《函数的性质》案例分析

1、函数的性质案例分析 一、设计思想：首先说明这次高三第一学期的一节复习课，因此，既要考虑对学生能力的培养，同时又要重视基本方法的归纳，总结以及落实，函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学代数，对函数的有关概念，通过复习要使学生做到准确、深刻地理解，能正确、灵活地加以运用。函数历来是数学高考中的重点考查内容，而函数的性质又是函数中最重要内容。本节课在分别复习奇偶性、对称性、周期性的基础上，对这些性质的综合运用。学生除了要掌握一些基本的方法以外，还要学会阅读数学语言，包括文字语言、符号语言、图形语言。数学语言是我们数学地思考问题的方式，同时也要学会从“语

2、言”中获取信息，基于以上考虑，本节课通过对奇偶性、对称性、周期性的复习，使学生熟悉三种语言的转化，同时掌握代换变换的方法，通过一道高考题的深入分析、拓展、渗透轮归的思想，数形结合的思想，培养学生对有关函数性质的“数学语言”的深刻理解及获取信息的能力。二、课堂实录星期二上午第三节高三（3）班教室师：我们前面分别复习函数的奇偶性、对称性、周期性（板书）：函数y=f(x)是奇函性（文字语言）提问：用数学符号如何表示？（学生回答）函数的图象是有什么特点？（学生回答）同样，画出一个关于x=1对称的函数图象，用文字语言如何表达？用符事情语言如何表述？给出符号f(x+2)=f(x)，用文字如何表达？函数的图

3、象具有什么特点？T：（问题）：f(x+2)=f(x)，悟出什么？学生齐答：函数f(x)的周期是2T：f(x+2)=-f(x)，又能悟出什么？（学生思考，议论纷纷，有些学生已找到答案）S2：y=f(x)以4为周期。f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-f(x)=f(x)T：很好已知f(x)=-f(x+2)，可以这样理解，对于一个x的值，加上2，函数值相反，再加2，函数值又相反，就与f(x)相同了，（教师一边说，一边在黑板画图）。结合图形理解较为直观，但是之前代数变换的方法也很重要。（板书例题）：设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5

4、)等于？S3：f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-f(0.5)-0.5T：这种方法利用已知所给的条件，对f(x+2)=-f(x)看成关系式，通过对x赋值，代数变换，得出结论。S4：由f(x+2)=-f(x) 可得出f(x+4)=f(x)f(7.5)=-f(0.5)=-0.5T：回答得很好。注意到了对所给符号语言的深刻理解，同时也希望同学们要掌握如何运用周期性，y=f(x)周期为Tx1-x2=KT （KZ）则f(x1)=f(x2)T：我们再考虑题目的条件，还能获取哪些信息呢？（学生思考）T：y=f(x)是奇函数，因此，-

5、f(x)=f(-x)，这样f(x+2)=f(-x)（这时，有一部分学生恍然大悟，看出了函数的对称性）y=f(x)关于x=1对称（教师带领学生一起画出y=f(x)图像，借助图象观察 f(7.5)=-0.5）这种方法渗透数形结合的思想，由数形数的过程。（板书例题）：定义在R上的偶函数y=f(x)满足关系f(x+2)=-f(x)，且f(x)在区间-2，0，上是增函数，那么有如下结论：（1）y=f(x)是周期函数（2）y=f(x)的图象关于直线x=2对称（3）y=f(x)在区间2，4上是减函数（4）f()=f（）学生先思考，可以互相讨论，再由学生分别回答，并说明理由。之后，教师对基本的代数变换方法化归

6、和数形结合的数学思想，再一次归纳并强调。T：对于例1我们将问题变式：当x-1，10时，f(x)的解析式。把未知范围转化为已知范围，再运用函数性质。当x-1，10时，-x0，1F(-x)=-x=-f(x)f(x)=x变式2：当-1x1时，f(x)的解板式？（在代数推理的基础上，同时结合图形观察）变式3：当x3，5时，f(x)的解析式？教师分析、强调化归的思想，将未知范围转化为已知的-1，1范围内。变式4：当x1，3时，f(x)的解析式？教师引导学生小结。（1）学会读懂有关函数性质的三种语言，并转化。（2）掌握代数变换的方法。（3）体会数形结合，化归思想。三、课后反思对于高三的复习课，要重视运算基本功，复习要做到“低起点”“小跨度”落实基础。这节课的设计思想是要落实基本方法，回顾整个教学过程，在例1不变式训练中，学生接受有一定的困难，仍需强调、练习。另外，在复习f(a+x)=f(a-x)时，可以说明如a=0，即f(0+x)