2021年全国100所名校新高考模拟示范卷(一)数学试题(含答案解析)

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共22题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试 卷和答题卡一并交回.注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填马清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内.2 .选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5亳米忠色字迹的签字笔书写，字体 工整，笔迹清楚.3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答剧区域内作答,超出答卷区域书写的答案无效;在 草稿纸、试卷上答题无效.4 .作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5 .保持卡面清洁，不要折叠.不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、

2、刮纸刀.一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1 .若后=一二则2=A.2-iB. l-2iC. -l+2iD. 2+i2 .已知集合 A=nH-31+仪=0,8=-2,2,若 AQB=2,则 AUB=A. 2,1,2B. -2, 1,2C. -2,3,2D. -2,23 .（2一万的展开式的常数项为 7A. -120B. -60C. 120D. 604 .某实脸室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验, 发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数 值X（单位：

3、mg/L）近似服从正态分布N（15,，），且X在区间（10,20）内的人数占总人数的 兴，则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不低于20的人数大约为A. 30B. 60C. 70D. 1405 .天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴谷）在 公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大，它 的光就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测垃中的应用，英国天文学家普森 （M. R. Pogson）又提出了衡量天体明喑程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮 度来描述.两颗星的星等与亮度满足见一?2= 2.

4、5（lgE2-lg鼠）,其中星等为叫的星星的 亮度为E«=l,2）.已知“角宿一”的星等是0. 97,水委一”的星等是0. 47“水委一”的亮度 是“角宿一”亮度的厂倍，则与最接近的是（当|川较小时3i+2. 7P）A. 1. 56B. 1. 57C. 1. 58D. 1. 596,已知圆C：（l-3）2 + （y+3）2 = 9,直线/：（加+1）才+（2一加）一加? = 0,则当圆心。到直线/第1页（共4页）的距离最大时，宜线/被圆C所截得的弦长为A.4B.2西C. 273D.2/77.如图,在四棱锥P-ABCD中，PD,平面ABCD.底而ABCD是梯形, ABCD.NSCD=粤

5、,AB=4,PD=BC=CD=2,则四棱锥 P-ABCD 的外接球的表面积为A. 16兀R 187rC. 207rD. 247t&已知抛物线=20工(/>>0)的焦点为F( 1,0),准线为/,过焦点F的直线交抛物线C于点 AMA在/轴上方),且点A的横坐标为3,D是y轴正半轴上一点,0为坐标原点,NODA 的角平分线过AF的中点，则点D的坐标为A.(0,2)B. (0,蜉)C (0I). (0,3/3)第3页（共，页）二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.9,已知曲线

6、c£+ = l.A.若C是双曲线，则加<0B.若是离心率为2的双曲线则=一3C若必>0,则C是椭圆D.若C是离心率为的椭圆，则上=告la 410.已知，(I)=Aco«3'+夕)+B(A>0,3>0,0Vf<穴)，其部分 图象如图所示,M、N分别为最高点、最低点，则A.八=7B. 13=29C夕中D./(ll)=32.511 .如图，平面afl平面0=直线/，点A，CGa,点&DG仇且A、B、C、。©上,点M、N分别是线段 AB、CD的中点.A.当直线AC与BD相交时，交点一定在直线Z上B.当直线AB与CD异而时.MN

7、可能与I平行C.当A、B、C、D四点共而且AC/时,3。/1) .当M、N两点重合时，直线AC与I不可能相交12 .已知数列储，的通项公式是恁=2”,在这和牝之间插入1个数l口，使s Wz成等差数 列;在。2和。3之间插入2个数了21，工22,使。2，721，工22必成等差数列；;在%和。“+1之间 插入n个数才”1，才”2,，才,”，使%,二1 ,才“2,，/+】成等差数列.这样得到新数列1： Q1 9.丁 9a2 9才21，122 9a3 9131，/32，丁33，记数列仇的前项和为S “，则A.白8=36C 优8 = 320B. a”+1用+/成+什1 =3 2"fD. S15

