机械振动课后习题集和规范标准答案第二章习题集和标准答案

1、 伸长3,然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：设物体质量为m,弹簧刚度为k,贝 mg k , 艮卩: nk/ mg/ 取系统静平衡位置为原点x 0,系统运动方程为: mX& kx 0 xo2 （参考教材P14 ） & 0 解得：X (t) 2 COS nt2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为 O设将物体向下拉，使弹簧有静 22弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设 用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振 幅、周期及弹簧力的最大值。 所以: 取系统的平衡位置为原点，得到: 系统的运动微分方程为：x& 0 弹簧力为：Fk kx(t)

2、x(t) cos nt (N) V 2 因此：振幅为02n)、周期为一 (s)、弹簧力最大值为IN 7解：由题可知：弹簧的静伸长v 0. 85 0. 65 0. 2(m) 其中，初始条件： 所以系统的响应为: x(0) 0.2 X(0) 0 惨考教材P14) x (t) 0. 2cos nt (m) 7 (rad 23重物mi悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物血从高度为 h处自由落到奶上而无弹跳，如图所示，求其后的运动 解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点 x 0,则 当m有x位移时， 系统有: ET ; (mi 2 m2)X2 U kx2 2 由 d (ET

3、 U) 0 可知：(mj 血)x& kx 即：n : k/(mi m2) m?g Xo 系统的初始条件为：矯 k mi m2 1 (能量守恒得：m?gh 2 (mi m2) X)2) 因此系统的响应为:x(t) A0COS nt Al sin ntAo Xo k 其中： Ai 2& m?g 2ghk L k mi m2 BP： xt)m (cos nt 碎 Sin nt)2.4 质量为m、转动惯量为|的圆柱体作自由 纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求 系统的固有频率解：取圆柱体的转角为坐标， 逆时针为正，静平衡位置时 转角时，系统有: ET -1 & :m( *&)2 X(I mr2)

4、 & 2 2 2 1 2 U -k( r)2 20,则当m有 即 d(Ei U)，嗣知:(I mr)險 kr ad/s 0 2.5均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试 求此杆相对铅垂轴00微幅振动的周期 2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且 k2 2ki, ks ki 有x位移时，系统有: U kx2 kix2 kix2 (其中：k 2 2 6 ki k2 由 d (ET U) 0可知: 5 mX& kiX 0 3 T2 爲(s) 解：取ni的上下运动x为坐标, 向上为正，静平衡位置为原点x 0,则当 2. 7 如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆

5、轨面内无滑动地、 以圆轨面最低位置0为平衡位置左右微摆，试 导出柱体的摆动方程，求其 固有频率。 C 解：设物体重量W,摆角坐标 如图所示，逆时 针 为正，当系统有摆角时，贝 2 U W(R r) (1 cos ) W(R r) 2 设&为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度: c (R r) & r &,即：& g & r 记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA,则: , ,W 2 1W 2 W 2 I A I c r g r2）（&2 r 3 仪（R r） $ & 4 g 由 d (ET U) 0可知: r)2 & W(R r) n (rad/s ) 2.8横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮 子

6、静止在比重为的液体中。设从平衡位 置压 低距离x（见图），然后无初速度地释放，若不 计阻尼，求浮子其后的运动。 m& (Ax) g 0,即: XoX 有初始条件为：。解：建立如图所示坐标系，系统平衡时x 0,由牛顿第二定律得: f - I _ 2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴 Oi ,02转动,它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径OiA与02B在同 一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别 为m 解：两轮的质量分别为mi, m2,因此轮的半径比为: 电于理仑无柯对滑动，因此其转角比为: ri 取系统静平衡时】 o,则有： ET Ig

7、miri2)* 1(2 口 2 r22) &2 寸伽 m2)& 2 匕们 i)2 I2I2 2k? ( 2 2)2 2 (ki k2)(ri i)2 0 z U) 可知：知皿&此曲 由 d(Ei i rrh k2) m2 (rad/s ), T mmr ;2(ki k2) 2. 10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴 的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为 P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由 水平弹簧维持平衡。半径R与&均已知，求微振 动的周期 解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时 0,则当轮子有转 角时，系统有： Er 1 P 2 1 P 2 522 护)2加)&

8、 U -k( a)2 2 即 n | kf (rad/s )，故 T w ?R2由 d (ET U) 0 可知:(I 巳R2)毅ka2 g 2.11弹簧悬挂一质量为ni的物体，自由振动的周期为T ,如果在ni上附加一个 质量mi,则弹簧的静伸长增加VI,求当地的重力加速度 解: QT 2 2 Q mig kVI kVI 4 2m VI T mi 2. 12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P , (b)与(c) 中每个弹簧的弹性系数为k/2 o (1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重 解：取系统的摆角为坐标，静平衡时 0 (a)若不计杆重，系统作微振动，则有: ET 由

