高中数学函数的单调性

1、第三节函数的单调性【热点聚焦】函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。【基础知识】1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函

2、数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3.讨论复合函数单调性的根据：设y=f（u），u=g（x），xa，b，um，n都是单调函数，则y=fg（x）在a，b上也是单调函数.（1）若y=f（u）是

3、m，n上的增函数，则y=fg（x）与u=g（x）的增减性相同；（2）若y=f（u）是m，n上的减函数，则y=fg（x）的增减性与u=g（x）的增减性相反.【课前训练】1( 2006年湖南卷）“a=1”是“函数在区间1, +)上为增函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2（2006年陕西卷）已知函数若则（）A. B. C. D.与的大小不能确定3（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（） A B C D 4如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实

4、数a的取值范围是_.5有下列几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.【例题精析】【例1】如果二次函数f（x）=x2（a1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.【剖析】由于f（2）=22（a1）×2+5=2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=2a+11的值域，当然就应先求其定义域.【例2】（2004年广东，19）设函数f（x）=|1|（x0），证明：当0ab，且f（a）

5、=f（b）时，ab1.【剖析一】f（a）=f（b）|1|=|1|（1）2=（1）22ab=a+b2ab1.【剖析二】f（x）=【评注】证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.【例3】求函数y=x+的单调区间.【剖析】求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）f（x1）的正负.【评述】解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+

6、）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.【例4】定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2xx2）1，求x的取值范围.【评述】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.【例5】（2006年上海春卷）

7、设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.【例6】（2006年江苏卷）设a为实数，记函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)（）试求满足的所有实数a【点评】本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力【针对训练】1下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y=x+1 B.y=C.y=x24x+5D.y= 2（2004年湖北）函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最

8、大值与最小值的和为a，则a的值为( )A. B. C.2 D.43（2003北京春，文8）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2x）的递增区间依次是（ ）A.（，0，（，1 B.（，0，1，+C.0，+，（，1 D.0，+），1，+）4已知函数，如果，那么（）A在区间（2,0）上是增函数B在区间（0,2）上是增函数C在区间（1,0）上是增函数D在区间（0,1）上是增函数5（2006年北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是 ()A. B. C. D.6（2006年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4xx2）的递增区间是_

9、.7函数y=loga（2ax）在0，1上是减函数，则a的取值范围是。8设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递增；若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递增；若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递减；若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递减.其中，正确的命题是9（2006年重庆市高三毕业班诊断性试题）已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减

10、函数，求实数a的取值范围.10（2005年北京西城区模拟题）设aR，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数.（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当1a0时，求f（x）在1，2上的最小值.第三节参考答案【课前训练】1A 2A3D4答案：a3解析：对称轴x=1a，由1a4，得a3.5答案：解析：函数y=2x2+x+1在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（

11、b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的. 【例题精析】【例1】解二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是，解之得a2，故f（2）2×2+11=7，即f（2）7【例2】证明：f（x）在（0，1上是减函数，在（1，+）上是增函数.由0ab且f（a）= f（b），得0a1b且1=1，即+=2a+b=2ab2ab1.【例3】解：首先确定定义域：x|x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x2）f（x1）=x2+x1=（x

12、2x1）+=（x2x1）（1），要确定此式的正负只要确定1的正负即可.这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将（0，+）分为（0，1）与（1，+）（这是本题的关键）.（1）当x1、x2（0，1）时，10，f（x2）f（x1）0，为减函数.（2）当x1、x2（1，+）时，10，f（x2）f（x1）0，为增函数.同理可求（3）当x1、x2（1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是

13、要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.【例4】（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）·f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）·f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）·f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f

14、（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.【例5】解：（1） （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 由于. （3）解法一 当时，.， . 又， 当，即时，取， . ， 则. 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.【例6】解：（

15、I），要使有意义，必须且，即，且 的取值范围是。由得：，。（II）由题意知即为函数，的最大值，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，若即时，若即时，。综上所述，有=。（III）当时，； 当时，故当时，；当时，由知：，故；当时，故或，从而有或，要使，必须有，即，此时，。综上所述，满足的所有实数a为：或。【针对训练】1答案：B2.解析：f（x）是0，1上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=1，2=

16、a1a=.答案：B3. 解析：首先作出函数y=|x|与g（x）=x（2x）=x2+2x=（x1）2+1的图象（如图）利用图象分别确定其单调区间.y=|x|的增区间为0，+,y=x（2x）单调增区间为（,1.选C.（1）（2）评述：该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力以及对问题的转化能力.4解：，令，则函数可看作是由函数与复合而成的。当时，函数是减函数，且当时，函数是增函数，从而是减函数，选C。5C6解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令u=4xx2，则u0，即4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x的对称轴为x=2，且对

17、数的底为21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）7解析：题中隐含a0，2ax在0，1上是减函数.y=logau应为增函数，且u= 2ax在0，1上应恒大于零.1a2.8解析：在共同定义域上任取x1x2，当f（x）是单调递增，则f（x1）f（x2）0，g（x）是单调递减，g（x1）g（x2）0，F（x）f（x）g（x）F（x1）F（x2）=f（x1）f（x2）+g（x2）g（x1）0在共同定义域上是单调递增，同理可得当f（x）是单调递减，g（x）是单调递增时，F（x）=f（x）g（x）是单调递减正确,9解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为

18、Q（x，y），则有x=x，且y=2y.点Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.将x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），设x1、x2（0，2，且x1x2，则g（x1）g（x2）=（x1x2）·0对一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0对一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x24，得a3.10解：（1）由已知（x）=ex（ax2+a+1）+ex·2ax=ex（ax2+2axa1）.因为ex0，以下讨论函数g（x）=ax2+2axa1值的情况：当a=0时，g（x）=10，即（x）0，所以f（x）在R上是减函数.当a0时，g（x）=0的判别式=4a24（a2+a）=4a0，所以g（x）0，即（x）0，所以f（x）在R上是减函数.当a0时，g（x）=0有两个根