空间几何体表面积与体积公式大全

1、棱柱圆柱J空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全（表）面积（含侧面积）1、 柱体2、 锥体棱锥：S梭惟侧=；盘。'圆锥5喇广;。底/-3、 台体 棱台：S梭台侧= 5（c匕底+c卜底），、 圆台：S枝台蒯=；（c I,底+。下底）/ 一 4、 球体球：S球=4）球冠：略 /7V球缺:略二、体积1、 柱体棱柱' VSh圆柱J _2、 锥体棱锥. V = -Sha 5全=3上+5侧+5下SS圆锥J _ 3 _3、台体棱台I 匕尸多（5上+初上5卜+5卜）圆台JV圆台=*（丹+6 八十八）4、 球体球：V球=*尸球冠：略球缺:略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高力计算;而

2、圆锥、圆台的侧 面积计算时使用母线/计算。三、拓展提高1、 祖胞原理：（祖啮:祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面 面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、 阿基米德原理:（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的分析：圆柱体积:卜盟柱=S h =（%，）x2r = 2乃，圆柱侧面积:S = C h =（2"）x2r = 4万,因此:球体体积:乙=<2%，=为，球体表面积:5域=44，通

3、过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）A即底而直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体 积之和3、 台体体积公式公式：V台= 3（S上+ "区面+ S证明：如图过台体的上下两底而中心连线的纵切而为梯形A8CD。延长两侧棱相交于一点尸。设台体上底面积为SI，下底面积为S卜 高为。易知:APDC s APA3,设 PE =，则九十 /l由相似三角形的性质得:色="AB PF即:埋=丁库（相似比等于面积比的算术平方根） 屈hh整理得:九=一2/二Js下-西7又因为台体的体积=大锥体体积一小锥体体积L=：S卜力+力）Ts/ = /i（SSP+；Sf/z代

4、入：心量治得以=；舟不（Ss,"s&即:丫台4反力（、&+、瓦）+白卜力=,（S上+、X+Sf）乙=20+、区区+ 5卜）4、 球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（几层）/越大，每一层越近似于圆柱,一钙时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为J则: n每个圆柱的体积匕=S6=乃/:半球的体积等于这些圆柱的体积之和。r； = r -（-r） =r2I1-（-）lnn2 2 /I ： 、Jiri = r -（r） =r U-（） nn、2 ；2 2ri = r -（r） =r 口-（一）1 nn，/T ： ，r Yr） =r 口一（） 1，半球体

5、积为：v半球=z匕=%x，(片+ /+.+力 = -xr2«xl-(£) +,() +.+ (2_1)“n n n3 o+ r+2+一+(h1)-r 1nn3_一n(一1)(2"1)6n(n - l)n(2n -1),l = r i- n(1-1)(2-1)_ " 3"n i一 乃r11 Jo当 n > +oo 时，口 - 0n(l-i)(2-l)球=江一 一 6 " 1 =乃L(1若)=§乃r，球体积为：/球=*,5、球体表面积公式推导 分析:球体可以切割成若干(个)近似棱锥，当时，这些棱锥的高为球体半径，底面积为球

6、面面积的彳，则每一个棱锥的体积球厂，则所 有的小棱锥体积之和为球体体积。即有:6、正六面体(正方体)与正四面体SLL(1)体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后,剩下的部分为正四面体 设正方体棱长为， 则其体积为:乙方体="四个角上切下的每一个三棱锥体积为:V三梭锥=：S h =gxg)XQ =ga中间剩下的正四面体的体积为：V正三技推=3sh =|x|x(V26Z)xsin60°x(V2a)-(|-xxV3)(3)正方体的内切球与正四面体的关系这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体即：ax4+a=a(2)外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。(理由:

7、过不共面的四 点确定一个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它 们共球。回顾：两点定线三点定面 三点定圆四点定球如图：(a )正方体的体对角线=球直径 (b)正四面体的外接球半径=高 4(C)正四面体的棱长二正方体棱长X 72(d)正方体体积：正四面体体积=3： 1(e)正方体外接球半径与正四而体外接球半径相等(a)正方体内切球直径=正方体棱长(b)正方体内切球与正四面体的四条棱相切。(c)与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半(d)设正四面体棱长为，则与其棱都相切的球半径为八右 1 a 及 有：幸7、 利用祖啮原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相

8、等，根据祖晒原理可得两物体 体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是的圆柱内挖去一个与圆柱等底等 高的圆锥。如图：在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截而上作研究，设圆柱和半球底而半径 均为H ,截面高度均为万，倒圆锥的截面半径为小，半球截面半径为八爪 则：挖去圆锥后的组合体的截面为:-万高半球截面面积为:S：=乃只倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得：r：!；1 = h 在半球内，由勾股定理易得：小/即：SlS?，也就是说:半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的 截面。由祖唾原理可得:u =所以半球体积：V = sh-sh = sh = xRxR即,球体体积：H求= 2x9*

9、 = %*8、 正方体与球(1)正方体的内切球正方体的棱长=球体的直V正方体=ci丫正方体：V球=6:1(2)正方体的外接球正方体的体对角线=球体的直径T 743V球Vf.r V正方体=退"：2(3)规律：正方体的内切球与外接球的球心为同一点；正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：1：6正四面体内切球与外接球体积之比为：1:3g正四面体内切球与外接球表面积之比为:1: 3正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：73:2： 1正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：3超冗：6：冗正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：3%:6:万

