矩阵论的实际应用(朱月)

1、“矩阵论”课程研究报告科 目： 矩阵理论及其应用 教 师： 舒永录 姓 名： 朱月 学 号： 20140702057t 专 业： 机械工程 类 别： 学术 上课时间： 2014 年 9月至 2014年 12 月考生 成 绩：阅卷评语： 阅卷教师 (签名 相关变量的独立变换摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。正文一、问题描述在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于

2、应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述设系统的基本变量为X (x 1, x 2, ，x n ，各变量之间相关，则随机变量x 的n 维正态概率密度函数为1f (X =(2）|C X |式中2X cov(x 1, x 2 cov(x 1, x 3 cov(x 1, x n 12cov(x , x cov(x , x cov(x , x 21X 2232n C X =2cov(x n , x 1 cov(x n , x 2 cov(x n , x 3 X n-n2-

3、121-1exp -(X -X T C X (X -X 2(1称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素cov(x i , x j 是变量x i 与变-1量x j 的协方差，|CX |是协方差矩阵的行列式，C X 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X（X -X 是n 维列向量 及x 1X = ,x n 1X = ,n x 1-1X -X = x n -n 显然，当n=1时，有C X =2, 分布的概率密度函数。|C X |=2, -1C X =1/2即变为以为正态式（1）定义的n 维正态概率密度函数，必然存在一个正交矩阵A ，使对于n 维随机变量Y (y 1, y 2, , y n 有f x (

4、AY +X =(2 (12 n -n2-121n y i i exp -2i =1i 式中12, , n 是矩阵C X 的特征值，A 为正交矩阵，所以可以将相关的n 维随机变量X (x 1, x 2, , x n 变换为独立的n 维随机变量Y (y 1, y 2, ，y n 。具体过程如下：令Y =A T X式中A 的列向量等于C X 的特征向量。Y 的协方差矩阵为一对角矩阵01 C Y =A T C X A =n 0随机变量Y (y 1, y 2, ，y n 的均值可以由下式求出 E (Y =A T E (X 三、具体应用举例如图1所示的减速器为一由电机驱动的单级直齿圆柱齿轮减速器。已知其传

5、递功率P 为随机变量并服从正态分布，PN（6.26,0.626）kW ，小齿轮转速n 1=970r·min -1, 传动比i=4.48，输出轴与联轴器相连。大齿轮材料45钢正火处理，齿面硬度为167217HBS；小齿轮材料为45钢调质处理，齿面硬度为217255HBS。设计要求：在满足齿轮强度可靠度R 大于等于0.99，轴的强度可靠度R 大于等于0.999的条件下，传动系统可靠度最大。 1输入、输出轴强度的相关独立变换先考察两个相关随机变量45钢正火屈服极限x 1和45钢调质屈服极限x 2。其各值见表1，表2。 图1表1 45钢调质屈服极限统计变量数值 其均值矢量为E (X =E (

6、x 1, E (x 2=(379. 5, 512. 5 N mm -2协方差矩阵为2X cov(x 1, x 2 782. 2581. 761C X = 2cov(x , x 81. 761211. 2521X 2由C x 的协方差可知其特征方程为782. 25-81. 76=(782. 25-(1211. 25- -81. 762=081. 761211. 5-2-1993. 5+941118. 4=0解得两个根为1=767. 85，2=1225. 6表2 45 钢正火屈服极限统计变量数值从而可得特征向量为V 1=(0. 9843, -0. 1764 ，V 2=(0. 1764, 0. 98

7、43 。因此正TT交矩阵A 为0. 98430. 1764A =-0. 17640. 9843从而有不相关的随机变量Y =(y 1, y 2 为0. 9843-0. 1764x 1Y =A X =x 0. 17640. 98432T其期望值分别为E ( y1 = 0.9843´ 379.5 - 0.1764´ 512.5 = 283.1N · mm-2 E ( y 2 = 0.1764´ 379.5 + 0.9843´ 512.5 = 571.4 N · mm-2 Y 的协方差矩阵为 0 ù él 0 ù é782.25 Cy = ê = ú ê 1211 .25ú ë0 l û ë 0 û 45 钢 调 质 处 理 ， 正 火 处 理 的 屈 服 极 限 均 值 分 别 为 512.5N · mm-2 和 379.5N· mm-2， 它们是材料相同而热处理不同， 因此， 强度极限之间存在相关性。 屈服极限均值经独立变换后分别为 571.4N·mm-2