曲线方程的表示方法

1、第一章曲§ 1.1曲线万程的表示万法 曲线的概念：曲线是点按照某一 规律在空间中运动的轨迹。现实中的各种轨迹曲线图形。 在空间直角坐标系 Oxyz中，点P的坐标表示为（x,y,z），x轴、y 轴、z轴上的单位向量分别记为 4 4 4i ,j,k 。彳T 彳寸向量r = OP = xi yj zk，可简记z2为 r 二(x, y, z) oVx2对任意向量a,b，成立三角形不L7a4bJr b<_4a补充知识:(1) 向量的内积TT设 a = (aa2,a3), b = (b1,b2,b3),定义a b=|a| |b|cos，称为向量a 与b的内积；记为a b或(a,b)，其中：

2、 是向量a与b的夹角。T T可以证明：a b二aM 已20 a3b3。2 T T 222|a= (a,a)=印，2玄3 ;= |a 2(a,b) |b。(2) 向量的外积(或叉积)定义向量c的大小为l|a| |b|si，(on，且c与a,b垂直，方向为使a,b，c恰 成右手坐标系，此向量 c称为a与b 的外积，记为a b ；在直角坐标系中，可以证明：T设 a = (aa2,a3), b = (dbd),444ii j kai a2 a3bi b2 b31 a2a3aia3a a?1I b2b3Jbib3Jbib24a4 C/k=4-c呻b4a外积的大小除了按上面的方法计 算外，还有下面简便的计

3、算J|a|b-(a,b)2 oT设a=佝，已2,已3），Tb =TC(ci ,C2 , C3) o混合积aia2a3a (Z c)=bib2dCiC2C3记 a (b c)= (a,显然有a (b c)=几何意义0二重外积展开式a (b c) = (a c)b - (a b)c ,=(a c)b - (b c)a。洁壶一(a b) (c d)二二(c,d,a)b -定理设4片-4I 1a cadib c4 <'b4 dooT为三阶正交矩阵，a 二(耳总忌)，b = (bbb), 则有(aT) (bT)二 sgn(detT)(a b )T。证明aT =a(:, U(a m,a Ma

4、 爲)，bT =b(： i,： 2, ： 3) =(b ： i,b ： 2,b ： 3)，由外积的计算公式，并利用Lagrange恒等式，可得= sgn(detT)(a ；)T，这是由于 mi构成右手系，或构成 左手系。求 z x2 y2 _ 2x _ 4y 9, x2 y2 _ 6x 2y 11 的最小值.解 x2 y2 - 2x - 4y 9 = x - 1 2 y - 2亠0 - 2 2 是点P x, y,0与点A 1,2,2的距离，又 Jx2 + y2 _ 6x + 2y +11 = J( x_ 3 )2 + (y + 1 )2 + (0 _ 1 )2是点P x, y,0与点B 3,-

5、1,-1的距离也是点P x,y,0与点C 3, -1,1的距离，由于| ABg PA| + |PB，故z的最小值为| AB| = V22 .注意点 A( 1,2,2卢点C(3, 1,1)同在xOy平面的一侧，在xOy平面 上寻找一点P(x,y,0 )，使|PA| + |PC|最小，点B(3, 1,1)是点C(3, -1,1)关于xOy平面的对称点，PC = PBAC = J14,此题的几何意义是经典熟知的 .一、平面曲线的几种表示方法1 ° 显表达：y = f (x)，函数 y = f (x)的图象G(f)说成是一段曲 线。y= f(x)是该曲线的表 达式，如果某曲线是函数y = f

6、(x)的图象，贝 g y= f (x) 称为该曲线的显表达式。2°隐表达式：如果曲线上的点是由方程F (x, y) = 0的解(X, y)所构成，则方程F(x, y)二0表示该曲线。例如： 表示一个圆的曲线，F (x, yp ax by c= 0,表示一个直线。3°曲线的参数表示：如果曲线上的点可由；),忙 f / 的点(x, y)来描绘，则称它为曲线的参数方程。例如：单位圆2 2x y = 1有参数表达xrins 二0, 2 ；1 -t2x =O 51 t2或厂2t(-).e2 tan 22 二cos71tan2 丄21 tan1 ta=中,2令-tan2，（即是万有代换

7、）,一2t1-t2则有x= ，厂肓2.单位圆的参数方程的几何意义： 过（-1,0）作斜率为k的直线与 单位圆的交点坐标。设斜率为k，则过点（-1,0）的直线 方程为厂k xi，求它与圆X2 y2=l的交点,联立得利用求根公式解得，1 - k2X 1k2'2k从而厂V，1k2X =1 kI 2k为单位圆的参数方程。y2 2例如：椭圆 話 古1有参数表达x = asin t, y 二 bcost02 。由参数x = a(t - sint) y = a(1 - cost)0三t £ 2所确定的曲线称为旋轮线（也称为摆线）。 来源背景，它的几何意义是： 当一个圆沿着一条直线无滑动地滚

8、 动时，圆上一个固定点P所描绘出的 路径（曲线）叫做旋轮线（也称为 摆线）。方程建立的过程。 手工操作运动法。课外搜索阅读：摆线、最速降 线的文献资料。4°曲线的极坐标表示：r（日）°兰日 pO极坐标表示与直坐标表示可以互化,x = r f )cos，,厂 r C )sin 。几种表示的优缺点。二、空间曲线的表示方法1 °参数表示法：x= x(t)彳 y = y(t) t e :z z(t) ?所形成的点(x(t), y(t), z(t),描绘出空 间中的一条曲线，称为曲线的参数 示。例如:2+2 2由于x y = a，它的几何意义：它的图形是圆柱螺 线。圆柱螺线

9、的产生方式：将平面 上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对 角线在圆柱上就是圆柱螺线。螺线的运动产生方式。列举常见 的螺线。2°曲线的向量表示法向量：既有大小又有方向的量称 为向量。在选定坐标系下*TTT向量的表示：=X©yaze，或 r = (x,y,z)。X = x(t)把参数曲线y = y(t)，t ：厂IZ= z(t)改写成向量形式r = r(t) = (x(t), y(t),z(t) , t ：,，两者表示的是同样一条曲线，r = r(t) = (x(t), y(t), z(t) , t ：,称为该曲线的向量方程。定义1.1如果 x= x(t), y = y(t), z= z(t)都是区间/ 上的连续函数，那么曲 线X = x(t)Iy = y(t) tw 卜z= z(t)''称为连续曲线。空间曲线的一般定义：设i是一个区间，定义在I上的向量 值函数 r = r(t) =