注重解题反思优化思维品质

1、注重解题反思 优化思维品质长乐吴航中学 刘礼义摘要：数学课程标准要求着重培养学生回顾自己思考过程的习惯，初步学会分析思维过程中的得失，了解反思的含义，经历反思的活动，初步形成反思的意识。数学教师要注重引导学生解题反思，优化学生思维的品质。关键词：解题反思 优化 思维品质 著名数学家乔治·波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”，他在怎样解题中将数学解题划分为四个阶段：弄清问题拟定计划实现计划回顾，这个过程中的“回顾”就是解题反思。解题反思是对整个解题活动深层次的思考，是再发现，再创造的过程。不少学生解答数学题时只满足于获得正确的答案，解题活动仅仅停留在经验

2、水平上，疲于“题海战术”。其实一个数学问题的解决，应该更深一步去挖掘“命题的意图是什么”、“考核了哪些的知识和技能，方法和思想”，“求解论证过程是否判断有据，严密完善”，“本题有无其他解法，哪一种最简捷”，“解法与结论是否具有普遍性，能否进一步推广”等。多角度，多层次对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索解决问题的规律。数学课程标准在“解决问题”这一基本目标中明确指出，要“着重培养学生回顾自己思考过程的习惯，初步学会分析思维过程中的得失，了解反思的含义，经历反思的活动，初步形成反思的意识”。教师要领悟和落实这一要求，进而优化学生思维品质

3、，促进学生思维发展。结合初中数学教学实践，谈谈我对解题反思的几点体会，请同行不吝赐教。一、反思解题疏漏，优化思维的严密性解数学题时往往有这么一种现象，对一些含有附加条件的问题，虽然简单易解，但是学生没有认真审题，未能充分考虑条件中隐含的深层含义，无法读取完整信息而造成解题失误。例1如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成一个中间隔有一道篱笆的长方表养鸡场。设养鸡场的长BC为x米，面积为y米2求y与x的函数关系式当长方形的长为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？易求得函数关系式，根据“二次项系数 a0，当时，二次函数y有最大值”得：当x=12时，y有最大值48。但

4、此时研究实际问题中的函数关系，没有考虑到定义域，忽略了附加条件“墙的最大可用长度为9米”，即在自变量的取值范围0 x 9内取不到x=12。所以正确的解答是要结合图象，从函数值变化的角度，才能确认当长方形的长最大值为9米时，养鸡场的面积最大为45米2。数学解题中出现的错误，常见于审题不清，概念模糊，忽视隐含条件，思维定势，套用相近知识，考虑不全面或计算出差错等。有知识缺漏造成的，有能力缺陷造成的，有思维逻辑混乱造成的，还有非智力因素造成的。反思解题疏漏，就能充分利用“错误中往往孕育着的比正确更丰富的发现和创造因素”，找出错误的根源，分析出错的原因，从而有效避免思维的片面性，养成严谨全面的思维品质

5、。二、反思解题思路，优化思维的缜密性由于学生的个体差异，总有部分学生即使在完成解题之后，仍然混混沌沌难以理清解题思路，因此，教师要示范并指导学生重视解题思路的回顾和梳理，概括解题思想，使解题途径清晰化，过程条理化。例2如图，矩形纸片ABCD中，将BDC沿BD折叠到BDC，BC交AD于点E，已知AB=6，BC=8，求折叠后重叠部分的面积。分析得知，只要求得DE的值即可求得重叠部分的面积，由折叠知识可知DBE=DBC，进而DE=BE，设DE=BE=X，则AE=8-x，在RtABE中，x2-(8-x）2=62，求得 ,从而SBDE =。折叠问题的实质是对称变化。学生通过观察，动手操作，比较等各种尝试

6、活动，容易发现题目中的等量关系，成功解答问题之后，教师引导学生回顾解题思路，明确解题依据，通过讨论交流归纳出解答折叠问题的共性同一线段或角在折叠前后对应相等，寻找图中非重叠部分的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。经过这样的概括，解题思路清晰且有条理，“解一题通一类”，学生再解答同类题时就能做到胸有成竹，提高思维的缜密性。三、反思解题方法，优化思维的灵活性数学解题是“三位一体”的活动有用捕捉，有关提取，有效组合。很多数学题有多种解法，教师要注重引导学生反思解题方法，根据题目的基本特征和特殊因素，认真反思解题过程有无思维回路，哪些过程可以合并或转换，从不同角度，不同方位，不同层次寻求不同的解题方

