将出现矛盾： （2）由（1），在其上有，现按如下规定来得到：若，则取；若，则取，其中为满足的任意数，则有若，则取，其中为满足的任意数，同样有由此得到的，必定有（3）用代替（1）中的a,b，根据例2，知道，同理可证：上的分割T使得；且有中的某个小区间，使类似于（2），满足（4）因以上分割可以做得无限细密，故当时，由，可知；又因，所以为一区间套。根据区间套定理，；且对，当时，有，以及由的构造特征：，保证，现取，当、时，必有，所以f在上连续。（5），以代替a,b，由于，因此由以上（1）（4）可证得f在内至

8、少有一个连续点，所以f的连续点在a,b中处处稠密。说明 1.本例所证得的命题是十分重要的，它进一步指明了可积与连续之间的内在联系。2如果一个函数f，它在a,b上的连续点不是处处稠密的，那么就可断言，例如函数如图9-5所示，它在中的连续点为， 这些连续点虽有无限多个，但它们并不处处稠密，所以f在上是不可积的。§3定积分的性质例1 试求解 利用积分区间可加性，有再由，可得 例2 利用积分中值定理证明： （3.6）分析 如果由积分值公式(3.4)来估计定积分的值,只能得出, (3.7)其中M与m分别是在a,b上的最大值与最小值，显然这是一个很粗略的估计，如果改由中值公式（3.5）来估计，设

9、，,则有 （3.8）一般说来,估计式(3.8)比(3.7)较为精细.证 这里使用估计式(3.8),取,算出, ,由此看到，（3.6）的右部不等式得证；而左部不等式尚差稍许，为此可用以下方法来弥补：，这就证得（3.6）的左部不等式也成立。 说明 如果改取，是否同样能证得结论成立？读者不妨自己去试一试，此外，在上面证明左部不等式时，还用到了定积分性质之4°和5°，请读者自行指出它们用在何处？例3 证明：若，则有在其连续点处恒为零。证 用反证法，倘若为f的一个连续点，使，则可证得，导致与条件相矛盾（证明见教材第217页中的例2）所以在其连续点处的值恒为零。根据本章§2中

10、范例5所证得的结论（可积函数存在处处稠密的连续点），而在假设非负函数f在连续点处的值恒为零，故对a,b上的任何分割T，f在T所属的每个小区间上的下确界，这导致，又因f在a,b上可积，所以证得 例4 利用施瓦茨（Schwarz）积分不等式证明：， （3.9）其中f为上的非负连续函数，且，实数证 已知施瓦茨积分不等式为，其中、（见教材第237页第6题），由此得到,两式相加后立即证得 说明 若把本例中的f改为非负可积函数，则由证明过程看到，只要指出在a,b上亦为可积函数（为什么？）就仍可利用施瓦茨不等式证明（3.9）式成立。*例5 设在0，1上为非负、严格递增的连续函数，且记由积分第一中值定理，使,

11、试证：证 由条件，对每一n,在0 ，1上也都是非负、严格递增的连续函数，因为，所以，当时，有从而又有再由为严格递增，得知时满足这就证得， 说明 若把为严格递增改为严格递减，试问是否有（如何证明）？又若把区间0，1改为a,b，情形又如何？例6 证明：分析 设，由解出，不难知道，且 如图9-6所示，为相对于的一族图像，如果把积分区间分拆成两部分：，当足够小时，上式右边第一个积分依赖而为任意小；第二个积分依赖在，上的递减性（对充分大的n,使），且由而为任意小。证 ，取，因，故，当时，这时，在0，上有又因，故，当时，有，于是时，得到再有，当时，在上递减，因而要使 ,只要即可所以当时，就有，即证得成立。

12、 *例7 设f在a,b上连续，且，试证： （3.10）证 设(若M=0,则,(3.10)式显然成立)。，使得，于是有又因，所以;由此得到由于，因此由的任意性，便证得（3.10）式成立. 说明 设,由,是否又可类似地推出由极限的唯一性，这个结果显然是错误的，请你指出推导过程在何处无法通过。例8 证明：若，则有 （3.10）证 这里只证(3.11)的前一等式，在证明之前，先对此极限式作一几何解释：如图9-7所示，当振动频率无限增大时，的图形位于x轴上方部分的正面积与位于x轴下方部分的负面积将趋于正、负相抵消而为零。首先，由f可积，使得记T所属小区间，而于 ， ，因此得到 又因为当分割T随而确定后，

13、为一非负常数，故当时，于是便证得当时，有，即（3.11）的第一式成立。 说明 本例结论（3.11）又叫做勒贝格(Lebesgue)引理，在以后证明傅里叶（Fourier）级数收敛定理时，这是一个不可缺少的预备知识。§4微积分学基本定理·定积分计算（续）例1 求解 由上面对问题3（2）的提示，设法把积分区间移到上去，为此设，利用f 周期性质（以2为周期），首先有又因经换元可使，经换元，可使，所以有再令，便求得 = 例2 求解 在无法直接求出原函数，也无法直接使用换元积分法与分部积分法的情形下，常采用分段积分，而后消去难以积出的部分，为此设由于，因此消去后得到 例3 证明：（1

14、），；（2）若f在0，1上连续，且满足，则有证 （1）利用换元积分法，可得 （2）首先，由条件可知；又由积分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得；这就证得 例4 设f在a,b上有连续的二阶导函数，且，证明：（1）；（2）证 （1）利用分部积分法，可得 ，移项后即得结论成立。 （2）一种证法是直接利用（1）的结论： ，其中的 例5 利用积分第二中值定理证明：（1）；（2），使证 （1）由积分第二中值公式（4.5）,使得 （2）作变换，化为适宜用积分第二中值定理的形式：由积分第二中值公式（4.4）,使有取，显然，从而证得 例6 设f在（A，B）内连续，证明证 由于f在（A，B）内连续，因此在（A，B）内处处可导，且，据此便有，于是就可证得 = 例7 设f在a,b上可导，且，（1），（2）证 （1）由可积，据牛顿-莱布尼茨公式便有；， （2）类似地，再由施瓦茨不等式又得 ，例8 设f是上的连续函数，证明：当且仅当积分与y无关时，f为周期函数（周期2）。证 首先有如果与y无关，则必使，由此知道y为一以2为周期的周期函数。反之，如果f为一周期函数（周期为2），则满足由此又可反推知，说明与y无关 例9 设f为0，上的任一凸函数，证明：在（0，）上也是一个凸函数。证 由