2021年利用勾股定理解题的十种常见题型专题训练含答案与试题解析

1、B. (V2) /r，A. (V2)2021年利用勾股定理解题的十种常见题型题型i利用勾股定理探究规律1.2021-烟台如图， 04*2为等腰直角三角形，OAL1,以斜边0人2为直角边作等腰直角三角形创2人3,再以0A3为直角边作等腰直角三角形 0434，按此规律作下去，V22题型2利用勾股定理证明线段相等2. 2021春？淮滨县期末如图，在四边形ABFC中, ZABC=90 , CD AD, aD=2AB-CD2.求证：AB=BC吕2题型3利用勾股定理证明线段之间的平方关系3. 2021春？黄石期末如图：在等腰直角三角形中，AB=AC点D是斜边BC上的中点，点、E、求B及CF的长.F分别为A

2、B, AC上的点，且 DE丄DF.(1)假设设 BE=a, CF=b,满足血 一 12 +lb ? 5仁 (2)求证：bE+CF = EF?3在1的条件下，求的面积4. 2021秋？山阳区校级月考在四边形 ABCDK ZA=60 , ZD= 150 四边形周长为32.1求BC的长度.2求四边形ABCD勺面积.题型5利用勾股定理求折叠中线段的长方程思想5.2021春？武川县期末如图，将长方形 ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上.假设AB=6. BC=9求BF的长.题型6利用勾股定理求动点中线段长6. 2021秋？东湖区校级期末：如图，在Rt/ABC中，ZC=90 , AB=5c

3、m. AC=3cm,动点P从点B岀发沿射线BC以 Ws的速度移动，设运动的时间为 t秒.1求BC边的长；2当ZkABP为直角三角形时，求/的值；题型7利用勾股定理求实际中的距离7. 2021春？洛阳期末如图，某学校 A点到公路直线/ 的距离为30加，到公交站D点的距离为50加，现在公路边上建一个商店 C?点，使商店到学校 A及公交站D的距离相等，求商店 C与公交站D之间的距离结果保存整数题型2利用勾股定理的逆定理求实际中的方位角8. 2021春？洛阳期中如图，小明的家位于一条南北上向的河流MN的东侧A处，某一天 小明从家出发沿南偏西 30方向走60？到达河边B处取水，然后沿另一方向上 80川到

4、 达菜地 C处浇水，最后沿第三方向走 100z?回到家A处问小明在河边B处取水后是沿 哪个方向行 走的？并说明理由.题型2利用勾股定理求旋转中的线段长9. 2021*绍兴如图1是实验室中的一种摆动装置，在地而上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂 AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30, DM=0.1在旋转过程中， 当A, D, M三点在同一直线上时，求 AM的长. 当A, D, M三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM的长.2假设摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位苣由 ABC外的点Di转到其内的点0处，连结DiDi，如图2,此时ZAD2C=135 , CD2=60,

5、求的长.第3页共久5页團21题型10利用勾股定理设计方案(对称法)10. ( 2021秋？丹徒区校级月考)如图红星村 A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸 CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元.(1)请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省Ahe(2)并求出铺设水管的最省总费用2021年利用勾股定理解题的十种常见题型参考答案与试题解析一.试题共io小题1.2021-烟台如图， 04/2为等腰直角三角形，OAt = ,以斜边OA2为宜角边作等腰直角三角形创2人3,再以OA3为直角边

6、作等腰直角三角形 04八4,，按此规律作下去，A. (V2) B. (V2) /r 1C. () /rD. () 12 2【解答】解：? OAS2为等腰直角三角形，0知=1,/. OAi= V2:?.化OA2A3为等腰直角三角形，:.OAi=2= (V2) 2;? OAvU为等腰直角三角形，AOA 4=2V2 = (V2 ) 3.? 04/5为等腰直角三角形，/. 0X5=4= (V2)?OA 的长度为V2 n l.应选：B.2. 2021春？淮滨县期末如图.在四边形ABFC中. ZABC=90, CD丄AD, aD=2AB-CD.求证：AB=BC【解答】证明：？?在厶 ABC中, ZABC=

7、90:.ab2+bC=aC ?在 ACD 中，CD 丄 AD:.ad2+cD=aC,:.AB2+ BC2=AD2+CD又 aD=2AB - CD2,:.ab2+bC=2aB - cd2+cD 即 aB=bC.:.AB=BC ?3. 2021春？黄石期末如图：在等腰宜角三角形中，AB=AC点D是斜边BC上的中点，点、E、F分别为AB, AC上的点，且DE丄DF.1假设设 BE=m CF=b满足 Va - 12 +b - 51=求 BE 及 CF 的长.2求证：bE+cF=ef ?3在1的条件下，求的面积.【解答】1解：由题意得;二囂解得m=2,那么 Va-12+1/?-51=0,所以 12=0,

8、 5=0,6/=12, b=5,即 BE=2, CF=5:2证明：延长ED到P,使DP=Dt，连接FP, CP,在厶BD和ZkCPD中.ED = PDAEDB = DC,、BD = CD:仏 BED竺 HCPDSAS),:? BE=CP, ZB=ZDCP,在EDF 和 APDF 中，DE = DPZ.EDF = DE = 90。,DF = DFAAEDFAAPDF (SAS),?EF=FP,?： ZB=/DCP,ZA=90 ,?ZB+ZACB=90 ,A ZACB+ZDCP=90 , 即 ZFCP=90 ,在 RtAFCP 中，根据勾股定理得： CF2+CP2=PF2,?BE=CP, PF=E

