2020-202数学北师大版必修4学案：.7.正切函数的定义.7.2正切函数的图像与性质

1、sina/ c /兀一 ，=tana(aeR, g子5十%兀，A£Z).vOoCX乙(3)正切函数值在各象限的符号当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象 限时，其正切函数值为负.2.正切线如图所示，单位圆与x轴的正半轴交于点4过点A作x轴的垂线AT, 与角a的终边或其反向延长线交于点T,则线段位叫作角a的正切线.当 角a的终边在y轴上时，角a的正切线不存在.答一答1.不用单位圆能定义任意角的正切函数吗？提示：与正弦函数、余弦函数的定义相同，不用单位圆也能定义任意角的正切函数.其方法如下：设P(x, y)是k£Z)的终边上任意一点，则tana=1.对于每

2、一个确定的kZ),都有唯一确定-VZ的正切值与之对应，所以这个对应法则是以角a为自变量的函数，叫作正 切函数.正切函数值与点尸在角a终边上的位置无关，只依赖于角a的大 小.知识点二正切函数的图像及性质填一填3.正切函数的图像4.正切函数的性质(1)定义域：xlx/R 且 兀，1£Z；(2)值域:R；(3)周期性：周期是E(A£Z,且ZWO),最小正周期是兀；(4)奇偶性：查函数；(5)单调性：在(一|+也，+E)(Z£Z)内是增加的.(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图 形，其对称中心坐标是(等O)(J£Z),正切函数无对称轴

3、.答一答2.如何作出正切函数的图像？提示：(1)几何法利用单位圆中的正切线作出正切函数图像，该方法作图较为精确，但 画图时较烦琐.(2) “三点两线”法“三点”是指(一?， 1), (0,0), (?, 1); “两线”是指x=一百和工= 5.在“三点”、“两线”确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出 正切函数在(一百，牙上的简图，然后向右、向左延伸即可得到正切曲线.*特别关注1 .用单位圆上的正切线画正切函数图像(1)建立平面直角坐标系，在X轴的负半轴上任取一点Oi，以。为圆 心作单位圆；(2)把单位圆中的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出其相应的正 切线；(3)将各正切线的终点用平滑

4、的曲线连接起来，得到正切函数在(一看力上的图像；(4)将该简图向左右扩展平移即得正切函数的图像.2 .用三点两线法作正切函数图像“三点”是指(一去T), (0,0),(今1)；“两线”是指x=g与工节3 .正切函数单调性的关注点虽然正切函数有无数个单调区间，在(一?今，(会上都是增函数，但是不能说正切函数在(一苧)U上是增函数.不积慈步无以至千里，不积小流无以成江海!4 .确定正切函数奇偶性的步骤确定定义域关于原点对称.(2)由诱导公式：tan(x)=tanx,知正切函数是奇函数.西课堂篇KETANGPIAN合作探究类型一正切函数的定义及应用【例1】 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P,

5、。是单位圆上的两点，。是坐标原点，NAOP=* ZAOQ=a, c（eO,兀）.不枳蹉步无以至千里，不积小流无以成江海!故6的终边与单位圆交于P'12)（1）若己知角6的终边与O尸所在的射线关于x轴对称，求tan。；（3 4、（2）若已知。仁,可,试求tana.【解】 ,角6的终边与。尸所在的射线关于x轴对称，且尸则 tan，=T.2(2)V NAOQ=a 且。3 4） 亍5）94 ,5 4 tan（z=5规律方法利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P为角的终边（终边不与），轴重合）与单位 圆的交点，则该角的正切值为点尸的纵坐标与横坐标的比值；若点P为角 的终边（

6、终边不与y轴重合）上的任意一点（除坐标原点），由相似三角形的性 质知，其正切值仍为点尸的纵坐标与横坐标的比值.若tana=5，利用三角函数定义，求sina和cosg.解：因为tana=50,所以a是第一或第三象限角.(1)若角a是第一象限角，则由tana=J知，角a终边上必有一点尸(2/), 则厂=1001=、22+12=/故 sina=：=半，cosa=y;=.(2)若角a是第三象限角，则由tana=)知，角a终边上必有一点P(2,T),则 r=IOPI=(-2)2+(-1)2=5.,cosa=-=fr= r 、5类型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域.(1 )y=yjsinx+yj