8、 = 6401 三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中的横线上.13 .若向量。=（1,2）,6。= （一2,1）,则。 b=.14 .若函数/（/） =£。2+7/+aln x在n=2处取极值，则«=,/Cr）的极大值为.15 .已知正实数,满足/+4=3d，则£+右的最小值为.16 .如图，在A8C中，N3AC=FaB = 3,AC=2,点。为边3c上一个动点，将A3D沿 AD翻折,使得点片到达P的位置，且平面AB'D_L平面ACD当CD=时,8,C取 到最小值.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过

9、程或演算步骤.17 .（本小题满分10分）在为 = 10,S?=9,V3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.设S”为各项均为正数的数列6的前项和，满足，足+ 3% = 6s”+仇是否存在 实数A,使得数列«"成为等差数列？若存在，求出b和数列6 的通项公式;若不存在，请 说明理山.（注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18 .（本小题满分12分）第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11 月1 口零时，将彻查人口出生变动情况以及房屋情况.普查对象是普查标准时点在中华人民 共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但

10、未定居的中国公民，不包括在中华人民 共和国境内短期停留的境外人员.普查主要调查人口和住户的基本情况，内容包括:姓名、公 民身份证号码、性别、年龄、民族、受教育程度、行业、职业、迁移流动、婚姻生育、死亡、住房情 况等,普查登记方式全程电子化方式普衣,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通 过互联网自主填报.某机构调查了 100位居名的普查登记方式，数据统计如下表，部分数据 缺失.普查员使川手机上门入户登记通过互联网自主填报年龄不超过40岁10a年龄超过40岁b15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大吉 （1）求,的值.（2）是否有99%的把握认为年龄

11、与普查登记方式有关？附/G =（a+）（H）（Q十.）（+），其中 =a+c+H.19 .（本小题满分12分）ABC的内角A J3,C的对边分别为a,c,已知8sin2 ±-7=2cos 2A. 乙（1）求 A；（2）若a=b"+c=5,求BC边上的高.20 .（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A|B】G中,/水：8 = 90°,八。=故：,八8 =八八|入£分别是。1、BBi的中点.（1）证明：（；后_1_平面八。6.（2）求二面角C-AB.-D的余弦值.%-从21 .（本小题满分12分，二已知居、户2分别为椭圆C片+亨=1的左、右焦点，点”

12、是椭圆”C上异于左、右顶点的一点，过点B作NRMF2的外角平分线的垂线交F2M的延K线于 P点.（1）当M点在椭圆C上运动时,求P点的凯迹方程E.（2）设点NQ,0）aW0）,过点N作一条斜率存在口不为0的宜线/交椭圆C于A,8两点，点B关 于才轴的对称点为以直线八X交1轴于点T,O是坐标原点，求证：QN| |5'|为定值.22 .（本小题满分12分）已知函数 /（x） = In xx2 + l.求曲线？=/（/在点（1，/）处的切线方程.（2）若方程/（/）=有两个实数根Zi立2出Z|V>2,证明:七一© VI24.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参

13、考答案1 . B本题考查宓数的运算.依题意,z=-K2+i) = l2i.2 . A本题考查集合的交案与并集.因为AD6=(2),所以2£人,则22-3X2+a=0,解得。=2,所以A = <1, 2.AU"-2,2.3 .D本题考查二项式定理,栏一 G)6的展开式的通项为,( 一G), = ( 一 l),q2"， 上纣，令孝一6=0,裕,=4.故4f F厂的展开式的常数项为(TMQX22 = 6O.4 .B 本题考度正态分布的应用.因为XN(15,"，又P(X410)+P(XN20) = l P(10<XV20)= 】一 袅所以P(X10)

14、 = P(X>20) = qX*=奈所以这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不低于 20的人数大约为500X=60.5. B本题考杳天文学中的估算.设“角宿一”的星等是加，“水委一”的星等是也角宿一”的亮度是E，“水委 一”的亮度是 Ei，则 /«)=0. 97,小=6 47,£i = rEi,：两颗星的星等与亮度满足mm2 = 2. 5(lg & -lgEi)AO.970.47= 2. 5( 1g rEi - g Et),即 1g r=0. 2,Ar= 10a2、i+2. 3X0. 2+2, 7X(0. 2产=】+0. 46+0, K)8 = l. 568,

