“等时圆”大全个人汇集

1、“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于考试杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆” 吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理 问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：一、何谓“等时圆”奇妙的等时圆一一2004年全国高考理科综合第 15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年咼考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位 /d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑!b、c处释放（初速为0）,用t1、于同一圆周上，a点为圆周的最高点

2、， 环（图中未画出），三个滑环分别从 次表示各滑环到达 d所用的时间，则（）A.t1<t2<t3B.t1>t2>t3解析：选任一杆上的环为研究对象，径为R，由牛顿第二定律得，a、C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3受力分析并建立坐标如图所示,t2、t3 依 设圆半mg cos ma再由几何关系，细杆长度设下滑时间为t，贝y LL 2RCOS 1 .2 -at 2由以上三式得，t 2J旦可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达 圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成

3、图2的形式，同样可以证明物体从最高点由 静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。6ti图1II（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到 达圆周最低点时间均相等，且为t=如图甲所示）（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，至U达圆周低端时间相等为t =如图乙所示）.象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子:等时圆模型（如图所示）图a等时圆规律:1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a)2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图d ）自由落体

4、的时间,b)3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（t0 J2d J4R 2一（式中R为圆的半径。） g g g三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a g sin ，位移为s d sin，所以运动时间为i2s12d sint0disn(2d运动时间与弦的倾角、长短无关。即沿各条弦运动具有等时性，规律AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上,A点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），个滑环分别从 A处由静止开始释放，到达

5、圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角 大小都无关.推导设圆环沿细杆 AB滑下，过B点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为0,如图 示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin0,由几何关系有 AB=x=2Rsin由运动学公式有 x=12at2，解得：环的运动时间 t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同 细杆下滑的时间是相等的.说明1如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为卩，由运动学公式有2Rsin 0 =12 （gsi门0 卩 gcos 0） t2,解得t=2Rsin 0 gsin 0 卩 gcos0 =2Rg 卩 gcot 0,0增大，时间t减小，规律不成立.2所

6、0,二、“等时圆”的应用，巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解.1、可直接观察出的“等时圆”例1 :如图3,通过空间任一点 A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置 所构成的面是（）A.球面 B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所以A图3A正确。【变式训练1】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为 R和r的两个相切的竖直圆上， 并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，

7、从A滑到B和从C滑到D,所用的时间分别等于tl和t2，则tl和t2之比为（C60"DC.3 : 1例4:圆01和圆02相切于点P, 01、02的连线为一竖直线，如图 点P有两条光滑的轨道 AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿 滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（）A.t1>t2B.t1=t2C.t1<t2D.无法判断解：因AB、CD处在两个 等时圆”上，所以正确答案为kQt图88所示。过AB、CD下滑，下01例2:如图4,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相奇妙的等时圆一一2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用切于点A，竖直墙上

8、另一点 B与M的连线和水平面的夹角为600, C是圆环轨道的圆心,D是圆环上与 M靠得很近的一点( DM远小于CM )。已知在同一时刻:a、b两球分别由A、 B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点;c球由C点自由下落到M点;d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。 9:(A、a球最先到达M点B、 b球最先到达C、C球最先到达M点D、 d球最先到达解析：设圆轨道半径为 R,据“等时圆”理论，t a=2 / , t b> t aV g Vgc做自由落体运动2 Rtc=竺;而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,V g"4=靑所以 C 正确。tb > ta > td >

9、 tc.AB解【析】如图所示，令圆环半径为R,贝y c球由C点自由下落到 M点用时满足R=gtc,所以tc 1;对于a球令AM与水平面成 0角，贝U a球下滑到 M用时满足 AM = 2Rsin = qgsin eit,即ta =;同理b球从B点下滑到M点用时也满足tb =r为过B、M且与水平面相切于 M点的竖直圆的半径，r> R).综上所述可得三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点?解析：设斜面侧边长为I，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为ag si n，物体的位移为x l/si n 。由斜面顶端由静止开始运动到底端，Isin如n t2

