高一上学期函数的单调性-奇偶性与周期性知识点和题型

1、(一)函数的单调性14 / 17知识梳理1 .函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意Xi,X2 C D,当x1<x2时，都有f(x1) <f(x2),则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间.当Xi<X2时，都有f(x 1 )> f(X2),则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间.2 .函数单调性的判断方法：(1)从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是 增函数，若图象是下降的， 则此函数是减函数。(2) 一般地，设函数yf(x)的定义域为I .如果对于属于定义域I内某个区间A上的任意两

2、个自变量的值x1,x2，且 x1x2,则 x1 x20f x1f x2UE(1) f x1 - f x20则 0 X x2即f(x)在区间A上是增函数；X1 X2r r f X1f X2r(2) f X1f x2则 0 x1 x2 即f(x)在区间 A上是减函数.x1 x2如果函数y f (x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)的单调性，这一区间叫做yf (x)的单调区间.单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数(3)复合函数单调性判断方法：设 y f u ,u g x ,x a,b

3、 ,u m, n若内外两函数的单调性相同，则y f gx 在x的区间D内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则y f g x 在x的区间D内单调递减.(同增异减)3.常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；若f(x)>0 (或<0)且为增函数，则函数 ,在其定义域内为减函数. f(x)【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间,、2,(3) y ax bx c .k(1) y kx b, (2) y x它是增函如图是定义在区间 5, 5上的函数y=f（x）,根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上, 数还是减函数？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法

4、证明函数y=2x+3在（，）的单调性.解：答：由出章得：讦明：设修产q8i + oo）巧 （ 心22/+ 3_（2工? + 3）=2（叫所以y=2熊+3函数是燧函数综_1所述结论是：4二2工+3在（-是熠窗数.例、判断函数f (x) = x 在(0,1)上的单调性.危)=工-在回D上的单阖递减.Imn 1理由如下：设。<1,则丸m) - Am=(m - n I= (m - n) , 71771 JTH 71由干 fl < m < n < 1 ，则 m 肛 <。,mn < 1 ，即 mn 1 < 0 ,则丸e) - An) )即五m) > 1ff叫

5、则有人均=工十在(仇】)上的年调递减口 第x 2【变式训练1】证明函数f(x) 在(1,)上是增函数.【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。【题型三、单调性的运用】2例、已知f(x) ( k 3k 4)x 2k 1在R上是增函数，则k的取值范围.解答:因为是增函数则-fc2+3Jf+4>0M-3IVQlfc-4Xfr+l)<0答案为*例、函数f(x) x2 2(a 1)x 2在(，4上是减函数，则求a的取值范围.解答：= z2 + 2(口 - 1)+ 2=(h + 口 1) 2 + 2 -(0 一 )2 ,其对称轴为：x=l - a:函数/(加=疗十2(。一 1)七十2

6、 在(00*41上是减函数1 。2 4+ a $ -32【变式训练2】已知函数f(x) x 2ax 2,x5,5上是单调函数，a的取值范围是.【变式训练3】函数f (x)是R上的减函数，求f (a2a+1)与f (二)的大小关系【题型四、抽象函数的单调性及其应用】例、已知y=f(x)是定义在(-2, 2)上的增函数，若 f(m-1) Vf(1-2m),则m的取值范围是.解答：由题意得：m 1 > 2121 2m< 2,解得；-tm 1 < 1 2m*故答案为：(一:()例、设f (x)定义在R+上，对于任意a、bCR+,有f (ab) = f (a) + f (b) 求证：(

7、1) f (1) =0;(2) f (工)=f (x)； x(3)若xC (1, +8)时，f (x) v 0,则f (x)在(1, +川上是减函数.解答：证明；C)由题意知，任意人 院区_,有犬由=六力十加 令n =1代入上式香二丸1) +/ ,= 2/(1), "(1) = 0.(2)令口 =工2 H+i b =1 代入/(血)=口)一汽财 工得 JU) = */ + /(：),，'/工。一丹工2)< 0,即,5在亿+8)上果减函数0【题型五、复合函数的单调性】例、求函数f(x) Vx2 2x 3的单调递减区间。解答:令t = a? + 2:r 3 .对于函数9=

