定义域与值域

1、高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!第二节函数的定义域和值域备考方向要明了 回扌考什么怎么考会求简单函数的定义域和值域.1. 函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题 中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函 数有关的定义域问题.如 2012年江西T2，江苏T5等.2. 函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问 题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中归纳知识整合1 .常见基本初等函数的定义域(1) 分式函数中分母不等于零.(2) 偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3) 次函数、二次函数的定义域均为R(4) y= a

2、x(a>0 且 a* 1), y = sin x, y= cos x,定义域均为 R.(5) y= log ax( a> 0 且 a* 1)的定义域为(0 ,+).、Jn1(6) y= tan x 的定义域为 *x| x* k n + , k Zj.(7) 实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数 自变量的制约.2 .基本初等函数的值域(1) y= kx + b( k* 0)的值域是 R(2) y= ax2+ bx+ c( a* 0)的值域是：4ac b"当a>0时，值域为£y|y>4a1.J>4ac b&qu

3、ot;1当a<0时，值域为*yZ 4a .r蔷耆字目网k y= -(0)的值域是y| yz 0.X(4) y= ax( a>0 且 az 1)的值域是y| y>0.(5) y= log ax( a>0 且 az 1)的值域是 R(6) y= sin x, y= cos x 的值域是1,1.(7) y= tan x的值域是 R探究1.若函数y= f(x)的定义域和值域相同，则称函数y= f(x)是圆满函数，则函数1厂2y= -；y = 2x;y= x;y= x中是圆满函数的有哪几个？x提示：y= $的定义域和值域都是(3 0) u(0,+)，故函数y=x是圆满函数；y=2

4、x的定义域和值域都是 R,故函数y= 2x是圆满函数；y=x的定义域和值域都是0 ,+ 3)，故y = X是圆满函数；y = x2的定义域为 R,值域为0 ,+3)，故函数y = x2不是 圆满函数.2 .分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系?提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集.自测牛刀小试(教材习题改编)函数f (x) =x的定义域为()x 1A.m, 4B. 4 , +3)C.(m, 4)1) U (1,4解析：选D要使函数f(x)二角有意义，只需4 x> 0,x 1z 0,x< 4,即*所以函数xz 1.的定义域为(3,1) U (

5、1,4.2 .下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0<x<55< x<1010W x<1515< x w 20y2345A. 2,5B. NC. (0,20D. 2,3,4,5解析：选D函数值只有四个数 2,3,4,5，故值域为2,3,4,53 .若 f (x)=1?x+l，则f(x)的定义域为()A.12, 0B.C.12，+mD. (0，+m)解析：选A根据题意得log 12(2 x + 1) > 0,即 0 v 2x+ 1v 1，解得一12<x<0,即x12，0.高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!域求函数的

6、定义域例1(1)(2012 山东高考)函数f(x)=斤+4 x2 的定义域为(4.(教材改编题)函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 y=f(x)的定义域为值域为解析：由图象可知，函数y= f(x)的定义域为6,0 U 3,7)，值 为0，+m).答案：6,0 U 3,7)0,+)5.(教材改编题)若寸x 4有意义，则函数y = xymin = (4 3) 2= 1 2 = 1.其值域为1，+ ).答案：1，+) 6x+ 7的值域是 解析： x 4有意义， x 4>0, 即卩 x>4.2 2又ty = x 6x+ 7 = (x 3) 2，A. 2,0) U (0,2B. ( 1,

7、0) U (0,2C. 2,2D. ( 1,2 已知函数f (x2 1)的定义域为0,3，则函数y= f (x)的定义域为 蒿耆字目网x +1>0,即$ x丰0,、2< x< 2.自主解答(1) x满足叔+ 1工1,4 x2> 0,解得1<x<0 或 0<x< 2.(2) T OW xw 3,2 2 /. Ow x w 9, 1w x 1w 8.函数y= f(x)的定义域为1,8.答案(1)B(2) 1,82 本例 改为f(x)的定义域为0,3，求y = f(x 1)的定义域.解:J y = f(x)的定义域为0,3,2-0 w x 1 w 3,

