(完整版)初二级竞赛专题：因式分解

1、初二级竞赛专题：因式分解一、重要公式1 ' a2 b2=(a + b)(a b) ； an 1=(a 1)( an-1 + an-2+ an-3 + + a2 + a+ 1)2、a2±2ab + b2=(a±b)2 ； 23、x2+ (a+ b)x + ab=(x + a)(x+ b);4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2); a3b3= (ab) (a2+ab+b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序：(1 )提公因式

2、法；(2)十字相乘法；(3 )公式法；(4 )分组分解法；(5 )其 它常用方法与技巧(简单概括为：提十公分)。三、例题1 、添项拆项例 1 因式分解：(1 )x4+ x2+ 1 ；(2)a3+b3+c3-3abc(1)分析：X，+ 1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+ x2 + 1 = x4+ 2x2 + 1 x2=(x 2+ 1)2 x2=(x 2+ 1 + x)(x2+ 1 X)(2)分析：a3+ b3要配成(a+ b) 3应添上两项3a2b + 3ab2解：a*+ b'+ c? 3abc a，+ 3a+ 3ab 2+ b'+ c? 3abc 3a 3ab 2=(a

3、 + b)3+ c33ab(a + b+ c)=(a+b+c) (a+b)2(a+b)c+c2 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a2+b2+c2abac be)例 2因式分解：(1) x3-11x+20 ；(2) a5+a+1(1 )分析：把中项一11x拆成一16x+5x分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)解：X311 x+20X3 16x+5x+20x(x216)+5(x+4)=x(x + 4)(x 4) + 5(x + 4) =(x +4)(x24x+5)(2)分析：添上一a2和两项，分别与a5和a + 1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5

4、+a+1 a5 a2+a2+ a+ 1=a 2(a31)+a2+a+1=a2(a1)( a2+a+1 )+a2+a+1 =(a2+a+1 )(a3a2+1)2、待定系数法例 3因式分解 2x2+3xy-9y2+14x-3y+20解：T2X2+ 3xy - 9y2=(2x - 3y)(x + 3y),故用待定系数法，可设 2x2+3xy9y2+14x 3y + 20=(2x3y+a)(x+3y+b)，其中a5b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得a 2b 14rQ 解得3a 3b 322'2x2+ 3xy 9y2+ 14x 3y+ 20=(2x 3y + 4)(x + 3y

5、 + 5)另解原式=2x2+ (3y+ 14)x (9y2+ 3y _ 20)，这是关于X的二次三项式常数项可分解为一(3y 4)(3y + 5),用待定系数法，可设 2x2+ (3y + 14)x (9y2+ 3y 20)=mx (3y 4)nx + (3y + 5)比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=122 2x2 + 3xy 9y2 + 14x 3y + 20=(2x 3y + 4)(x + 3y + 5)四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2+ ab=99，贝U a=，b=。2、计算：(x + 6)2(x - 6产=。3、若 x + y=4，x2+ y2=1

6、0，贝1J(x y)2= 。4、分解因式：a2- b2 + 4a + 2b + 3=。5、分解因式：4x3 31x+ 15= o6、分解因式：x4+ 1987X2+ 1986x + 1987= 五、选择题7、x2y y2z+ z2x x2z+ y2x + z2y 2xyz 因式分解后的结果是()。(A) (y z)(x+ y)(x z) (B) (y - z)(x - y)(x+ z)(C) (y+ z)(x y)(x+ z)(D) (y+ z)(x+ y)(x z)&已知724 1可被40至50之间的两个整数整除,则这两个整数是()。(A) 41，48( B) 45，47(C) 43

7、，48( D) 41，479、n为某一自然数，代入代数式n3- n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果, 其中正确的结果只能是()。(A) 388944(B) 388945(C) 388954(D) 388948六、将下列各式分解因式13、x3 + 4x2910、x4+ x2y2 + y411、x4+ 412、x4 23x2y2 + y4q +><一 +xq8LJXg+x 9L+ + nu nu XI /( 一 XI 110 卜3X+2X96<DXasLCACXI+ 2 Ax= + A X c + c X9.。9 + X L 寸 J X蕊IIJA.X ch(- - - a)(二一 X) 灭军宦咽心疤-< o H - + A X AX 咽心S5，寸ex。迺gE - r - K J - B B 寸+Ae+ XS+二一 Ex <寸 + A 一 一 X星 m/ QCXILCXI- - X o + X L L - - c XOL + X w - - X