8、丫硬工2二二有”十如一，0,解可得工冬-3或工八 即其定义域为-W或工云1 又由二欠函数的性质,可得当工茎-3时d = /+21- 3为减苗数，当二31时一=炉十红 3为增函数， 即当章3时函数y = v'产+2工1的单调递减:即函数4 = 十以-3的单调递减区间为(-oo,-3| ,求f(x) = v,x2 4x 5的单调区间课后作业：一、选择题1、函数f(x)= |x|和g(x) = x(2x)的递增区间依次是()A. ( 8, 0, (8, 1 B. ( 8, 0, 1,+8)C. 0, +8), (8, 1D. 0, +8), 1,+8)2、当|x| 1时，函数y ax 2a

9、1的值有正也有负，则实数 a的取值范围是()A111A - a B. a 1 C.-1 a D.-1 a 3333、若函数f (x)在区间(a, b)上为增函数，在区间(b, c)上也是增函数，则函数f (x)在区间(a,6上()A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或是减函数 D.无法确定增减性二、填空题 一 一 一 一 24、函数f(x) 2x mx 3 ,当x 2,)时，是增函数，当(,2时是减函数 则f(1)=5、已知 f (x)在定义域内是减函数，且f (x) 0,在其定义域内判断下列函数的单调性: y f (x) a(a为常数)是: y a f(x)(a为常数)是12y 是；y

10、| f (x) |是f(x)6、函数f(x) = ax2+4(a+1)x3在2, 十 递减，则 a的取值范围是_.2x+ 1, x> 1 ,、7、若函数f(x)=则f(x)的递减区间是 .5 x, x<1 ,三、解答题8、讨论函数f(x)x2 2ax 3在(-2,2)内的单调性。9、设f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，f(2)=1 ,且f(xy尸f(x)+f(y),求满足不等式f(x)+f(x-3) w2的x的取值范围.(二)函数的奇偶性知识梳理1、函数奇偶性定义:1、 一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个 X,都有f x f x ,那么就称函数 f x为偶函数.偶函

11、数图象关于 y轴对称.2、 一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个 x,都有f x f x ,那么就称函数f x为奇函数.奇函数图象关于原点对称.如果函数f(x)不具有上述，f质，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法(1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定f( x)与f(x)的关系；作出相应结论：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ,则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) =

12、0 或 f(x)=-f(-x),则 f(x)是奇函数.(2)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称.(3)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数.3、函数奇偶性的性质：奇函数 在对称的单调区间内有 相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 相反的单调性.4、(1)奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若 x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此，函数y f(x)是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，

13、所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。(2)若奇函数f (x)在x 0处有定义，则f(0) 0。(3) (x) f(x) f ( x)为偶函数，F2(x)f(x) f ( x)为奇函数。(4)函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题例、判断下列函数的奇偶性。1 x f (x)9 x2 f(x) (x 1)岛 f (x)2x x (x 0)2x x (x 0) f(x)一 x2 11 x2 f (x)|x 2| 2【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对

14、称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系，牢记好，在 定 义 域 内f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。1【变式训练4】函数f (x) x (x 0)是() xA.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数【变式训练5若函数y x2 bx c是偶函数，则有()A. b R,c R B. b R,c 0 C. b 0,c 0 D. b 0,c R【变式训练6】设函数f(x) ax3 2bx 1,且£( 1) 3,则f等于()A.-3B.3C.-5D.5【题型二、应用函数奇偶性求值、求

