1.2.函数的幂级数展开式的应用ppt课件

1、返回第五节第五节 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用一、近似计算一、近似计算 三、欧拉公式三、欧拉公式二、计算定积分二、计算定积分 返回一、近似计算一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误误差差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.返回常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可放大到余和的首项则可放大到余和的首项;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各

2、项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得返回余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 返回例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估计计误误差差的的近近似似值值

3、计计算算利利用用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 .510 返回二、计算定积分二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数返回第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,

4、得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数返回三、欧拉三、欧拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 则称 收敛 , 且其和为)(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛 .,1uunn,1vvnn假设nnnviu 1. viu 221nnnvu 收敛,假设对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称 绝对收敛. 由于,

5、 故知 返回定义定义: 复变量复变量yixz的指数函数为)(!1!2112zznzzenz易证它在整个复平面上绝对收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的幂级数展式一致.返回xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier那么ieexxixi2sin返回据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式)利用幂级数的