7、法，殊途同归。例3如图3-1，在ABC中，D是AB边的中点，ACB=90°，E、F是BC、AC上边的点，且EDF=90°，求证：EF2=BE2+AF2 求证式形如直角三角形的三边关系，因此要构造一个直角三角形，使它的三边分别与EF、BE、AF相等。这是问题的突破口。延长ED到G，使DG=DE，连接GF、AG，易证AG=BE（由AGDBED可得），EF=GF，GAF=90°，则FG2=AG2+AF2，即EF2=BE2+AF2。反思解法后可知，辅助线的作用就是将BE、EF、FA构成一个三角形，那么，是否还有其他的方法将这三边构成一个三角形呢？如图3-2，以DE、DF为

8、轴将BDE，ADF折起，折叠之后结论显而易见（EDF=90°，D是BC的中点，保证DB、DA折叠后能够重合）。更多的时候，最初的解法并不是最优的，所以，我们应在解题的过程中不断地反思解法，重视学生求异心理，满足学生“独树一帜”的渴求，充分挖掘和发展学生的自身潜能，改进既定方案，改善、丰富解题策略，抓住问题的关键，优化解题过程，寻求“最优”、“最快”的解法，让学生在不断感受因创新而带来的成功喜悦中，提高思维的灵活性。四、反思习题本质，优化思维的深刻性许多数学习题看似不同，但它们的内在本质是一样的，这就要求在解题中要重视对这类题目的收集、比较，反思它们的本质共性，去异求同寻求通法通解。例

9、4给出如下题组：题1：如图（1），A是CD上一点，DABC、DADE都是正三角形，求证CE=BD题2：如图（2），DABD、DACE都是正三角形，求证CD=BE题3：如图（3），分别以DABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE题4：如图（4），有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC题5：如图（5），P是正方形ABCD内一点，DABP绕点B顺时针方向旋转90°得到DCBP，若PB=3，求PP 上述题组中各小题都是将三角形旋转60°或90°，从而利用旋转的不变性使问题获得。由于借助旋转

10、变化进行数学语言表达有一定难度，因此一般都是利用正三角形、正方形的性质，为证明全等三角形创造条件，并利用全等三角形的性质进行进一步的计算或证明。教师要在教学过程中把这类题目成组展现给学生，引导学生反思习题特征，用自己的语言对习题进行重新概述，感悟它们的本质特征与内在联系，促进知识的正迁移，优化思维的深刻性。 五、反思习题变式，优化思维的发散性在数学解题训练中，变式是一种很常见的有效方法。所谓变式，是指对数学问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。这种变化，可以是改变条件或结论，也可以是结论与条件的互换，还可以是开放条件或结论。利用变

11、式，把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，形成一个有规律可寻的系列。数学教学中要特别重视对课本例题和习题的变式训练。数学解题的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过对例题或习题适当的“改装”或引申，把分散的知识由点串成线，积累知识组块，有利于知识的建构。例5如图（一）在DABC中，ÐB=ÐC，点D是边BC上的一点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。这是八年级数学课本中的一道习题。本题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SDABC=40

12、cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求得AB上的高为8cm. 解决问题后不要把求得结论作为终极目标，教师可进一步提问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系（学生猜想CH=DE+DF）。引出变式题1、如图（二），在DABC中，ÐB=ÐC，点D是边BC上的任一点，DEAC，DFAB，CHAB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF。在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。在学生思维的积极性充分调动起来的此时，教师可借机给出变式题2、如图（三），在等

13、边DABC中，P是形内任意一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。通过类比、引申结论或改变条件，教师给学生展现了习题变式的生成过程，引导学生经历了一个从特殊到一般，再从一般到特殊的思维过程，从而揭示条件、结论间的联系，透过问题表层，充分挖掘其内在因素，洞察问题元素间的深层关系，把握解决问题的关键，明确解决问题的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的能力，优化思维的发散性，提高学生数学解题乃至编题的能力。正如数学家弗赖登塔尔所认为，“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”。新课改数学教学中，教师注重引导学生解题反思能优化学生思维的严密性、缜密性、灵活性、深刻性、发散性，促进学生的思维升华到一个更高的水平，使学生获得深入学习所必