15、解析式】例、(1)已知偶函数f (x)的定义域是(,0) (0,)，当x 0时f(x) x3 1 ,求f(X)的解析式.(2)已知奇函数g(x)的定义域是R,当x 0时g(x) x2 2x,求g(x)的解析式.解答：当 。时,x< 00时/工)二工"+ 1 ,二/(一) = (一4* 十 1 =十 1(%)又“=加)是偶函数一勾="勾,*,工>0时司=I分)综上：相=( R分)I J： + L 1 > U由题意工型)="当才Q时，则一工>01)=(一丁+2( " = /一?工一f(x)是定义域为R上的奇翦数丁(工尸一/( 一行=一

16、一一2工/()=*综匕所述:+ 2r.r>0一 /+ 2q jWO【变式训练7】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f (x) x2 2x 3,求f(x)的解析【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】例、设函数f(x), g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A . f(x)g(x)是偶函数B. f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数解析:记则林-工)=/(-/巩-4二-/(常讽丁尸f(。所以否定人,选择c：另外，对丁G(工尸双工M.巧，内6(一时=仪了用(一)=|一人口城曾尸出浦

17、网工尸G(.r),从而C(1)T/(t)帆幻是儡南数，否定8对F "=俄抽,有印一句=见砌(一项,网咖(叫="(矶从而纨工尸因了耐打是偶 函数，否定夕【变式训练8】设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x) f (x) f( x),在R上一定是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数.【题型四、有关函数奇偶性的综合问题 】例、设奇函数f(x)在(0,)上为增函数，且f(1) 0,则不等式f(x) f( x) 0的解集为 xA、(, 1) (1,)B、(，1) (0,1)C、( 1,0)(1,)D、(1,0)(0,1)解答7.f(x)为奇函数.

18、且在(o.+e) ±®8函数/二o ,= (-1) = 0T Sf-w.O)内也是增函数f(x)-f(-x)2f(x)口: -« 0 卡xxan/>0exv 口叫仅)<0 或，f(x)>0根据在巴0)和(01+吟 内是都是增函数解得：xe (-1,0) U (0,1)2例、已知函数f(x) ax bx c是定义在2a,1 a上的偶函数，则a , b解答：已知函数f(x)*F+bx+(;是定义在2aJ-a上的偶函数 所以定义域关于原点对称函数关于y轴对称,即对称轴品邨 0iU2a+1 -a=0,-b/2a=0所以a=1b=。例、设函数f(x)对任意

19、x, y R ,都有f(x y) f (x) f(y),求证f(x)是奇函数;已知了(工才那十/.令工工号句君/0=*。)。),二,(。)=口令& = 一 七,得 f 一工)=f (工)+ 1一 H),即 f( 一了)= 一式 )所以奇函数【变式训练9】设f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c是常数)且f( 7) 7,则f=若 y= (m1) x2+2mx+3 是偶函数，则 m =解答If"尸(什1* + 2Mx+3E2mx+3因为是楣函数，根据偶图数定义f(x)=f(-x)所以(m-1 " +2rnx+3=(m-1 ；x2 -2mx+34mx=0m=O2x

20、2x, x 0,已知函数f(x)= 0,x 0, 是奇函数.求实数 m的值；2x mx, x 0解答：设”0 , M-r>0，所以为工)=万十2(一句=一屋一" ,又可勾 为奇函数，所以人工)=A句.于是时，丸4 =，+ 2工=/+皿 ，所以m=2.)函数的周期性1 .周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任彳s'值时，都有f(x+ T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.2 .最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.例、设

21、3;J)是(，)上的奇函数，f(x 2) f(x),当x 0,1时，f(x) x,求f(7.5)的值。* Ja + 2) + 2 =2) = f(x)二也岸以4为周期的函数，又.函数7W 是(一叫+M上的奇函数，当Otl时* = * ,7(7.5) =f(8-0.5)例、已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间0,2上是增函数，则 ()A. f(-25)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f( 25)C. f(11)<f(80)<f( 25)D. f(25)<f(80)<f(11)解：-f e 满足f=