9、d(Er U ) 0可知：一 L破PL 0 g 即:n J -(rad/s ) PgL(l cos ) 1 尹gL 如果考虑杆重，系统作微振动，则有: L )mLg (1 cos 2 (rad/s miL J 2卯丄2) ET m L)L2 & miL 2打刃 p m ( L)g 2 /p kL (rad/s ) (c)如果考虑杆重，系统補t振动, | (g -7JL 3 则有: U PgL (1 cos 由 CKETU ) 0可知：(目回儿2險 g 3 miLgL 0 2) (b )如果考虑杆重, 系统作微振动，则 有: ET p m ET 1 ( ) 3 皿 $ & 2g 3 L .L2

10、& 学(- 4 -1 (1)( 2 2 2 2 1) 2 2 miL g t mL (-寸$ L g 3 (rad/S ) 2. 13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与 x的关系式 答案: 方程 系统的运动微分 a 1 a b mX& 2 kx 0 2. 14 台电机重470N,转速为1430r /min,固定在两根5号槽钢组 成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长 1.2m,重65. 28N,弯曲刚度 E1 二 1.66 105N m2o Q）不考虑槽钢质量，求系统的固有频率； （b）设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率; （C）计算说明如何避开电机和系统的共振区 2.

11、15 一质量m固定于长L,弯曲刚度为EI,密度为的弹性梁的一端，如图所 示，试以有效质量的概念计算其固有频率 wL 7(3EI) 2. 16 求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为 Lo 解：假设U形管内液柱长I,截面积为A,密度为 为0,左边液面下降x时，有： ，取系统静平衡时势能 ET 一 Alx& 由d(ET U) 0可知: Alx& 2g Ax 0 即： n (rad/s ) , T 2 . 17水箱I与2的水平截面面积分别为 Al、A2,底部用截面为A。的细管连接 V 求液面 上下振动的固有频率。 解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降禺时，右

12、边液面上升X2,液体在水箱I与2和细管中的速度分别为)&,)&,)&,则有： ET 乂 Ai(h XJ1X&2 乂 A3L& : A2Q1 X2)X22 2 2 2 JA/ AsL(A1)2 Azh)2 2 AsAi -L _ 亠MP W 一 1 2 r Xo A? (由于：h X: h; h x2 h;Ap& A2X人 3炫 “ Xi X2 AXig -A2X2) 由 d(ET U) 0 可知：h(l A A1 g )L(石)腮 g(l )xi 0 A? 即：n (rad/s ) 2- 18 如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性 液体中振动。设Ti、T2分别为无阻尼的振

13、动周期和在粘性液体中的阻尼周 期。试证明： gATiTz 并指出的意义（式中液体阻尼力FCF 2AV） n Xn 个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.01、0.1、0. 3时振幅减小到50%以下 所需要的循环数。 解：设系统阻尼自由振动的响应为x(t)； t。时刻的位移为X。； tn to nT时刻的位移为Xn ；贝9： Xo Xe ncos ( dto ) e nnTd Xn Xe a(tnT) cos d(to nTd) 所以有：In勺 nnTd n nln西，即： Xn X- 当振幅衰减到5o%时，Xn o. 5xo,即：n In 2 In 2 1)当ooi时，n 11 ;要11个循环

14、;2. 19 试证明：对数衰减率也可用下式表示 -In也，(式中&是经过n hT Xn J- 2）当o1时，n 1. 1 ;要2个循环； 2. 20 某双轴汽车的前悬架质量为mi=1151kg ,前悬架刚度为 ki二1.02 10 5N /m,若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架 垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比 0.25,那么应给前悬架设计 多大阻尼系数（c）的悬架减振器？ 2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长 ，在上下运动时 所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最 低值。若物体在静平衡位置以初速度V。开始运动，求此后的运动规律。 解

15、：设系统上下运动为X坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动 微分方程为： P P X& cX& x g 系统的阻尼比： C C 2 . mk 2 f 系统不振动条件为： 1,即：c 2P/ 物体在平衡位置以初速度。开始运动，即初始条件为： XoO * 0 此时系统的响应为：（可参考教材P22） 1)当 1 时:x(t) e 5 旷 A2e 小) 2)当 1时：x(t) te 其中： A A2 即：x(t) ote B 3)当1时：x (t) e，(C; cos at C2 sin at) Ci 0 其中：C2 0/ d ,即:x(t) e ftt0 sin at AI,2 其中： n

16、o 1 2 X 2. 22 一个重5500N的炮管具有刚度为3. 03 105N /m的驻退弹簧。如 果发射时炮管后座12m,试求： 炮管初始后座速度； 减振器临界阻尼系数（它是在反冲结束时参加工作的）； 炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。 2.23 设系统阻尼比 0. 1,试按比例画出在 0.5、1.0、2.0三种 情况下微分方程的向量关系图。 2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的 关系，并计算当0.2、n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。 2. 25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv （其中c是常数，v是运动速度）, 激励为F F。sin