9、F,:.BE 2+CF2=EF2,(3) 解：连接 AD,? ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，?ZBAD=ZFCD=45 , AD=BD=CD,AD 丄 BC、TED 丄 FD. 9.ZEDA+ZADF=90 , ZADF+ZFDC=90 ,:.ZEDA=ZFDC9在厶AED和ZkCFD中，LEAD =乙 FCDAD = DC ,Z-ADE =乙 CDF:.AEDQHCFD(ASA),:.AE=CF=5. DE=D F即为等腰直角三角形，:.AB=AE+EB=5+2=1,:.AF=AC- FC=AB- CF=17 - 5 = 12,EF=jAE2+AF2=13,在 RtAEAF 中，根

10、拯勾股立理得：设 DE=DF=x, 根据勾股定理得： X2+X2=132,那么 S DEF= ; DE? DF=* x 乎 x 竽二学.4.2019,ZD=150 【解答】解:(1)如图，连接BD?9: AB=ADZA=60 ?.? ABD是等边三角形，:.BD=AB=AD=SZI=60 ?又 ZI+Z2=150 ,AZ2=90 ?设 BC=x贝卩 CD= 16-x,由勾股定理得:?=82+ 16-x 2,解得 A=10, 16 ? x=6,所以BC=10?CD=6,四边形ABCD勺而积=的而积+2XBDC的面枳二字X 8 X 4逅+字X 8 X 6 =16V3+ 2 4?5. 2021春？武

11、川县期末如图，将长方形 ABCD沿 EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的 中点C上假设AB=6, BC=9求的长.【解答】解:?将长方形ABCD& EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上:.BC=AAB=3,CF=CF在 Rl/XBCF 中，CF=BF+CB.:.CF2= (9 - CF) 2+9:.CF=5:.BF=4 6. 2021秋？东湖区校级期末：如图，在 Rt/ABC中，ZC=90 , AB=5cm. AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以SMS勺速度移动，设运动的时间为 t秒.1求BC边的长；2当厶ABP为直角三角形时，求/的值；3当AABP为等腰三角形时，求/的值.:.BC

12、=4 (cm);(2) 由题意知BP=fcm, 当ZAPB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cn即r=4 : 当 ZBAP为直角时，BP=tcm, CP= (f-4 ) cw,在 RtAACP 中，AP2=32+ (r - 4)在 Rt/XBAP 中，AB+AP=BP,即：52+32+ ( f? 4)2=r,解得：/=专，oq故当AABP为直角三角形时，f=4或t=(3) 当 AB=BP时，r=5 ； 当 AB=AP时，BP=2BC=&z=8: 当 BP=AP时，AP=BP=fcm, CP=4-/) cw, AC=3cm,在 RtAAACP 中，AP=AC+CP.所以 r=32+ (4-

13、0 2,解得：/=眷，图图7. 2021春？洛阳期末如图，某学校 A点至U公路直线/的距离为30加，到公交站D点的距离为50 n现在公路边上建一个商店 7点，使商店到学校 A及公交站D的距离相等，求商店 C与公交站D之间的距离.结果保存整数【解答】解：作丄厶于 B,那么AB = 30力口，AD=50m./? BD=40m设 CD=x,贝U CB=40-x, x2= (40-x) 2+3O2?X2=1600+?-80. Y+302,8O.v=25OO,心31,答：商店C与公交站D之间的距离约为31米.8. 2021春？洛阳期中如图，小明的家位于一条南北上向的河流MN的东侧A处，某一天 小明从家出

14、发沿南偏西30方向60m到达河边B处取水，然后沿另一方向泄 80川到 达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走 100 ？回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿 哪个方向行 走的？并说明理由.【解答】解：VAB=60, BC=80, AC=100,:.ab2+bC=aC,?ZABC=90,:.AD/NM,?ZNBA = ZBAD=30 ,A ZMBC= 180 -90 -30 =609. 2021 绍兴如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地而上，支架ABC是底边为BC的 等腰直角三角形，摆动臂 AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30,DM=0 ?1在旋转过程中， 当A, D, M三点

15、在同一直线上时，求 AM的长. 当A, D, M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.2假设摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由 ABC外的点D转到其内的点6处，连结DE如图2.此时AI2C=3S. CI2=6O.求/?处的长【解答】解：1 AM=AD+DM=40,或 AM=ADDM=20.显然ZMADT能为直角.当 ZAMD为直角时，AM=AD- DM 2 = 302 - 102=800,?AM=20VA或-20A2 舍弃当 ZADM=90。时，AM =AD2+DKh= 302+102 = 1000AAM=10V10 或-10価舍弃.综上所述，满足条件的 AM的值为20逅或10価？2由

16、题意：ZD lAD2=90 , AD I =AD 2 = 30.?ZAD2DI=45 , DID2=3 (W2,V ZAD 2C= 135 :.ZCD2D=90q,/. CD= JcD2Z+ DiD2Z =30 虫，VZBAC=ZD iAD2=90 :.ABAC - ZCAD2=ZDAD - ZCAD 2:.ZBAD2=ZCAD I,?ab=ac, ae=ad.ABAD 2aACAD I ( SAS),:.BDi=CDi = 30/6?它们到河CD上建一10. 2021秋？丹徒区校级月考如图红星村 A和幸福村B在一条大河CD的同侧， 岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸 水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元.1 请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省.2并求岀铺设水管的最省总费用.【解答】解：F延长AC到F,使AC=CF连接BF,交CD于E,那么在CD上选择水厂位置是 E时