8、解得一2w xw 1 或 1w xw 2,所以函数定义域为2, 1 U 1,2. 简单函数定义域的类型及求法(1) 已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3) 对抽象函数： 若已知函数f (x)的定义域为a, b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式aw g(x) w b求出. 若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，贝Uf (x)的定义域为g(x)在x a,b时的值域.|殴A训练1 . (1)(2012 江苏高考)函数f(x)1 2log6x的定义域为 . 已知f (x)的定义域是2,4，求f (x

9、2 3x)的定义域.解析： 由1 2log 6x>0解得log 6Xw2?xw .6,故所求定义域为(0 , , 6 答案：(0,6 (2) / f(x)的定义域是2,4,-2w x 3xw 4，由 次函数的图象可得，一1 w xwi或2w xw 4.定义域为1,1 U 2,4.蔷圭字司网WWW例2 求下列函数的值域：(1) y=汙；(2) y= X-寸 1- 2X; (3) y= x + X.x一 3 x + 1 一 444自主解答(1)法一：(分离常数法)y=不=匚丁= 1 -因为齐T0所以14XT7高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!即函数的值域是y|y R,

10、y丰1.X 3法二：由 y=x得 yx+y=X3.解得X=戶，所以屮1,1 一 y即函数值域是y| y R, y丰1.(换元法)令1 2x = t，贝y t0且x=1 t22 ，21 t 21于是 y=t = 一 2(t +1)21 1+1,由于t >0,所以y<2，故函数的值域是 lyW2'-1法二：(单调性法)容易判断函数y= f(x)为增函数，而其定义域应满足 1 2x>0,即X二 们 1”1、所以yw f 2 = 2即函数的值域是勺yw 2|>-(3) 法一：(基本不等式法)当x>0时，44x + ->2x X - = 4,x , x ，当且

11、仅当x = 2时“=”成立；44当 x<0 时，x+ = ( x ) w 4,XX当且仅当x = 2时“=”成立.即函数的值域为( a, 4 U 4 ,+).4 X2 4 法二：(导数法)f'(X)= 1 2= -.X Xx ( a, 2)或 x (2 ,+a)时，f (x)单调递增, 当x ( 2,0)或x (0,2)时，f(x)单调递减.故 x = 2 时，f (X)极大值=f ( 2) = 4;x = 2 时，f (x)极小值=f (2) = 4.即函数的值域为( a, 4 U 4 ,+).4若将本例 改为“ y= x -”，如何求解?x解：易知函数y = x 4在(a,

12、0)和(0，+a )上都是增函数，故函数y= x x的值域为Z.ZY 求函数值域的基本方法(1) 观察法：一些简单函数，通过观察法求值域.(2) 配方法：“二次函数类”用配方法求值域.(3) 换元法：形如y= ax+ b± cx + d( a, b, c, d均为常数，且a*0)的函数常用换元法 求值域，形如y = ax+ a bx2的函数用三角函数代换求值域.cx+ d-1分离常数法：形如 y =aMQ的函数可用此法求值域.ax十b5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其 增减性进而求最值和值域.6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条

13、件的几何意义，在图上找 其变化范围.|止A训练2 .求下列函数的值域.2(1) y= x + 2x, x 0,3;2x x y=x；(3) y= log 3x+ log x3 1.2 2解：(1)(配方法)y= x + 2x = (x+ 1) 1,/ 0< x< 3,2 1< x+ 1<4. 1W( x + 1) W 16. 0W y< 15,即函数 y= x2+ 2x(x 0,3)的值域为0,15.蔷圭字司网www.gkxxconiy=2x X+ 1 12 X X+ 11X2 X + 1，2 “/X X + 1 =14-0<x2 X + 1 三 3,1 -

14、 1 y<1，即值域为| 3, 1 !：1尸log 3X+耐1，令 log 3X = t ,小1则 y=t + - 1(t 丰 0),当 x>1 时，t>0, y>2 1 = 1,1当且仅当t =-即log 3X= 1, x = 3时，等号成立;当 0<x<1 时，t<0,y=1W 2 1 = 3.当且仅当一t =-即log 3X= 1, X = 1时，等号成立.综上所述，函数的值域是 (一R, 3 U 1 ,+).与定义域、值域有关的参数问题例3已知函数f (x) = ax2 + bx.若至少存在一个正实数 b,使得函数f(x)的定义域与 值域相同，