10、,¥ g sin2l、g一定，所以 越大时，下滑所用时间越短从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点， 上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达 d所用的时间，贝UA.t1<t2<t3B.t1>t2>t3C.t3>t1>t2如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细 d点为最低点。每根杆a、b、c处释放（）D.tl =t2=t3（初速为图1解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图 二定律得，2,由牛顿第m

11、g cos ma由几何关系，细杆长度 L 2Rcos设下滑时间为t，则L 丄at22F.图2由以上三式得，t 2 RV g可见下滑时间与细杆倾角无关，所以若将图1倒置成图3的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不 同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周 最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做等时圆”，下面举例说明 等时圆”的应用。例1 :如图4所示，通过空间任一点 A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，

12、那么在同一时刻这些小物体所在位置所构 成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解：由等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一等时圆”上，所以A正确。D正确。图3例2 :两光滑斜面的高度都为 h甲、乙两斜面的总长度都为 I，只是乙斜面 由两部分组成，如图 5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放， 不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？解：构想一辅助圆如图 6所示：在AF上取一点0,使OA=OC ,以0点为圆心，以0A为半径画圆，此圆交 AD于E点。由 等时圆"可知，tAC tAE，由机械能守恒定律可知:Vc Ve，VbVd，所以VBC VED。又因为两

13、斜面的总长度s相等，所以SbcSde，根据V F得，tBCtED，所以有t甲t乙，即乙球先到达斜面底端。2在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆， A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图 11） 擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）答案：如图12，把AO延长到C,使OC=OA=10cm，则点O到 A、B、C三点的距离相等。以 O为圆心， 一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从杆高OA也是10cm。杆的上端 从A点由静止开始沿钢绳无摩OA为半径作圆，则B、CA到B的时间与从A到C的时间相等，即tABtACj2AC/g J2 20/102 s。图11图12【例1】

14、倾角为30°的长斜坡上有 C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定 一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从 钢绳末端，如图1所示， 别为（取 g = 10m/s2）A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到 则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分A. 2s和 2sJ2s 和 2sC. J2s 和 4s4s 和 J2sCO图1OB =OA，故A、B、C三点共圆，O为圆解析：由于CO =心。又因直杆 AO竖直，A点是该圆的最高点，如图球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳 AB 和AC与竖直

15、方向夹角分别为a 1、a 2,该圆半径为r，则对钢球 均有2所示。两1、2r cos1 2 -g cos ?t解得：tf，钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角a无片gO30B关，且都等于由 A到D的自由落体运动时间。代入数值得 t=2s, 选项A正确。2、运用等效、类比自建“等时圆相距为h，B点离地高度为H，现在要例3 :如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点,在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点p安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求0、P两点之间的距离 0P。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时,即能

16、满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为:h2R 01PH所以 0p Jr2(h)2 JiHTHh)AhB图5BAh i-0i例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB滑至斜坡底部，又知0B=L求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以0为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等 时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到BTL0图6底端D的时间，所以有tAB tADj-2d性 2 j-V g V g V g例2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆AB，如图所示，BD为水平地面，ABD三点在同一竖直平面内，且连线B端的时间为：(BAC=BC=0.1mA

17、0.1sB 0.2sC 一10D V2 s解析：以C为圆心作一个参考园。的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。即由结论知，小球自 A到B运动AE=2R=0.2m一小球套在杆上自 A端滑到CDBAE= 2 gt2t=0.2s4、如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆A0, A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从 A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间toAE滑行的时间.例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分绘制出如图乙所示的示意图.AC是滑道的竖直高度， D点是AC竖直线上的一点，且有滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶 A点由

