偶然误差的统计分析李要点

1、学号2008060105密级 *学院本科毕业论文偶然误差的统计分析学院名称. *学院专业名称：物理学学生姓名7：*指导教J帀： *讲师二O一二年三月BACHELORS DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYStatistical an alysis of ran domerrorCollege:*Subject:HpysicsName:LiDirected by :Zh LectureJune 2012郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学 位论

2、文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做 出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产 权归属于培养单位。本人签名： 日期：摘要当对同一物理量进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值， 每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个误差出现后， 不能预定下一个误差的大小和方向， 这种误差称为为偶然误差。虽然单个测量值 的误差我们无法确定，但就误差的总体而言却具有统计规律。本文通过单摆测当 地的重力加速度的实验，通过该实验所测得得实验数据用统计方法来研究偶然误 差的分布规律，加深对偶然误差的研究和认识。（为了研究的方便，

3、在本研究中我们只考虑偶然误差）关键字：偶然误差单摆实验 重力加速度实验数据统计规律AbstractWhen the same physical quantity to be many ,precision when repeated measureme nts, obta ined a series of differe nt measureme nt values. Each measureme nt error ,the error was not determined by the law, namely before an error appears, cannot be schedu

4、led n ext error magn itude and directi on, this error is called for accide ntal error. Although the in dividual measuri ng value error we cannot be ide ntified ,but the overall error has statical regularity. Through measuring the local acceleration of gravity pen dulum experime nt, through the exper

5、ime ntal short experime ntal data using statistical methods to study the distribution law of accidental error, to deepen the research and understanding of accidental error.(For the convenience of research, in this study we con sider only accide ntal error.Keyword: random error, simple pendulum exper

6、iment, acceleration of gravity, experimental data, statistical regularity第1章实验材料与方法的选择 11.1实验装置 11.2实验原理 错误！未定义书签。1.3偶然误差的统计分布规 错误！未定义书签。1.4实验内容 3第2章实验数据记录 4第3章实验数据分析 83.1求重力加速度 83.2偶然误差的分析 13第4章结论 16参考文献 17致谢 18第 1 章 引言 一个物理量的测量，只有包括误差在内的数据才有参考价值，误差的大小 直接反应了该物理量的可信程度。 还可以帮助我们找到提高实验质量的方法， 并 指导我们对实验做

7、进一步的改进。偶然误差是由很多未能掌握的或不便掌握的微小因素所构成的， 主要有以下 几个方面：（ 1） 测量装置方面的因素 各装置配合的不稳定性、装置的变形、装置表 面油膜不均匀、摩擦等。（ 2） 环境方面的因素 湿度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强 度变化、空气阻力及空气流动的变化、灰尘以及电磁场变化等。（ 3） 人员方面的因素 实验中操作及读数的不准确等。 因此，在单摆实验中选材和实验环境是非常重要的。1第2章偶然误差的统计分析2.1偶然误差及统计分析的概念2.1.1偶然误差对同一物理量进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值，每 个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确

8、定的规律，即前一个误差出现后， 不能预定下一个误差的大小和方向，这种误差称为为偶然误差。2.1.2统计分析统计分析是指运用统计方法及与分析对象有关的知识，从定量与定性的结合上进行的研究活动。它是继统计设计、统计调查、统计整理之后的一项十分重要 的工作，是在前几个阶段工作的基础上通过分析从而达到对研究对象更为深刻的 认识。它又是在一定的选题下，集分析方案的设计、资料的搜集和整理而展开的 研究活动。系统、完善的资料是统计分析的必要条件。运用统计方法、定量与定性的结合是统计分析的重要特征。2.2实验原理及内容2.2.1实验装置实验主要装置如图1所示。单摆 装置的调节：立柱铅直，以摆球为重锤 调节底座

9、的水平螺丝，使摆线与立柱平 行。调节摆幅测量尺高度与镜面位置， 摆幅标尺高度应使尺的上弧边中点与 顶端悬线夹下平面间的距离为 50cm， 标尺面平面应垂直于顶端悬线夹的前 伸部分，因标尺上平面应与标尺平行， 镜面上指标线如不在仪器的对称中心 线上时，可在镜框中稍微左右移动镜片 位置，以达到处于中心位置为止。222实验原理设秒表启动和停止引起的计时误差为 -：t ,如果直接测量周期T （来回摆动一 次的时间），则周期的测量误差为 -;如果根据摆动周期的等时性，测量来回摆T动n次时间t，t = nT ,秒表启动和停止引起的计时误差仍为.：t，测量误差变为-，当n较大时，1，从而提高了测量周期的精确

10、度，n愈大，测量的nTnT T精确度愈高。这种方法称为积累放大法。把摆球拴在细线下端，如果细线的质量比小球小很多，而球的直径又比细线 的长度小很多，则可看做是一个不计质量的细线系住一个质点。将悬挂的摆球自平衡位置拉至一边（很小距离）然后释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性 摆动。摆球所受的力f是重力P和绳子张力的合力，指向平衡位置。当摆角很小时(221)（二5。），圆弧可以近似看成直线，合力f也可以近似地看做沿着这一直线沿摆 长为L,摆球位移为x，质量为m，则f = Psin - -mg = -m xL L由 f =ma，可知：a - - gxL单摆在摆角很小时的运动，近似地为谐振动，式中负

11、号表示与位移方向相反。比较谐振动公式:可得于是单摆周期为(222)2(223)t2=( )Lg般做单摆实验时，采用某一固定摆长（2.2.4）L （悬点到摆球球心的距离），尽可22能精密地多次测量周期T带入式（2.2.4），即可求得重力加速度g 设一系列测得值为xi，平均值为X（用平均值代替真值），则测量中的偶然误差g 为(225)根据贝塞尔公式:s =(2.2.6)图可以计算出被测值的标准偏差。测量的很多数据在物理量的测量过程中，由于测量仪器、 实验方法、环境状态及观测者等方面存在某些 不理想的情况，这些都会给测量结果带来误差 这些误差分为系统误差和偶然误差。系统误差 可以尽量在测量过程中设法

12、消除，或者在测量 结果中予以修正；偶然误差则必须给以估算。 一个物理量的测量，必须包括误差估算在内的 不确定数据才有参考价值。不确定度的大小直 接反应了该物理量的可信赖程度。因此，我们 在进行物理实验以前，弄清楚误差和不确定度 的意义并学会其计算方法是非常必要的。本实 验可了解偶然误差的统计分析规律及偶然误差 的估算方法。由误差的理论知识可以知道对一个物理量只进行一次测量，偶然误差的出现没有任何规律性，其大小和正负都是不能预知的。但对一个物理量进行足够多 次的测量则会发现他们的偶然误差是按一定的统计规律分布的。即正方向和负方向误差出现的次数大致相等，数值较小的误差出现的次数较多，很大的误差在没

13、 有错误的情况下通常不出现。这一规律在测量次数越多是表现的越明显， 这被称 为正态分布规律。222实验内容在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改 变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。此实验是研究偶然误差的规律性， 要求系统误差尽量小，因而对每次测量都要认真，不要人为的有意选择数据。时间测量误差受两个因素影响。一是表的分辨值。机械秒表的分辨值为0. 1 秒。电子秒表的分辨值为0. 01秒。后者比前者可以多读一位有效数字.另一因 素是人按表动作产生的误差。统计表明因为一次计时两个按表动作将产生0. 2秒的误差，这个误差远比两种秒表由于自身分辨值不同所产生的误差大许多

14、，所以选择电子秒表时减少时间测量的相对误差不起作用。 欲提高时间测量精度应排 除由于个人按表动作产生的误差，选用光电门控制的数字计时器，并对显示位数 加以选择。可以减少计时误差。本实验用电子秒表测量单摆的周期， 当摆长不变，摆角保持一定时，摆角的 周期是一个恒量，实验中以摆角经过平衡位置是作为计时的起停点， 按动秒表来 记录摆动的周期T，重复测量多次。根据测量结果，计算平均值，标准偏差S,和 极限误差3 St，并将统计测量值落在T+St和T+3St范围内的概率，做偶然误差 分布的统计直方图。步骤：(1) 安装和调整单摆装置，了解各个装置的使用方法和功能。(2) 测量摆长L。摆长L为摆线支点与摆

15、球质心之间的距离 L =丨丄d,用2 钢卷尺测量丨的长度，用游标卡尺测摆球的直径d。(3) 让单摆作小角度(二摆动，用电子秒表测摆动30次所需要的时50t30间t30，重复测量50次，记录数据，求出平均值T,T 丄30 50(4) 为了更好的显示出偶然误差的规律将实验做进一步改进，摆长不变，让单摆作小角度(二5 摆动，用周期测定仪测摆动 30次所需的时间tao，重 复测量80次，记录数据。(5) 摆长不变，让单摆作大角度(二5 :J摆动，摆动30次所需要的时间tao，10 t30 重复测量10次，记录数据，求出平均值T,=&一30心02.3实验数据记录实验中摆线丨=116.50cm，小球直径d

16、 =1 . 6c6m 贝U摆长1L 二 l=d124.80cm。2：5 :时，用电子秒表测得的50组数据如表1:表1nt(s)T(s)aT165.292.17633-0.00437265.232.17433-0.00237365.122.170670.001293465.212.17367-0.00171565.102.170000.00196665.022.167330.004627765.172.17233-0.00037865.202.17333-0.00137965.082.169330.0026271065.242.17467-0.002711165.302.17667-0.0047