7、tanx ；(2)y=lg-/3 -(-/3 l)taii¥-tan2x+/9-?.【思路探究】此类问题一般是根据求函数定义域的要求，列出使函数有意义的不等式或不等式组，进而求解.sinx20,【解】(1)由题意，得在0,2兀内将正弦函数和正切函数tanjvHO,的图像画在同一坐标系内，如图所示，工函数的定义域为 32EWxv2E+* k£ZUxLx=2E+7t, kGZ.,市(婿l)taiiY-tan2v>0,(2)由题意，得9一,河 xW&Tt+nzez),一小 vtanx<l,3x#E+界 £Z),由图像，得一审<tanx<l

8、的解为E/<丫4兀+?A£Z),，函数的定义 J1域为-3,；)U(|兀，3.规律方法(1)求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须 满足：使三角函数有意义，例如，若函数含有tag 需x#E+冬k£Z.分式形式的分母不等于零；偶次根式的被开方数不小于零.(2)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用基 本三角函数的图像或单位圆中三角函数线直观地求得解集.求函数的定义域. ,1 +tan x解：要使一有意义,1 + tanx应有意义且不等于0. ,1 十 tanxl+tanx#0, 要使y=TZ占有意义，则有：I i -1+tanx卜#2+&am

9、p;兀,kGZ.x¥一；+既，kGZ, x若+就，kGZ.故函数y=1+tanx的定义域为:xlx#兀且女£Z.类型三正切函数的单调性及对称性X 71例3 求函数），=tan（：+k）的单调区间. 4 xJX jrx 兀【思路探究】将5+入看成是一个变量，先求函数关于；十入的单调区间，再考虑5+*关于X的单调性.【解】 当之+*£（一百+既，+E）（k£Z）时，函数y=tan6+*）是增 函数.t 兀. x 兀兀 e 4兀2兀由一弓+k兀5+75+攵兀,%£Z, 付一""+2%兀1丁+2%兀,A£Z.，函数y=ta

10、n（T+W）的单调增区间为（一牛+24兀，甘+2既），kGZ. 4 JwZJ规律方法 求函数的单调区间时，要注意函数的周期，应在求出一个 周期长的区间内的单调增区间后，再加上周期的整数倍，不要误认为函数 的单调增区间是（一半+E,芍+E）, Z£Z. JJ求函数y=3tan（2x+§的对称中心的坐标.kn解析：我们知道丁=12是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即（5, 0）,函数y=Atan（Gx+o）的图像可由y=tanx经过图像变换而得到，它也有 无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴的交点.于是由21+=与（2£2）得x="一.（A

11、3;Z）.,.对称中心坐标为（当一6o）（Z：ez）.类型四利用正切函数的单调性比较大小【例4 不求值，比较下列各组中的两个正切函数值的大小.(I)tanl56。与 tanl71°； (2)tan【思路探究】（1）易判断两个角在正切函数的同一单调区间内，直接 利用正切函数的单调性求解.（2）不易判断两个角是否在正切函数的同一单 调区间内，可先利用周期性将其化到一百到号之间的角，再利用正切函数的 单调性比较大小.【解】（1）90。156。171。270。，而 90。=* 270。=千.',函数 y=tanx（兀 3兀1在、5，了上Xi增加的,tanl560<tanl71&

12、#176;.(2)tan一生）=tan（ 一 3兀+=ta 或,17兀兀兀兀而-"2<6<4<2, Atan6<tan4,即 tan(-%):17tan不外i兀兀tan兀 I=tan(-3兀+&) = tan.函数y=tanjv在一*与上是增加的, 、乙乙）规律方法比较两个角的正切函数值的大小，关键是把角利用周期性 转化到函数y=tanx的同一单调区间内，再利用正切函数的单调性来比较.下列不等式中，正确的是（C ）4兀 3兀A.B.C.D.tan-y>tan-2兀3兀tan-7-<tan-/ 13 兀、, 15兀tan(-y-)>ta