18、静止开始沿滑道 AE向下做直线滑动，g取10 m/s2，则滑行者在 滑道AE上滑行的时间为（）技术人员通过测量AD = DE = 10 m，【解析】F落的时间相同，t=a/4R= 2 s，选 B.例4、如图所示，圆弧板的D端由静止下滑，小物体与水平面BC间的动摩擦因数为仆AB是半径为R的夕圆弧，在AB上放置一光滑木板 BD，一质量为m的小物体在BD4BC，在BC上滑行L后停下.不计小物体在 B点的能量损失，已知 卩求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率.然后冲向水平面【解析】由动能定理可知小物体从D 到 C 有 Wg mgLL 0，所以 Wg= a mgLA. sC. sAE两点在以D

19、为圆心、半径为 R= 10 m的圆上，在AE上的滑行时间与沿 AD所在的直径自由Wg所以小物体在木板 BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P =例3:如图7, 质点自倾角为的斜面上方的定点 0沿光滑斜槽0P从静止开始下滑，为使质点从 0点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角 大？P0 A，又 OOP 为应为多解：如图7,作以0P为弦的辅助圆，使圆心 0/与0的连线在竖直线上，且与斜 面相切于P点。由 等时圆”可知，唯有在0点与切点P点架设的斜槽满足题设条件， 质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。 由图可知， 等腰三角形，所以例4:如图7, AB是一倾角为0的输送带， P处为原料输

20、入口，为避免粉尘飞扬，在 P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则 管道与竖直方向的夹角应为多大？/ 2。解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带 AB相切, 如图所示，C为切点，0为圆心。显然，沿着 PC弦建立管道，原料从 P处到达C点处的时 间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于0【例41如图7所示，在同一竖直平面内， 从定点P到固定斜面（倾角为0 ）搭建一条光滑 轨道PM,使物体从P点释放后，沿轨道下滑到

21、斜面的时间最短， 则此轨道与竖直线的夹角a为多少？解析：先用解析法求解。从定点P向斜面作垂线，垂足为如图8所示，设P到斜面距离为 h则轨道长度为PM hcos( )物体沿轨道下滑的加速度a gcos联立解得：tg cos2h?cos( )令根式中分母y cos? cos( )，利用积化和差得:1 y cos2的时间t最小。再用“等时圆”作图求解。以定点cos(2),0一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑2的)“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的P为“等时圆”最高点，作出系列半径 “等时圆”圆周上，如图r不同(动态9中甲所示，则轨道长度均可表示为 PM 2Rcos物体沿轨道下滑的加速度

22、a g cos由于pM尹，故得：t心，欲t最小，则须“等时圆”的半径 r最小。 显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面 相切于M2点，如图9中乙所示。再根据几何关系可知:O2在这里，用了转化的思想，把求最短时 间转化为求作半径最小的“等时圆” ，避免 了用解析法求解的复杂计算。-甲MiM2图9例4:如图5所示，在倾角为 的传送带的正上方,有一发货口 A 0为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角应为多少?图1图5【解析】：如图6所示，首先以发货口高点作一个圆0与传送带相切，切点为B，0画一条竖直线AB/，而连接A、B的直线发货口 A，又过切点B的惟一

23、的弦。根据“等时圆”的规律，货物沿 AB弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽应沿AB方向安装。AB所对的圆周角P为圆心角的一半，而圆心角又等于a，1所以 2。如图3所示，在一个坡面与水平面成0 =40 止意外，需要在塔顶 0与山坡之间搭一个滑道， 设滑道光滑，试求滑道与山坡坡面 AB的夹角角的山坡AB的脚下A处有一个高塔，为防 以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上多大？的角平分D，连接O已到达解析 如图4所示，过O点作一条水平线与山坡交于B点，过B点作/ ABO线，交过O点作的竖直线于点 C，以点C为圆心、OC为半径作圆与山坡相切于点OD、CD.根据上述结论可知：人从O点出发沿滑道到达圆上的时间是