15、求实数 a的值.自主解答若a= 0，则对于每个正数 b, f(x) = , bx的定义域和值域都是0 ,+), 故a= 0满足条件；若a>0,则对于正数 b,f(x) = ax2 + bx的定义域为 D=x|ax2+ bx>0 = m,0 ,+s)，但f(x)的值域A? 0 ,+s)，故DM A,即a>0不符合条件;若a<0,则对于正数 b,f (x)=寸ax2 + bx的定义域 D= 0, | ,高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!由于此时f(X)max= fb b习'=，故f(x)的值域为02厂a，高考学习网一中国最大高考学习网站G |我

16、们负责传递知识!综上所述，a的值为0或4. 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然 后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围.3. (2013 温州模拟)若函数1f(x)= 在区间a, b上的值域为X 1，则a+ b =解析：t由题意知 x1>0,又x a, b,1a>1.则f (x)=在a, b上为减函数，x 11 1 1 则f(a) = a1=1 且f(b)=b1=3， a= 2, b= 4, a+ b= 6.答案：6通法归纳领悟1种意识一一定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是

17、研究函数性质的基础因 此，我们一定要树立函数定义域优先的意识.4个注意一一求函数定义域应注意的问题(1) 如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合(2) 不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化.(3) 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合.(4) 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接， 而应该用并集符号“U”连接.肯耆字目网4个准则一一函数表达式有意义的准贝函数表达式有意义的准则一般有：分式中的分母不为0;偶次根式的被开方数非负;y= x0要求x工0；对数式中

18、的真数大于 0,底数大于0且不等于1.6种技巧妙求函数的值域(1) 当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2) 若与二次函数有关，可用配方法；(3) 若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4) 当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5) 分段函数宜分段求解；(6) 当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解易误警示与定义域有关的易错问题典例(2013 福州模拟)函数f(x)=x +1X+ 1的定义域为解析要使函数f (x)=x + 1工 0,x < 1,<x 工一1 , 函数f (x)的定义域为X|XW 1,且x 1.

19、答案(8, 1) u ( 1,1易误辨析1.本题若将函数f(x)的解析式化简为f (x) = (x + 1) 1 X后求定义域，会误认为其定义域为(8, 1 事实上，上述化简过程扩大了自变量X的取值范围.2 在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域求函数的值域时，不但要重视对应关 系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用.变式训练一 1"I11若函数f(x)的值域是|-, 3 I,则函数Hx) = f(x) + 的值域是()2T XD. J3,10解析：选C令t = f(x)，则2 < t W 3.易知函数g(t)= t + *在区间(2, 1上是减函数，在1,3上是增

20、函数.又因为 g 2 = 2, g(1) = 2, g(3) = y.可知函数F(x) = f(x) +厂一的值域为|2,罟2 .已知函数f(QX+ 2) = x+ 2&，则函数f (x)的值域为解析：令 2 + x= t，则 x = (t - 2) 2(t >2).= (t - 2)2+ 2( t -2) = t2-2t(t >2).一 2 f (x) = x - 2x(x>2). f (x) = (x- 1)2-1> (2 - 1)2- 1= 0,即f (x)的值域为0 ,+8 ).答案：0 ,+R)二演爲心凶诵导二衢躍貶茨園鎚跆阖厨一、选择题(本大题共6小

21、题，每小题5分，共30分)1.已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()2 2A. f(x) = x + aB. f (x) = ax +12 2C. f (x) = ax + x+ 1D- f(x) = x + ax+ 1解析：选C当a= 0时，f (x) = ax2+ x +1 = x + 1为一次函数，其定义域和值域都是R2.已知等腰 ABC周长为10,则底边长y关于腰长x的函数关系为y = 10- 2x，则函数的定义域为()A. RC. x|0< x<5、>0,解析：选D由题意知10-2x>0,2x>10-2x,B. x|x>0D.