10、9、 正四面体与球(1)正四面体的内切球A解题关键:利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相 等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分 成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四面体 的底面，高为内切球的半径厂。利用体积关系得：4x(-x- sin60°xr)=-x(-/2sin600)x3 23 2所以:厂=；力，其中为正四面体的高。由相关计算得: =- gx(；ax Q)=当1 r =工力=五pn. T 7 _43 _ 4,/6_ 屈 3即球=丁(1y)=酝乃OX LT7 _ 1 1 2 . 0。、石_V2 3V正四面体= 3X5 sin60 X4/ =-4ZVa泗机体：V球=

11、18 ： 6冗(2 )正四面体的外接球外接球的半径=(3)规律:正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高;正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1： 3正四面体内切球与外接球体积之比为:1: 2 7正四面体内切球与外接球表面积之比为：1 ： 9正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：3而:12:、用正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：276%：18：6乃正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：9乃:6五"10、 圆柱与球圆柱高=底而直径=球的直径球体体积=:圆柱体积球而而积二圆柱侧而

12、积(1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球体半径为H,圆柱高为人，底面半径为厂则有：(27?)2 = /z2+(2r)2 即：氏="二士 四、方法总结下面举例说明立体几何的学习方法例:已知正四面体的棱长为,求它的内切球和外接球的半径思路：先分析球心的位置。因为正四而体是特殊的四面体，显然内切球与外 接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特殊 的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每一个 面，且到每一个面的距离相等;在外接球这种情况下，球心到每个顶点的距 离相等。方法1:展平分析:（最重要的方

13、法）如图:取立体图形中的关键平面图形进行分析！在平面AED中，由相似知识可得:EOi _EG_1ODGA2GO/AD 且GO-1AD 3AAGOOADOA AO 3连接DO并延长交平面A B C于点Q连接GQ, 连接DQ并延长交BC于点E,贝IjA、G、： B333即:AO = jx, =jx1屈屈xa =a4312V外接球=%xDO'=二：乃。' 3oT7 4八八 3 V6 3V内切球=丞乃a 方法2：体积分析：（最灵活的方法）如图:设正四面体AB CD的内切球球心为O,连接AO、BO、CO、DO,则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。 设内切球半径为厂，正四面体的棱长为。则

14、：4个完全一样的三棱锥体积=正四而体体积则正面四体的高为:6=a2-（M也a）邛“ 有：4x；x(；Q'sin60°)x r = ；x(；Q-sin600)xV6a121 、7_ 43 _ a/632 V内切球=可万尸=31?乃aTZ 4 f1 、3 4 ZV6 灰、R 3V 外接球=g 乃(6r) =5(tz) =,a方法3：方程分析：（最常见的做法）ACD如图:显然A 0、DO是外接球半径,0Q是内切球半径。在RtZiDOOi中,由勾股写得可得以下方程：DO =OO DOZDO + DO = A。1="=”其中：DO,代入方程解得：DO = a、00, = TZ

15、 43 yf6V外接球= ,xDO =彳4QTZ 4 八八 3y6V内切球=丞乃a方法4：补形分析(最巧妙的思考)把正四面体补成正方体进行分析。如图:此时,正四而体与正方体有共同的外接球正四面体的棱长为。，则正方体棱长为正方体的外接球直径为其体对角线正四面体的外接球半径为乌邛内切球半径为：2匕=名_4_3_ V6 3V外接球= 14x1?=飞兀aT7 43 屈 3V内切球=§4广=2l6a方法5：坐标分析(最意外的解法)建立如图所示的空间直角坐标系：则 A (0, 0, a) ,B(0, -a, 0),3c (L,%0),D (/a, q,0)，设球心位置为O(X,y,z,) 262

16、6由 IOAH OBH OCI=I od i=/?W：OA =OB =OC =OD即:六声（修）3（广当0 +zW j +（f） +z，(1 ； z V6 ； 2= (X+-4/) +(y-4/) +Z解得：x = y = O, Z = *a，即：，=萍小邛°一暂邛a S _4八3_ V6V外接球一飞'九aT7 _43 _ <63V内切球=m汗r = 216主要方法:一、统一思想1、 公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能公 式全部适用于所有形体，但是这只是一个理想状况，实际上不可能, 最多只可能适用于一部分而已。即使是这样，也只减小我们对公式

17、 的记忆难度,增强学习的灵活性。（1）梯形的面积公式：S =；（4 +。）力,同样适用于三角形、平行四边 形、长方形、正方形、扇形的面积计算。只是在使用时作微调 而已。在分析三角形时，上底变为0;分析长方形、正方形、平 行四边形时，上下底变成一样；在分析扇形时，上底变为0,下底 变成弧长，高为半径。（2）台体的侧面积公式：Sn = ；（C+C）/2,同样适用于圆柱、棱柱、 圆锥、棱锥、球的侧面积计算。只是在使用时作微调而已。在 分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时，上底 周长变为0；在分析圆锥时，上底周长变为。，斜高变成母线; 在分析球体的面积时，上下底都取最大圆的周长，高取直径

18、，即: S球=（2加. + 2加.）2r = 4%/2（3）台体的体积公式：Sf + S M ,同样适用于圆 柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只是在使用时作微调 而己。在分析圆柱、棱柱时，上下底面积变成一样；在分析棱锥 时,上底面积变为0；在分析圆锥时，上底面积变为0 ;在分析球 体的体积时，上底面积取0,下底取最大圆面积的2倍，高取直 径，即：§球=；（2%尸）2r =：江厂2、 字母的统一在进行分析时，一般要把字母统一，这样便于进行比较！3、 关系的统一注意相似的关系:面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比 的立方。球体、正方体、正多面体相似！二、转换思想1、 平面与立体的转换这是立体几何的一种重要思想，即把立体的问题交给平面来解 决。但是要在特殊的面中进行，有时还要把面与面的关系交给线 与线来分析。如二面角的大小研究,通常会作垂直于两面的交线 的直线来分析。异面直线的有关系也要平移到同一