24、相等的，沿滑道山坡，沿其他滑道还要再走一段距离才能到达山坡，所以人沿滑道OD到达山坡所用时间最短，此时夹角0=90 ° 0 =70° .另解如图5所示，过点O作山坡的垂线 OD，设其长度为X.过点O画直线OE，作为 滑道，设其与竖直方向的夹角为0 .由几何知识可知滑道的长度 OE=xcos (a 0)，由牛顿 第二运动定律得人运动的加速度为 a=gsin (90°0)，由运动学公式有xcos (a 0) =12gcos 0 t2，解得t=2xgcos 0 cos (a 0)，其中2 0 = a =40°时，时间取得最小值，此时夹角0 =70.cos 0

25、cos (a 0)=12cos a +COS ( 2 0a)，所以当=90“形似质异”问题的区分如图1a、b、c、d位于同一圆周，三个0)，用tl、t2、t3依次表示各滑环到达 d所用的时间，所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，上, a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出) 滑环分别从a、b、c处释放(初速为则( )A.t1<t2<t3B.t1>t2>t3解析：选任一杆上的环为研究对象，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，C.t3>tl>t2D.tl=t2=t3受力分析并建立坐标如图所示,mg cos ma再由几何

26、关系，细杆长度设下滑时间为t，贝y LL 2Rcos1 .2at2由以上三式得，t 2V g可见下4滑时间与细杆倾角无关，所图2以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达 圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由 静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子:【例11还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为1,小滑环分 别从a、b、c处释放（初速为 0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：bd的长为 2RC

27、0S 0, bd面上物体下滑的加速度为a=gcos 0 -gsin 0,4RC0Stbd= J''、 =2 。可见 t 与 0 有关。V g cos g sin g g tan【例21如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的 光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高 点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个 点无初速释放，滑环都从图中O c所用的时间，则用ti、t2、t3、依次表示滑到B. t1 t2t3a、b、C . t1t2t3D. t3t1t2解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”， 错选A。必须注意，“等时圆”的适

28、用条件是：光滑斜面上 初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。题图中 O不是最高点，题设 圆不是“等时圆”。现以O点为最高点， 圆”交Ob于b，如图 是等时的，比较图示位移取合适的竖直直径Oe，作“等时4所示，显然，O到f、b、g、e才Oa > Of, Oc < Og，故可推知t1 t2 t3，正确的选项是B。【例31如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内 OD为水平线，圆所用的时间分别为tA、tB、tC，则（）周上有三根互成30°的光滑杆OA、OB、OC,每根杆上套着一个小 球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到A

29、tAtBtCB tA tB tc CtAtBtcD无法确定C i.I B' LA'0图6解析：题设图中 0点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。延长 0A，过B作b'b丄B0，贝U 0、B、b'在同一圆周上，B'处自由下落到 0的时间和小球沿光滑杆由 B无初速滑到 0的时间相同。同理，过 C 作C'c丄CO,则0、C、C在同一圆周上，C处自由下落到 0的时间和的时间依次递减，故选项B正确。小球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。O、B/、A自由下落到03延伸如图6所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，(图中未画出)，三个滑环分别从 A

30、处从静止开始释放，用B、C、D所用的时间，则三个时间的关系是什么？前面的结论直接用是不行的.可以采用如下的方法解决.如图7的垂直平分线于点 01,以01为圆心、01A为半径画圆交 AB,所以 t1>t2.B、C、D位于同一圆周上，0点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点. 每根杆上都套着一个光滑小滑环t1、t2、t3依次表示滑环到达解析A不在圆的最高点， 所示，过点A作竖直线交AB另解 假设圆的半径为 R，建立如图8所示的直角坐标系.连接A0并假 贝U A点的坐标为(Rcosa, Rsin a).设直线AB与x轴的夹角为于B、分别交AC、AD的延长线于 C1、D1.在圆ABC1D1中用前面的