22、-f(了)，二f (1-8)= f £工)，函数是以S为周期的周期函配,则/(-25)_/ <-n , /(80)- f(0)j r ci) 4r C3)*又f (w)在h上是奇函数，f CO) =o,得了 (80 =/ (0) =0, / (-25) =/ (-1) 而由.f(7-41 =-/ O)得f ci) =f(3)=-y ji)=y(i),又了工)在区间o，司上是增函数./(H在正上是奇函数“在区间-2, 2上是增函数./Cl) >f (0) > / (-1),即f <-25) < f (SO) < f (11),【变式训练】设f(x)是

23、(一8, + OO止的奇函数，f(x+2) = f(x),当00：W1时，f(x)=x.求f(兀的值；(2)当一4aW4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(一8, + oo内函数f(x)的单调区间.tJt lj (1)由f。十第 =-f O)得，f(1+4) =4 (r+2) +* = / S+包)=f W 1所以f <.r)是以为周明的周明函数r:4=f (-1 x44ff) = f (?r-4) -/ (4-tr)-(4-ff) -n-4.C2)由，GO 是奇函数与/(h+2) =-/ (i) + 鬲 fl +2=-/ C«-l) =/- (x-1) r

24、 Bp/ Cl+i) =/ (It).故知函数的图象关于直线工=1对称.又0可丁三1酎，f=，h H/ <3-)的国聋美于月点或中心对称，则f (工)的图象如岳所示.当-4"“时，f B 的图象与工相田成的图形面积为S,则12X2X1)=4. 函数f(1)的单调递增区间为【4止-1,-*1单调通瀛区间心41, 4Jt43 (fceG课后作业1 ,函数f(x)=4x2mx+5在区间2, +可 上是增函数，在区间 (8, 2)上是减函数，则f等于()A. 7B. 1C. 17D. 252 .已知函数f(x)在区间a, b上单调，且f(a)f(b)v0,则方程f(x)=0在区间a,

25、b内()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根3 .已知函数 f(x)=8 + 2xx2,如果 g(x)=f( 2 x2 ),那么函数 g(x)()A.在区间(一1, 0)上是减函数B.在区间(0, 1)上是减函数C.在区间(一2, 0)上是增函数D.在区间(0, 2)上是增函数4 .若函数y f(x)(x R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f (x)图象上的是()A . (a, f (a) B. ( a,f(a)C. (a,f( a)D. (a, f( a)5 .下列函数中为偶函数的是()A. y & B. y x C. y23x D. y x 1

26、6.A已知函数f(x)a 2x a 22x 11B.2(x R)是奇函数，则a的值为(C. 1D. 27.设偶函数f(x)的定义域为R,当x 0,时，f(x)是增函数，则f( 2), f( ), f( 3)的大小关系是A f()f( 3)f( 2)B f( )f( 2)f( 3)Cf()f( 3)f( 2)D f( )f( 2)f( 3)8 .若函数y f(x)是奇函数，f(1) 3,则f( 1)的值为.9 .已知分段函数f(x)是奇函数，当x 0,)时的解析式为y x2,则这个函数在区间(，0)上的解析式为.10 .判断下列函数是否具有奇偶性：35_,、2，一、 f(x) x x x ；(2

27、) f (x) x ,x ( 1,3)；2 f(x) x ；(4) f(x) 5x 2；(5) f (x) (x 1)(x 1).11.已知函数 f(x) = x2 + a (xw0.) x ''(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1) = 2,试判断f(x)在2, + 8止的单调性.33 ,12.已知定义在R上的函数y = f(x)满足条件fx + 2 =f(x),且函数y=fx 4为奇函数，给出以下四个命 题：函数f(x)是周期函数；3函数f(x)的图象关于点一：，0对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数.其中真命题的序号为.变式训练答案:够: