高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

1、二百角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平而叫 做二面角的而，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角 的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S-AM-B中半平而ABM上的一己知点 （B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平而ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF）,这两 条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平而角.再在该平而角内建立一个可解三角形，然后借助直角三 角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥S - 中，底面A8C。为矩形，SD_L

2、底面488, AD = 23C = SO = 2,点 M 在侧棱SC上，ZABM=6Q°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二而角S AM-3的大小。证（I）略解（II）：利用二而角的定义，在等边三角形A8W中过点8作8AM交AW于点尸，则点尸为AM的中点，过F点在平面ASM内作GF_LAA/, GF交AS于G,连结 AC, VAADCAADSt，AS-AC,且 M 是 SC 的中点，A AM ± SC, GF±AM,，GFAS,又 YQ 为 AM 的中点，,.GF是AAMS的中位线，点G是AS的中点。则NGF8即为所求二而角.= 则G/ =丑， 2又,SA

3、= AC =遥，AM = 2, AM = A3=2,=角形，cosZBFG =GF2 +FB2 -BG22GF-FBV62xxM #2BF = 6 。在GAB中，AG =, AB = 2, NGA8 = 90°, 2.,二面角S AM - 8的大小为arccos（-坐） 练习1如图，已知四棱锥P-A8CD,底而48CD为菱形，%L平而488, ZABC = 60°,E, F分别是8&PC的中点.（I ）证明：AE±PD;（IT）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为求二面角£41C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AEJ_

4、AD后推出AEL平面APD, 使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运 用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为坐）二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直.通常当点P在一个半平而上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二而角B-FC（-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平而FC】C的垂线，得垂足0：再过该垂足0作棱FJ的垂线，得垂足P,连结起点与

5、终点得 斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线B0、射影0P）。再解直角三角形求二面角的 度数。例2.如图，在直四棱柱ABCD-A|BCD中，底而ABCD为等腰梯形，AB 1 . 1 1 1 1 一, ob = 6 f】fy=等 CC, CFOP= -Lx2 = -V？TF 2BP = J； + 3 =呼OP cos /OPB =BPV22_ ""B2 _2y/5练习2如图，在四棱锥夕 ABC。中，底面A8CD是矩形.已知 AB = 3, AD = 2, PA = 2,PD = 2叵、4PAB =60°.（I ）证明A。J_平而248；（H）求异

6、而直线PC与AO所成的角的大小：（IH）求二面角夕一8。一4的大小.分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明ADJ_平面PAB后，容易发现平面PAB,平 面ABCD,点P就是二而角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角P 30-A的大/9 小为 arctan )4三.补梭法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二 面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称 为补棱）.然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平而没有 明确的交线时，

7、一般用补棱法解决例3如图所示，四棱锥P-ABCD的底而八8CD是边长为1的菱形，ZBCD=60° , E 是 8 的中点，%_1_底而 488, PA = 2.（I ）证明：平而P8E_L平而%8;（II）求平而力。和平而P8E所成二而角（锐角）的大小.分析：本题的平面力。和平面P8E没有明确的交线，依本法显然要 补充完整（延长AD、8E相交于点F,连结PF.）再在完整图形中的 PF上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（I ）证略 解：（II）延长AD、8E相交于点F,连结PF.过点4作4HLp8于"，由（I ）知平面P8E,平面外8,所以AHL平面PBE.在 RtA4

8、8F 中，因为N84F=60° ,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt以中，取PF的中点G,连接AG.则4GJ_PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得，PFJ_HG.所以乙4GH是平面PAD和平面P8E所成二面角的平而 角（锐角）.在等腰 RtZ%F 中，AG = PA = y/2. 2AP.AB AP.AB" PB y)AP2+AB2sin ZAGH =AG2y/5572故平面力。和平而P8E所成二面角（锐角）的大小是arcsin练习3己知斜三棱柱ABC-AxBxG的棱长都是a,侧棱与底而 成60。的角，侧面BCJB底面ABC。（1）求证：ACilBC；（2）求平而A

9、B】J与平面ABC所成的二而角（锐角）的大小.提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为45。）四、射影面积法（COS9 =凡二而角的图形中含有可求原图形而积和该图形在另一个半平而上的射影图形而积的都可利用射影面积公式（cos6 = ±±）求出二而角的大小。s斜例 4.如图，在三棱锥PA3C中，AC = BC = 2, ZACB = 90 ,ap=bp=ab, pc±ac.（I ）求证：PC-LAB,）（H）求二面角8 C的大小；分析：本题要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平而ACP中建立一对原图形与射

10、影图形并分别求出S明与S财于是得到下面解法。解：（I）证略（n> VAC = BC, AP = BP, :./APCABPC.又尸C_LAC, .尸C_L8C.又ZAC8 = 90'，即 ACJL8C,且 ACC1PC = C,.3C_L平面尸AC.取AP中点E.连结BE, CE.：AB = BP, :.BE工AP. EC是8石在平面PAC内的射影，:.CELAP.：.AACE是4ABE在平而ACP内的射影,于是可求得： AB=BP=AP = y/AC2 +CB2 =272, BE = ylAB2-AE2 =, AE = EC = V2则 5射=SMCE = ； AE* CE =

11、；叵收=1,s 双=SMBE =gAEEB = ；E 、底=6设二面角8 APC的大小为S,则cosS =s射_ _J_ _正S 原 V3 3二面角的大小为S = arccosV3VA图5练习4：如图5, E为正方体ABCD - AiBiCiDi的棱CJ的中点，求平面ABiE和底面A小工JDi所成锐角的余弦值.分析 平面ABtE与底而AjB】C】D】交线即二而角的棱没有给出，要找到二而角的平面角，则必须先作 两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB】E在平面A】B】C1D上的射影是三角形 从而求得两个三角形的面积即可求得二而角的大小。2（答案：所求二面角的余弦值为cos 0=士

12、）.3五、向量法*向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量 法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线 段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。由AM =(III)解:设平面CDE的法向量为, = (x, y, z)，则it CE = 0,a DE = 0.例 4 ： 如图， 在五而体 ABCDEF 中， FA _L 平面 ABCD,1/ 11 AD ± - ± A AB = U B(1,O,O> C(1,1,O> D(0,2,0>F(O,O,1>

13、M -,b-.解:乐=(一1,0,1)2122，DE =(O,-L1> 于是c。4砺= BF DE = ()y() = I BF DE 60° ( II )证明：E = (-1,0,1) AD =(0,2,0> nJf|CEeAM=0.CEAD = 0,因此，CE ± AM, CE J. AD.又AMpAD = A,故CE1.平面AMD.而CEu平面CDE,所以平面AMD J_平面CDE.于是+z = 0,令“L可得 =(u,d.-y + z = 0.又由题设，平而AC。的一个法向量为u = (0,0,1).练习5、如图，在直三棱柱ABC 44G中，平面A8C_L侧而(I )求证：AB-LBCi(H)若直线AC与平面ABC所成的角为氏二而角ABC A的A 大小为。，试判断8与。的大小关系，并予以证明.、 比 、分析：由已知条件可知：平而ABBiAiL