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文档简介
1、 解 由性质 6,我们有 1 + 1 1+ 1+ 1 = 1 1 1 Fn+1 , Fn 1+ O1 + 知 1 1+ 1+ 1 = 1 1 1 Fn+1 F 1 = n1 , Fn Fn 1+ O1 + 设上述含有 k 条分数线的繁分数的值为 显然 mk = Fk , nk = Fk +1 , 于是 mk , (mk , nk = 1 , nk m 2 + mn n 2 = F1988 + F1988 (F1988 + F1987 F1988 + 2 F1988 F1987 + F1987 2 2 2 = F1988 + F1988 F1989 F1989 2 1988 2 1988 2 2
2、 ( =F =F + F1988 F1987 + F F1988 F1987 F 2 1988 F 2 1988 2 F1988 F1987 F 2 1987 2 1987 2 2 = ( F1987 + F1988 F1987 F1988 = F1986 + F1986 F1987 F1987 = F2 + F2 F3 F3 = 1 + 1× 2 2 = 1 例 10 2 2 2 2 2 2 2 解 若 n mn m 2 2 ( (n 2 确定 m + n 2 2 mn m 2 2 2 2 的最大值,其中 m , n 为整数,且 m , n 1,2, L ,1981 , 。 = 1
3、 (第 22 届 IMO) = 1 的一组解 (m, n 1,2, L ,1981,那么 n 2 mn m 2 = ±1 从而 n = mn + m ± 1 m ,即 n m ,其中当且仅当 m = n = 1 时等号成立。 因此,在 (m, n (1,1 时, n m > 0 。 由于 n mn m 2 ( 2 2 2 = (n m 2 + m(n m m 2 = m 2 2 m(n m (n m 2 2 , 如果 (m, n 是满足上述条件的一组解,并且 (m, n (1,1 ,那么 (n m, m 也是满足上述条件 的一组解,等等。 由于满足上述条件的解有限,因
4、此进行有限步后一定可得到 (1,1 ; 15 反过来,由解 (1,1 可逐步得到满足上述条件的全部解(其操作过程为由 (m n, m 得出 (m, n ) 。 不 难 看 出 , 这 些 m, n 组 成 的 斐 波 那 契 数 ( 每 相 邻 两 个 是 一 组 解 ): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 因此 m + n 的最大值为 1597 + 987 = 3524578 。 例 11 现有长为 150cm 的铁丝,要截成 n(> 1 段,每段的长为不小于 1cm 的整数,如果其 此时有几种方法将该铁丝截成满足条
5、件的 中任意三小段都不能拼成三角形, 试求 n 的最大值, 。 n 段(第 17 届江苏省初三数学竞赛题) 解 欲使 n 尽可能的大,则每段长应该尽可能的小,又由每段的长不小于 1cm ,所以应从 1 开始分截,假定含有 1 的起始三段长为 1, b, c ,且 1 b c ,为了使这三段都不能构成三角 形,则 1 + b c ,又 b, c 尽可能的小,故取 b = 1, c = 2 ,于是这 n 段可分截如下: 2 2 2 2 1,1,2,3,5,8,13, LL ,这就是 Fibonacci 数列, 又因为 而 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 +
6、 55 < 150 , 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 > 150 , 故 n 的最大值为 10 ,将长为 150cm 的铁丝分成满足条件的 10 段共有如下 7 种方式: 1、1、2、3、5、8、13、21、35、61 1、1、2、3、5、8、13、21、36、60 1、1、2、3、5、8、13、21、37、59 1、1、2、3、5、8、13、21、34、62 1、1、2、3、5、8、13、22、35、60 1、1、2、3、5、8、13、22、36、59 1、1、2、3、5、8、14、22、36、58 例 12 在元旦
7、春节期间,某超市准备利用超大屏幕,反复播放一个广告节目,这个广告 节目每次播放的时间是 10 秒钟,如果开始只有一段 10 秒的录像带母带,若用两盘空白录像 带在一台录音机上相互转录,问应如何操作才能用最少的录制编数录制一盘可以播放一小时 的广告节目?(2002 年湖北省四通杯数学竞赛题) 解 1 小时=3600 秒, 3600 ÷ 10 = 360 (遍) 第一步:将母带上的节目录入第一盘空白带; 第二步:将母带上的节目录入第二盘空白带; 第三步:将第一盘的节目录入第二盘录像带; 第四步:将第二盘的节目录入第一盘录像带; 在第一、二盘录像带中反复录制,直到录入所需的时间长度为止。
8、我们用 ai 来表示第 i 步录入节目的遍数,则 a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, LL ,很显然, ai 构成了 Fibonacci 数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 ,由 377 > 360 ,可知连续操作 14 次, 16 即可录制一盘播放一小时的录像带。 结 束 语 本文通过对 Fibonacci 数列通项公式推导、展开及归纳总结,探讨了该数列所具有的若 干性质和规律。随着数学理论研究的不断发展,人们对该数列的探讨也将越来越深入,相信 会有更多的奇特性质被发现。 【参考文献】 【1】叶运佳. Fibonacci 数列
9、浅探J.数学通报,2003(3) :37-39 【2】张慧欣.也谈 Fibonacci 数列J.数学通报,2006,45(10) :62-63 【3】 林喜季.关于 Fibonacci 数列的性质讨论J.福建金融管理干部学院学报, 2001(2:44-48 【4】周苹濒.F-型数列的某些性质J.厦门数学通讯,1987(4) :3-6 【5】吴振奎. Fibonacci 数列M.沈阳:辽宁教育出版社,1987 【6】 蔡克、吴敏.黄金分割与 Fibonacci 数列J.九江职业技术学院报,2003(3) :60-61 【7】禾青. 趣谈 Fibonacci 数列J.高中数学教与学,2002(10
10、) :54-57 【8】刘培杰.数学竞赛中的 Fibonacci 数列问题J.中等教育,2005(4:4-6 【9】高宁、 张在明.用行列式讨论 Fibonacci 数列的几个性质J.玉流师专学报, 1994(3:3-4 【10】 徐长林.关于 Fibonacci 数列的一个重要性质及推广J.陕西教育学院学报,1993(2 【11】王竞波. 关于 Fibonacci 数列的研究J.沈阳大学学报,1995(4 【12】王国炳. Fibonacci 数列通项公式的妙用J.数学教学通讯,1994(1 【13】陈传璋.数学分析M.北京:教育出版社,1989 The Research on the Fi
11、bonacci series and its Application HU Qing-qing (Department of Mathematics ,Xi'an University of Arts and Science, Xi'an, 710065 Abstract: This paper discusses the model of the Fibonacci series, and then derives from of formulas. Using of series the links of the Fn series Fn Fn series series
12、is recursive formula, mathematical induction and other methods, is explored, and fourteen basic natures of Fn summarized .On these bases, the paper also gives the close link between the Fibonacci series and the golden section number, and then we get three important properties. These properties all reflect the role of change in the Fn series. Finally, as the application of these properties, combined with 17 sam
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