31、结论可知 不可以根据CC1 设其与x轴的夹角为a,B,则直线AB的斜率为k=tan 0,直线AB的方程为y sin a =tan 0( x cosa),整理变形有xtan 0 y+sin a tan 0 cos a =0,由数学知识可知，坐标原点到直线AB的距离为OE=|sin a tan 0 cos a |1+tan2 0,由几何知识解得BE2=R2 (1 sin2 a +tan2 0 cos2 a 2sin a cos a tan 0 1+tan2 0),整理得BE= (cos0 cosa +sin a sin 0) R,由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin 0,由运动学公式有2BE

32、=12gsin 0 t2,解得小环运动时间为t=4R (cosa cos0 +sin a sin 0) gsin 0=4Rg (cos a cot 0 +si n a),所以0增大，时间减小，t1>t2>t3.当式中a =90。时，t=2Rg ,与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律说明2如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为卩.环处于加速下滑的条件是2BE=12 (gsin 0卩 gcos 0) t2,解得环运动时间t=4R (cos a cos0 +si n a si n0) gs in 0卩 gcos0,变形为t=4Rg (cos a tan 0卩 +sin a 1

33、 卩 tan 0),由此式可知：0增大，时间t减小，即t1>t2>t3.当式中a =90°或 = 90°、卩=0时，时间t=2Rg.可见等时圆规律适用的条件是：细 杆光滑、A点为圆周的最高点或最低点.四、比较应用等时圆模型解典型例题如图9,底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至 少需要多少时间？答案：用作图求解。如图 10,以b为半径、O为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点。由图可看出：从MN上不同的点由静止滑到A点，以DA时间为最短。(由 等时圆”可知，图中E/、D、0各点到达A的时 间相等。)

34、所以小球从底边 b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45。的时间为最少，而且此时间与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以 tmin (些。V g2.有三个光滑斜轨道 1、2、3，它们的倾角依次是60°，45°和30°，这些轨道交于 0点.现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达O点的先后顺序C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后a g sin ，物解析：设斜面底边长为I，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为 体的位移为x l/cos 。物体由

35、斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得lcos1 g sin t2，45时,tmin得t1一2一4l , l、g 一定，所以当V gsin cos 耳 gsin 22、如图9,圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板 部圆心O,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为 三个小孩同时从 a、b、C处开始下滑A、a处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但aO、bO、cO,其下端都固定于底300、450、600。若有（忽略阻力），则（）B、b处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到Oa、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱

36、底面半径为R,贝y=1gsin0 t2, t2=, 当 0cos 2gsin 2=45°时，t最小,当0 =30°和60°时，sin2 0的值相等。例3:如图3,在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（21）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少?【解析】 方法一：如图所示，设斜面底边长为I，倾角为，则雨滴沿光滑斜面下淌时加速度为a gsin ，雨滴的位移为 x l/cos 。雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端,由运动学公式得 !一1 g sincos 2t2得 tI

37、21Ygsin cosgsin2層tmin方法二（等时圆）：如图4所示,g 一定，所以当45时，通过屋顶作垂线 AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与 AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶AiB、A2B、A3B从图4可以看出:在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均(2为圆的割线。根据等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为tI min而屋顶的倾角则为(2 2LV gLLta n450【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环,其圆心为 0,在圆内与圆心 O13所示，0P =dv R。欲使物体同一水平面上的 P点搭一光滑斜轨道 PM到大环上，如图从

38、P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求 角函数表达）。解析：若用解析法求解， 轨道长度由余弦定理求得M点位置（用 0M与水平面的夹角a的三pM Jd2 R2 2dRcos设轨道PM与水平面夹角为0,则物体沿轨道下滑的加速度a g sin由正弦定理得：dsin（ ）又 pM -at22联立以上四个方程，有a、e、PM、a和t五个变量，可以建立起下滑时间 t与0M倾角a之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。如果改用“等时圆”作图求解，以定点P为最高点，可作 出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均 落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与大环内切的“等 时圆”半径最小，如图 14所示， 0 M 0 P，且在0M连线上。 最小的“等时圆”，物体沿轨道由该“等时圆”的圆心 0/满足 该圆就