17、t,当n即共振时，测得振动的振幅为X,求 激励的幅值Fo。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的Fo 2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F 50cos t (N), =0. 20 s时共振，振幅为0. 005cm,求阻尼系数。 2 0. 20s时共振可知，系统固有频率为： n 10 n时，已知响应振幅：X E,(参教材P30 ) 5 系统在周期T 解：由T 当 所 以： X (Ngs/m) 2. 27 个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它 的最大势能的1.2%,试计算其结构阻尼系数 。 2. 28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。

18、 2. 29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即 2 Fa ax x 0 Fd QLX x 0 求其等效阻尼系数和共振时的振幅。 解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼 设系统的运动为：x(t) Xcos ( t ) /dx x&d (A H (w) w) (wt a | H (w) w(wt 鬻 wWsin0 ( t aw X X w 2(0) t(0) sin ( t )2 )d )dJ 1 H (w) wA sin(w t )ld x 3 ax sax X 8a x 2Ce 、3 2. 29 X X cos (t ) xdx 9 X X sin( t ) )(Xcos ( t )

19、dt Q o / 2 Wc 0 匕/ 2 x dx )(X cos ( t ) dt 2 2 2 0 2V2 2 / X sm ( t 2 / 2 2 2 / X sin ( t 3 8 sX WP Wc C X2 8aX 3 F- 3 Fo c SaP X 3F。:Saxwn 1 3 Fo 2W2 2a 8 Z 2 ? X ? x 0 Fd ?2 ? X x 0 9 T /4 2 e Fddx 4 x dx a T /4 9 4 0 3 X dx T /4 o 3 3 4 0 3 z COS (t 8 3 z 2 P c c z2 2. 30 KGI U电动机重P,装在弹性基础上，静下沉量为

20、 当转速为nr /min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为 A的强迫 振动。试求激励的幅值，不计阻尼。 2.31 电动机重P,装在弹性梁上，使梁有静挠度 。转子重Q,偏心距 为e。试求当转速为 时，电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。2 2.32 飞机升降舵的调整片较接 于升降舵的0轴上(图T 2. 32), 惯量为I,因而系统固有频率 nKl / I,但因kT不能精确计 算，必须用试验测定“为此固定升降 图丁 2 32 舵，利用弹簧k2对调整片做简谐激 励，并用弹簧ki来抑制。改变激励频率直 至达到其共振频率T。试以T和试验装置的参数来表示调整片的固有频率no 解：设调整片

21、的转角为，系统的微分方程为: I & ki (ki k2)L kzLy sin t 系统的共振频率为： 因此：ki I o (ki k2)L2 2 kT (ki k2)L 调整片的固有频率为: 2 kT 2 一* （k 厂 k2） 并由一联动装置控制。该装置相当于 一刚度为心的扭转弹簧。调整片转动 L2 n II ; I 2. 33如图所示由悬架支承的车辆沿高低 不平的道路行进。试求W的振幅与行进速 度的关系，并确定最不利的行进速度。 解：由题目 2. 33 T L w T 2 2V L y Yeos L t 99 wX K(x y) 99 w X KY COS 2 L t 9 Q w X K

22、x KY 9 V COS L t 2 wS X 2 V s KX s %KY /2 V、J W 4 :m KY等 X(S) (s: (F):) (ws: K) 22Y X -r-rsi na a n _ Y 1 (a/ V 2L k/w 233 家討n nt Y y 阴 2)2 0 1 (a/ f)2 1 4 Vw KL: T -W KL2 Tv L 99 mX KX Ky V2 RL: 2. 34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动（图T 2. 34） , =asin t。试求 在微幅的强迫振动中偏角 的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为mo 2. 35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1

23、6002200r/min 范 围的振动隔离，为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少？ 2. 36 试从式(2. 95)证明: 1.无论阻尼比 取何值，在频率比 / “2时，恒有X二A。 2. 增大而减小，而在 随增大而增大。 2. 37 某位移传感器同有频率为4.75Hz ,阻尼比 二0. 65。试估计所能测在 / n2, X/A 随 / n2 , X/A 量的最低频率，设要求误差w 1 %, 2 % 2. 38 位移传感器的固有频为率2Hz,无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐 振动，测得振幅为0132cm。问实际振幅是多少？误差为多少？ 2. 39 一振动记录仪的固有频率为仕二3.0Hz，阻

24、尼比二0.50。用其测量 某物 体的振动，物体的运动方程已知为 x=2. 05si n4 t+1. Osi n8 t (cm) 证明：振动记录仪的振动z将为 z = 1. 03sin(4 t-50 )+l. 15sin(8t120 ) (cm) 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零 h(t) m*e sin at h(t ) Bsin d(t ) h(t) m*sin dt h(t 2) m*sin a(t ) X(t) ； dcOS n(t )昔(COS nt) t Fiom: sin n(t ) d(t ) X(t) oFi(t)h(t )d t F2(t)h(t )d 2 COS n(t ti)靑1解: 2. 40 X(t) oFdt)h(t ) d ti F2(t)h(t