15、二与最接近的是1. 57.6. A本题考查直线过定点问题及网的弦长问题.圜C：(H-3)2+y+32=9的班|心坐标为以3.一3),半径为 (才-y3=01 jts=2, 解得<,i+2y=0y=T所以直线/过定点P(2, 一).又点P(2. - l)在圆C内部，则当直线？与线段PC垂直时，圆心C到直线/的 距离垃大,此时IPC| = /(2-3»4(-1+3)2 =亦，直线I被圆C所截得的弦长为2 行不=4.【解题技巧】对于含参的宣线问题可将参数提出来，利用0乘任何数加0等于0这一性质.得到一元二次方程 组，解方程组可得到含参数的宜线过定点.对于过圆内定点P的直线2,当圆心C

16、与定点P的连线与直线£ 不垂直时,例心C到直缓/的距高小于IPCI：当直线，与线段PC垂百时，网心C到宜线/的距离等于|PC|, 因此圆心C到直战,的饨离的最大值为IPC|.7. C本题考查四棱锥的外接球.因为ABCD"BCD=醇所以NAZ?(”引 取AB的中点M,连接M& o0A4D,易得A4c=MD=2,所以秤形ABCD的外接圆的圆心为过点M作MNPD(N与尸位于平面 ABCD的间侧)，使得MN=PD取MN的中点O,易得OP=OD,故。为四楼锥P-ABCD的外接球的球 心.因为。D= 4JW+MO =疗，所以四棱钺P-ABCD的外接球的表面机为4nx(万尸=20

17、”.8. D本题考查直线与抛物线的综合.由F(l,0)可得p=2故抛物线C的方程为”=26,点A(3W3). 设线段AF的中点为Q，作QT_Ly轴于点T.作AMJJ交y轴于点Mi.交/于点M,则2|QW = |AM| 十 |0尸|三何必之队9|,故|。丁|=:|河| = |“|.过点。作。5_14。于点5,又。是/0"的角平分线, 则IQT| = IQA| = |QS|,由垂线段的唯一性知,A,5两点重合，可得/DAF = 90",所以6a -=设£XO.a),则喋鸳X噤三二-1,解得a=3G,故点D的坐标为(0.36).u J 019. AB本题考查双曲线与椭圆

18、的概念.若曲线C是双曲.则而<0,故A项正确;若C是离心率为2的双曲参考答臬第I页(共6页)线,当心>0时96Vo,则22 = 1+?,?=3.故B项正确；当gV0,Y0时,M>0,曲线C不是椭圆.故C项借误;若C是离心率为J的椭圆，当a»0时，则。）2 = 宁，!二等:当0>40时,（方）号故D项错误.a a Q4 u a 610. ABD本题考查三角函数的图象.由图可知*=153=12.7=24皿=阜=若.由最大值为36,最小值为 22,可知A=巧邈=78=范罗 =29,故/G） = 7cos（食+G + 29.将点（15.36）代人可得7cos（ + p

19、）+29=36.8S（学+平> =】，；0<*V"，；夕=乎.f （t） = 7cof（筐 + 箸）+ 29.令工=11,得 /（1） = 7cos（彩坤）+29=7cos苧+29=32.5U.ACD本题考查空间中点燃、面的位置关系.对于A,设ACnBD=P，因为PWAOZa，Pe8DCd所以P Ganp=/,A项正底h对于B,当AB.CD是异面直线时，假设MN/，则MN平面例连接BC,取BC的中 点H,述接MH、NH,因为M、N分别为A&CD的中点，所以MHAC,所以平面MNH平面如同理可 得平面MNH平面仇所以平面a平面自与已知矛盾，故假设不成立，所以MN不可

20、能与/平行,B项错 误;对于3若A、BCD四点共而且AC1时，可得，平面ABCD,过/的平面6与平面4BCD相交于 8D,所以GD八C项正确;对于D,若MN两点重合,则ACBD,故AC/，此时直城AC与直线2不可 能相交，故D项正确.12. AD本题考查数列的综合应用.对于Ag在数列3力中是笫8+】+2+ 7=36项所以靠=砥2项正确；对于 B.% +工a十居2 +£, +&-i =（/S+2）=（2“+2一；）5十2）=3（+2） .B项错误；对于C也=%+2 气出=炉+2X维萨 = 256+笔中32dC项错误对于D,由选项B知4+才心+兀=3（+2）2冷7-<4+%