13、n(-)z 13 兀、, 12 兀、tan(-1)vtan(-丁)解析：对于A, tan竿vOctan,故A错误；对于B, tan普>0>tan芝3 TC7C 7L 5 7U故 B 错误；对于 C, tan(L)=tan(2兀+3)= tan；7，tan(1) = tan(2兀/IIO兀 兀 小,兀兀兀 兀 兀，13ti15兀,+ g) = tang, 因 ->>->0, 所以 tan'Xang, 即 tan(一5一)>tan(一区一), 故.a 十13兀兀兀兀12兀C 正确； 对于 D, tan(1)=tan(-3兀-R=tan(-w)=-tan,

14、 tan()zZ x / 2兀、,兀 e七 兀2兀 , 兀=tan( 2兀一5兀)= tan(-z-)= tan-7-, 因 为 tanctanG, 所以一tan>一 JJJIJItan”, 即 tan(-l3>tan(一华3, 故 D 错误.TIGAOPIAN自我超越易错警示根据正切函数图像求参数的误区例5 函数y=2tan（3x+9）（-$W<，的图像的一个对称中心为（今， 0）,则 9=.【错解】I bir【正解】 因为函数y=tanx的图像的对称中心为（另，0）, kGZ,令 kn v兀 kn兀 兀 kiL31+夕=7，&£Z,由题意知：3乂工+9=

15、7，kGZ,即 9=73X=7一 Nr乙乙I, 乙3兀 , ,71 兀.兀 f. 兀了，A£Z.因为一5<8与，所以当 =1时，9=一不 当女=2时，8=不二Qc 兀JL' 兀即夕=4或一4【错解分析】 解题时，在处没有考虑到°的取值范围，而凭印象 对A进行取值，从而致误.【答案*】土全【防范措施】1.正切函数图像与性质的灵活应用解题时，要注意正切函数图像与性质的灵活应用，如本例，对正切函数图像的对称中心要把握准确，不能误认为(E, 0),2.函数解析式中参数的取值范围解题时，要注意参数是否有特殊的限定条件，如本例，如果没有注意 到9的范围，从而未对A的取值分

16、情况讨论，将造成本题解错.已知函数尸tan(x+s)的图像过点哈，0),则8可以是(C )A.C.46兀12解析：因为过点哈，0),所以tane+夕)=0,所以歪+°=E(A£Z), 所以3=E一工(Z£Z).故选C.当爻演缥GONGGUPIAN一、选择题1.下列命题中正确的是(D )A.)，=tag在整个定义域上是增函数B. y=tanx的最小正周期为2兀C.当 x>0 时，taa¥>0D. x£(0,各时，tanv>sinx解析：tanx在(就一百，攵兀+亨)，k£Z上是增函数，不能说在整个定义 域上是增函数；y

17、=taav的最小正周期为兀；当心>0时，有时taorvO.只有D 是正确的.2 .直线)，=a(a£R)与)，=taiu的相邻两周期的图像交于A、B两点, 则4、8两点间距离为(B )兀ABe 兀C. 2兀D.与a有关解析：A、8两点间距离为了=兀3 .函数y=tan(x+多的定义域是(A )A. x£RlxWE+聿,kRZB. x£Rlx#E一去 AZC. x£Rlx#2E+* kRZD. x£RlxN2E一崇，kGZ解析：由得xWE+“，kGZ.JNrJ二、填空题4 .若sin0<0,且tandvO,则6是第四象限角.解析：飞也6<0,6的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴 上.又tan6V0,.二。是第二或第四象限的角.6是第四象限角.5 .函数y=、/3taax一向的定义域是伙兀+，E+g)(k£Z)；(2)函数 y=ta