17、11265.272.17567-0.003711365.112.170330.0016271465.152.171670.0002931565.102.170000.001961665.202.17333-0.001371765.202.17333-0.001371865.372.17900-0.007041965.192.17300-0.001042065.112.170330.0016272165.092.169670.0022932265.302.17667-0.004712365.142.171330.0006272465.272.17567-0.003712565.152.17167

18、0.0002932665.152.171670.0002932765.112.170330.0016272865.082.169330.0026272965.172.17233-0.000373065.132.171000.000963165.072.169000.002963265.122.170670.0012933365.142.171330.0006273465.112.170330.0016273565.042.168000.003963665.092.169670.0022933765.132.171000.000963865.172.17233-0.000373965.112.1

19、70330.0016274065.162.17200-4E-054165.152.171670.0002934265.042.168000.003964365.212.17367-0.001714465.112.170330.0016274565.152.171670.0002934665.102.170000.001964765.202.17333-0.001374865.192.17300-0.001044965.222.17400-0.002045065.182.17267-0.0007150t30时间的算术平均值即平均周期 二亠 =2.17196s30 汉 50二-5 :时，用周期测定

20、仪测得的50组数据如表2:表2nt(s)T(s)CTT165.052.1683330.000563265.072.169-0.0001365.072.169-0.0001465.062.1686670.000229565.062.1686670.000229665.062.1686670.000229765.072.169-0.0001865.062.1686670.000229965.072.169-0.00011065.052.1683330.0005631165.082.169333-0.000441265.062.1686670.0002291365.062.1686670.00022

21、91465.072.169-0.00011565.082.169333-0.000441665.082.169333-0.000441765.072.169-0.00011865.062.1686670.0002291965.062.1686670.0002292065.052.1683330.0005632165.092.169667-0.000772265.072.169-0.00012365.072.169-0.00012465.062.1686670.0002292565.052.1683330.0005632665.082.169333-0.000442765.072.169-0.0

22、0012865.072.169-0.00012965.062.1686670.0002293065.072.169-0.00013165.072.169-0.00013265.082.169333-0.000443365.082.169333-0.000443465.072.169-0.00013565.072.169-0.00013665.082.169333-0.000443765.082.169333-0.000443865.062.1686670.0002293965.062.1686670.0002294065.072.169-0.00014165.082.169333-0.0004

23、44265.082.169333-0.000444365.072.169-0.00014465.052.1683330.0005634565.082.169333-0.000444665.072.169-0.00014765.062.1686670.0002294865.072.169-0.00014965.062.1686670.0002295065.072.169-0.00015165.072.169-0.00015265.062.1686670.0002295365.072.169-0.00015465.062.1686670.0002295565.072.169-0.00015665.

24、082.169333-0.000445765.052.1683330.0005635865.082.169333-0.000445965.072.169-0.00016065.082.169333-0.000446165.062.1686670.0002296265.072.169-0.00016365.082.169333-0.000446465.082.169333-0.000446565.072.169-0.00016665.072.169-0.00016765.062.1686670.0002296865.062.1686670.0002296965.052.1683330.00056

25、37065.052.1683330.0005637165.082.169333-0.000447265.052.1683330.0005637365.072.169-0.00017465.062.1686670.0002297565.072.169-0.00017665.062.1686670.0002297765.072.169-0.00017865.052.1683330.0005637965.062.1686670.0002298065.052.1683330.00056350时间的算术平均值即平均周期 二4=2.168896s。30 汉 50二5 :时，用周期测定仪测得的10组数据如表

26、3:表3nt(s)T(s)CTT165.132.1710000.0002265.152.171667-0.00047365.132.1710000.0002465.142.171333-0.00013565.132.1710000.0002665.152.171667-0.00047765.132.1710000.0002865.142.171333-0.00013965.132.1710000.00021065.152.171667-0.0004710二.t30时间的算术平均值即平均周期 二上=2.17120$。30S02.4实验数据分析2.4.1偶然误差的分析501 t30(1) 求表1中

27、时间的算术平均值即平均周期二亠=2.17196s。根据式30 汇 50(2.2.5)计算得出二T的值，填入表1。并根据二T的值画出二T 一 n折线图差误然偶0.0060.0040.0020-0.002-0.004-0.006-0.008n(2)为了便于与表1中的数据进行比较，取表2中的前50组数据进行计算 表4nt(s)T(s)CJT165.052.1683330.000639265.072.169-2.8E-05365.072.169-2.8E-05465.062.1686670.000305565.062.1686670.000305665.062.1686670.000305765.07