21、*1）=3,7 公一、所以 Sa, =（«i +m +o9）+Crn +（工八 +1蝮）+加 +布+,+* ）=（2+2" + “ + 2” >4-3（1 X 20+2乂21+，+8乂牙）= （2'。- 2）+37乂牙+1）=6401,D 项正确.【思路点拨】解决本题首先要了解数列SJ的构造方法,并能计算出数列协力的项与储“）的项的关系,通过借 助数列&,）的通项公式与等差数列、等比数列的求和公式对四个选项依次进行判断.1 3.5本题考衣平面向星的坐标运算及数量积.由a=（l,2）,b-a = （-2,D.可得6=（ 1，3）,所以ab= -1+6=5

22、.14 .-10萼 101n5本题考查函数的极值./（# = 一彳+7+0。>0）,由题可知八2） = - 2+7+告=0, 乙JC4解得。=一】。,/口）= 一彳+7也"一七1皿风,所以，（外在（0.2）,（5,+8）上单调递减,/（才）在出 JTJT5）上单调递增,故/（"的极大值为5）=一与+ 35-Oln 5=竽- 101n 5.15 .孚 本题考查均值不等式.因为3=/十布4她即所以/十壶J| 婆，上述两个不等式均是当且仅当a=2A时取等号，所以？+女的最小值为等.16 .等 本题考查空间中的线段长的计算与解三角形的综合应用. 设N84D=a,aW（0.&#

23、163;）,作8ELW交AD或4D的延长线于E点,作CFL4D交AD或AD的延长线参考答案第2页（共6页） VBE=3sin a»AE=3cos a»CF=2cos<a-l-)=y3cos a-sin a./AF=2sin(a+*)="sin a+cos a, ；EF= |AFAE| = |6sin a2cos a|.""次 VEC =6£? +C尸 + E严=(3sin a>2 + (万cos a-»in a> + <V3 sin2cos a>2=7+6sin?a6Hsin acos a= 1

24、0-6sin( 2a+-r- 3 oA当sin(2a+)=1,即。=段时,取员小值，此时AD平分NBAC 09在AZC 中,6=32+22 2X3X2Xcos仔=7,BC=&,由角平分线定理得禁=留，即黑=告,所以CD=BC=等.17 .解:本题考查数列递推关系与通项公式.因为届+3%=6S. +仇所以曷+i +3%«)=6S-i +6,两式相减，得 3(。升】+。力)=a'i = (a1i +%)(%+i 以) 即(+1 -3 > (%-i +& > = 0 又 x 1 +a>09 所以 4+1 一备=3. 4 分若选择，因为例=10,旦的

25、一“1=2X3,所以a1=4.由星+ 3为=6§»+6,得鬲+3ttl =&n+6,即6=af3可.把R =4代人上式，得44.当Q4时，由词一切一4=0及卬>0,得eq =4.所以存在实数=4,使得数列4是以4为首项，以3为公差的等差数列数列/明)的通项公式为& =$+3(n-l)=3n+L 10分若选择，由。“上一a, = 3得a?一仆=3,又巳知 S =q +a = 9»所以a =3此？=6.由d+3%=6S,+仇得裙+初=6口+6仍=成一3a】，所以6=32-3X3=0.当6=0时，由出一kt =0及m >0,得m =3,由底+

26、既2 =6S? .a】=3及的>。9得* =6, 所以勾=3和处=6满足an =3,所以存在实数4=0,使得数列(% )是以3为首项，以3为公差的等 差数列，数列的通项公式为%=3+3(- 1) = 3儿 10分若选择，由 a； +3a“=6Sx +4得 ai+3dl -6ai +6.即 af-3al 6=0.因为已知数列的各项均为正数所以。,>0.因为关于0的一元二次方程就一为| -A=o至少存在一个正实数解的充要条件是4=9+奶>0解得4一看，这与已知条件/<一3矛盾，所以不存在实数。使得数列%是等差数列. 10分注:若K2-3父6=。存在两个实数解分别为不，工?