22、,5x| _<x<525即 5<x<5.蔷圭字司网的图象可以是()高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!B. x| x> 1D. x|0< x w 1得 x> 1.A.函数y = 2 . x2 + 4x的值域是()2,2B. 1,2D. .2,2 解析：选 C '/ x2+ 4x= (x 2)2+ 4w 4, 0w， x2 + 4x w 2,C.0,22<， x2 + 4x w 0,解析：选A A中定义域是2,2，值域为0,2 ; B中定义域为2,0，值域为0,2;C不表示函数；D中的值域不是0,2 14. (2013

23、南昌模拟)函数y=x x lg -的定义域为(XA. x|x>0C. x| x> 1,或 x<0-x 1 列,解析：选B由1->0，0w2 -.、； x + 4xw2,.°. 0w yw2. 26 .设函数 g( x) = x 2( x R),f(x)=g<：gx + x+ 4, x<gxx x, x>g x' 则f(x)的值域是A. I-9, 0 U (1 ,B.0，+m )CJI 794,+D.7, 0 U (2 ,+s)解析：选D令x<g(x),即x2 x2>0,解得 x< 1 或 x>2;令 x>

24、g(x),即 x2 x 2w0,x2+ x+ 2, x< 1 或x>2,解得一1w xw2,故函数f (x) =2当x< 1或x>2时，函数f(x)>f(x x 2, 1w xw 2.二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）17 .函数y =2的定义域是226 x x >0,即卩 x + x 6<0,故一3<x<2.寸6xx解析：由函数解析式可知答案：（3,2）8设x>2,则函数y=解析：y =- x + 1+ 1 + 1，设1 = t，则 t >3,那么 y=斗口 = tx+ 1+ 4+ 5,在区间2 ,+R）上此函

25、数为增函数，所以t = 3时，函数取得最小值即ymin = 28t3 28答案：79. （2013 厦门模拟）定义新运算"$”：当 a>b时，a® b= a；当a<b时，a® b= b2.设函数 f (x) = (1 ® x)x (2 ® x) , x 2,2，则函数 f (x)的值域为解析：由题意知，f（x）=x 2, x 2, 1, x3 2, x1, 2.当 x 2,1时,f(x) 4, 1;当 x (1,2时,f(x) ( 1,6，故当 x 2,2时，f(x) 4,6 答案：4,6三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共

26、36分）10.若函数f （x） = |x2 x + a的定义域和值域均为1 , b（ b>1），求a, b的值.解： f(x)=如1)2 + a 2,其对称轴为x = 1,即1，b为f（x）的单调递增区间.1 f(X)min= f (1)= a 2= 1，1 2f (x) max= f ( b) = ?b b+ a= b.由解得tib= 3.蔷圭字司网w w w . gl (x)11.设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点 耳X, 0)在x轴的正半轴上移动,x表示AB的长，求函数y =的值域.l x解：依题意有x > 0,l (x) =x4 2+ 32= x2 8x + 2

27、5,所以 _ 1y I xx2 8x + 25, 8 25V1 - x + 7由于1 8+ 尊=25 1- J+ 昙x xx 2525'所以825 3 51x+ x25，故 °vy 三 3.的值域是'0, 512.已知函数 f (x) = x2 + 4ax+ 2a+ 6.(1)若函数f(x)的值域为0 ,+)，求a的值; 若函数f(x)的函数值均为非负数，求g( a) = 2 a| a+ 3| 的值域.高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!解：(1)函数的值域为0 ,23 a= 2. = 16a 4(2 a + 6) = 02? 2a a 3= 0?

28、 a= 1 或/对一切x R函数值均为非负, = 8(2 a2 a 3) <0 ? 1< a< |.a+ 3>0.2 - g( a) = 2一 a| a+ 3| = 一 a 一 3a+ 232,口a+D+¥*-1，哥)二次函数g(a)在| 1,单调递减,蔷圭字司网1.下列函数中，与函数i有相同定义域的是(A. f (x) = In x1B. f(x)=-C. f(x) = |x|D. f (x) = ex解析：选A1当x>0时，一有意义，因此函数y =：的定义域为x|x>0.高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!对于A,函数f (x) = In x的定义域为x| x>0;1对于B,函数f (x)=-的定义域为x|x丰0, x R；x对于C,函数f (x) = | x|的定义域为R;对于D,函数f (x) = ex的定义域为R.1所以与函数y =-j=有相同定义域的是f(x) = In x.2 .函数y =2x +的定义域为()Q x2 3x+ 4A. 4, 1)B. ( 4,1)D. ( 1,1C.