28、2.169-2.8E-05865.062.1686670.000305965.072.169-2.8E-051065.052.1683330.0006391165.082.169333-0.000361265.062.1686670.0003051365.062.1686670.0003051465.072.169-2.8E-051565.082.169333-0.000361665.082.169333-0.000361765.072.169-2.8E-051865.062.1686670.0003051965.062.1686670.0003052065.052.1683330.00063

29、92165.092.169667-0.000692265.072.169-2.8E-052365.072.169-2.8E-052465.062.1686670.0003052565.052.1683330.0006392665.082.169333-0.000362765.072.169-2.8E-052865.072.169-2.8E-052965.062.1686670.0003053065.072.169-2.8E-053165.072.169-2.8E-053265.082.169333-0.000363365.082.169333-0.000363465.072.169-2.8E-

30、053565.072.169-2.8E-053665.082.169333-0.000363765.082.169333-0.000363865.062.1686670.0003053965.062.1686670.0003054065.072.169-2.8E-054165.082.169333-0.000364265.082.169333-0.000364365.072.169-2.8E-054465.052.1683330.0006394565.082.169333-0.000364665.072.169-2.8E-054765.062.1686670.0003054865.072.16

31、9-2.8E-054965.062.1686670.0003055065.072.169-2.8E-0550二 t30时间的算术平均值即平均周期 二亠 =2.168927s30汉50根据式（2.2.5）计算得出二t的值，填入表2。并根据二t的值画出二T 一 n折线差误然偶0.00080.00060.00040.00020-0.0002-0.0004-0.0006n-0.0008取二=3.14159。周期 T=2.06420s时，根据（4）式得： g 二4 冷=9.794984ms2根据表一中的时间t求得周期T,然后将T带入（4）式，计算出各个g值 填入表一。由表一得：重力加速度的算术平均值g=

32、9.794982m s2。用算术平均值代替真值, 求出重力加速度g的偶然误差飞二g -6.如下表（2）表（2）g(m/s2)右g19.794614-0.0005729.794994-0.0001939.794045-0.0011449.7959430.00076159.793096-0.0020969.7961330.00095179.794804-0.0003889.8199060.02472499.793855-0.00133109.794045-0.00114119.794235-0.00095129.7961330.000951139.7957530.000571149.794614-

33、0.00057159.7953730.000191169.7955630.000381179.794235-0.00095189.7953730.000191199.7957530.000571209.793476-0.00171219.7968920.00171229.7951841.65E-06239.794994-0.00019249.7961330.000951259.793855-0.00133269.7957530.000571279.7955630.000381289.7955630.000381299.794994-0.00019309.794804-0.00038319.79

34、4614-0.00057329.7951840.00000165339.7953730.000191349.7955630.000381359.7993610.004179369.780016-0.01517379.794994-0.00019389.7974620.00228399.790639-0.00455409.792717-0.00247419.7974620.00228429.793476-0.00171439.7997410.004559449.7976520.00247459.789492-0.00569469.790250-0.00493479.8010700.0058884

35、89.789302-0.00588499.791009-0.00417509.7980310.002849根据贝塞尔公式:5050 n(5)可以计算出时间t的标准误差。50 nJ 1010 50| 2 2 2 2 2(0.00057)(0.00019)(0.00114) 川(0.00417)(0.002849)q50 汉 50=0.000663817由此可得：g =（9.794984 _ 0.000663817） m.S22.4.2偶然误差的分析时间的算术平均值T=2.06420s。用算术平均值代替真值，求出时间t的偶然 误差匚T =T -T .如下表（3）。表（3）t(s)Ta1103.21

36、32.064260.000062103.2112.064220.000023103.2162.064320.000124103.2062.06412-0.000085103.2212.064420.000226103.2052.0641-0.00017103.2122.064240.000048103.082.0616-0.00269103.2172.064340.0001410103.2162.064320.0001211103.2152.06430.000112103.2052.0641-0.000113103.2072.06414-0.0000614103.2132.064260.000

37、0615103.2092.06418-0.0000216103.2082.06416-0.0000417103.2152.06430.000118103.2092.06418-0.0000219103.2072.06414-0.0000620103.2192.064380.0001821103.2012.06402-0.0001822103.2102.0642023103.2112.064220.0000224103.2052.0641-0.000125103.2172.064340.0001426103.2072.06414-0.0000627103.2082.06416-0.0000428

38、103.2082.06416-0.0000429103.2112.064220.0000230103.2122.064240.0000431103.2132.064260.0000632103.2102.0642033103.2092.06418-0.0000234103.2082.06416-0.0000435103.1882.06376-0.0004436103.2902.06580.001637103.2112.064220.0000238103.1982.06396-0.0002439103.2342.064680.0004840103.2232.064460.0002641103.1982.06396-0.0002442103.2192.064380.0001843103.1862.06372-0.0004844103.1972.06394-0.0002645103