27、则© +网=3,工|%2=一当6Ao时,三一3xb=0的解一正一负；当。=0时 3一。=。的解一正一零;当一件WY0时,下一 3了一=0的解均为正.所以当且仅当4=9+520时，方程/一3工一/,=0至少存在一个正实数解.)18 .解:本题考查独立性检验.由题知嚅1 一啸=La+b+25=】OO,解得&U45.830. 5分1VU1 viz1U由可得如下2X2列联如普杳员使用手机h门入户登记通同互联网自主填报合计年资不超过40岁104555年龄超过40岁301545介计4。60100100X(30X45-15X10)2 800力 央、真久如 -40X60X55X45一前”24

28、. 24足 635,所以有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关. 12分19 .解:本题考查解三角形.(l)8sin2 X - -7=2cos 2A即 4C1cos(B+C>J7=2<2cos2A_ 1),化简得 4cos4cos 4+1=0,解得 cosA= /，所以 A=?, 6分(2)由余弦定理得a& =，/+1奶ccqs A,即 7=+/一庆二(64»2一淑=253加,解得兀二6.则A0C的面积为方标5inA=*X6xg=¥.记BC边上的高为人因为S-,必平，所以.警一呼X. 12分20 .解;本题考查线面垂直与二面角.(l)./AC=90；A

29、ULBCJ】CG JL平面 ABC,，ACJ_CG ,.；OQ n必=C,，ACJ_平面 BCGB1.：C)EU平面 BCC B：，二ACJ_G E AB=&C=g"骷=黑=乌，： /皿 8 尸 NCNB,/EG 场 +NG B】C= /C场 B+ZCiB, C= 90°,:. BiCXQ E.又8CU平面 ACB ,ACC平面 AS】，用CPIAC=C, G£_L平面 ACBj. 6分(2)不妨设入C=3C=，则AX=b4 =2.如图.以C为原点,CA.CbOG所在的直线分别为斗y,z轴，建立空间直 角坐标系，则6(0,0,2),。(0,0.1).人(四

30、,0,0),8(0.2),七(0,&. 13就=(0,龙.1>,苏=(笈，0. - 1).In D忒=gy+z=0设n=Cr.»/为平而ADB的一个法向量，则>”,U 珠=氏-2=0令 2=7.得 k=l ,3=-l,=(L1 ,1).由知底6=(0,畲,一1)为平面ACB的一个法向量，设二面角C-A&-D的平面角为6,由图知06(0,等)，GG” 八|不由 2疙 76所以A-博市一万云F'所以二面角CABi-D的余弦值为母. 12分21 .解:本题考查轨迹方程与椭圆中的定值同期.(D设从点F引NEMB的外角平分线的垂我，垂足为R善考答案第3页(共

31、6页)在APME中,RM是/KMP的角平分线. |A）| = |MF| |，可得 |MF J +1 MB | = | MP| + |MFJ = | PFZ,根据椭圆的定义，可得IMB I + IMB I -2a-M j2.|PI；21 =4.即动点P到点I't的第禹为定值4我，因此点P的轨迹是以点鼻（2,0）为圆心，半径为4笈的圜（不含与.r轴的交点），其轨迹方程为Q2V+：/=32（丫=0）. 5分因为直线/的斜率存在且不为。，设直线，1=，3,+”，字0） ,A5 .y）,坎心，分） ,95.一投），才y+f联立<y2 _ ,可得（/+2）942"修了十/ -8=0.囱+彳=由韦达定理知y+=一悬直线八8的方程为），一m = "子（.,一43X| 前2,” 一8令,，=0,可得）=二也=也十刀=二初岭f? +弟？=也产+,=考T十yi+j子>1十gyi十2yi十）吆2加产！ 2-+-去即 H-y-,0）.所以|ON| 1071 = 1/1 . |予 1=8 为定位.12分22 .解:本期考查导数的几何意义以及函数的零点.（L）因为/（公=工一 2八所以= 1 - 2 = 1.又因为八1）=0,所以曲线.y=/（N）在点处的切线方程为，<0= 一（-1）=】一即彳+厂=6 4分42）解法一:山言知，（*! ）=ln.ri ,r