运筹学习题解答chap2解析

1、第二章对偶问题与灵敏度分析-、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,2.1(a)min Z2x1 2x2 4x3s.tXi 3x2 4x32%X23x3Xi4x2 3x32；3；5；N,X2 0, x3无约束.解：原模型可化为min Z 2x1 2x2 4x3s.tx1 3x2 4x32;-2xi - x? - 3x3-3；x1 4x2 3x35;yiy2y3x1,x20, x3无约束.于是对偶模型为max W 2y1 3y2 5y3y1 2y2 y32;3y1 y2 4y32;s.t4y1 3y2 3y34;03无约束.2、P89,2.1(b)max Z5x16x2 3x3%2x22x35;

2、5x2X33;s.t4为7x23X3&为无约束,x2 0,x30.解：令x3 x30原模型可化为max Z 5x1 6x2 3x3s.tx1 2x2 - 2x35;Xi - 5x2 - X3-3;4x1 7x2 -3x38;x1无约束,x20,X3yiy2y30.于是对偶模型为s.tmin W 5y1 3y28y3Y1 y2 4y35;y1 y2 4y35;2y1 5y2 7y36;2y15讨2 7y36;2y1 y2 3y33;2y1 y2 3y33;%无约束，y2,y30.y1无约束2,y30.二、灵敏度分析1、P92, 2.11线性规划问题max Z 3x1 x24x1 x27;

3、s.t5x1 2x2 10x1 ,x20最优单纯形表如下Cj3100CbXbbX1X2X3X43X14/3102/3-1/31X25/301-5/34/3j00-1/3-1/3试用灵敏度分析的方法，分析：（1）目标函数中的系数C1,C2分别在什么范围内变化，最优解不变？（2）约束条件右端常数项b1,b2分别在什么范围内变化，最优基保持不变?解：（1） C1的分析：要使得最优解不变，则需302,5Ci1 -331440Ci1 -3305即Ci 20Ci 45所以：2 ci 4时可保持最优解不变C2的分析：要使得最优解不变，则需2-3133 3o O3 4CC5-34-36一53 - 4所以：3

4、C26时可保持最优解不变(2) bi的分析：要使得最优基保持不变，则需2b -10B ib2/3-1/3bi3 05/34/3105bi 4032bi -100即3bi55bi 400b83所以：5 bi 8时可保持最优基不变b2的分析：要使得最优基保持不变，则需B 1b2/35/3-1/34/314-b27b2_335 4b2014-b2b21430即335 4b230bi354所以：b214时可保持最优基不变42、P92, 2.12已知线性规划问题max Z 2x1 x2 x3x-i x2 x36x-i 2x24Xl,X2,X30先用单纯形法求最优解，在讨论下列问题：(1) 目标函数中变量

5、x-.x2.x3的系数在什么范围内变化，最优解不变?(2) 两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变？增加一个新的约束 x- 2X22，寻找新的最优解。解：化标准型：捲 x2 x3 x46X! 2x2x5 4xi 0列表求解：Cj2-1100C BXbbX1X2X3X4X50X46【1】11100X54-12001j2-11002X16111100X51003111j0-4-2-30已得最优解X, 6,x5 10，其余变量均为0.(1)ci的分析：要使最优解不变，必须2 1 C103 1C10C114 0G0C2的分析：要使最优解不变，必须2 C2 2 0C2 2C3的分析：要使最优解

6、不变，必须3 C3 2 0C3 2(2) bi的分析：要使得最优基不变，则需B 1bbib1 0b2的分析：要使得最优基不变，则需Bib 1 ° 6601 1 b b 6b163、P92, 2.13已知线性规划问题max Z 3x 2x2为 2x262x1 x28s.t.-x1 x2 1x22x1fx20用单纯形法求解得最终单纯形表如下Cj320000CBXbbxX2X3X4X5X62X24/3012/3-1/3003X110/310-1/32/3000X5300-11100X62/300-2/31/301j00-1/3-4/300试用灵敏度分析的方法，分析：(1) 目标函数中的系数

7、Ci,C2在什么范围内变化，最优解不变？(2) 约束条件右端常数项b3,b4在什么范围内变化，最优基保持不变？(3) 增加变量X7，其在目标中的系数C7 4,P7 (1,2,3,2)T，重新确定最优解;(4) 增加一个新的约束Xi 3，重新确定最优解。解：(1)ci的分析：要使得最优解不变，则需c2c1 c302C 03334 0 f 2肌0433c14Ci11C1 4C2的分析：要使得最优解不变，则需3 02C23104 01C23 220C2C2(2) b3的分析：要使得最优基不变，则需B 1b331 2331 12 1331 0 b3431032 b323b32b4的分析：要使得最优基不

8、变，则需B 1b(3)231312313231130010b4P7B 1P7增加变量x7到最终表中,4310T 03b4b40142由于70,故需继续迭代找到新的最优解，详见下表:Cj3200004CBXbbX1X2X3X4X5X6X72X24/3012/3-1/30003%10/310-1/32/30010X5300-111040X62/300-2/31/301【2】j00-1/3-4/30012X24/3012/3-1/30003X131001/20-1/200X55/3001/31/31-204X71/300-1/31/601/21j000-3/20-1/20451所有的j 0，故得新的

9、最优解Xi 3, X2, X5, X7333(4)由于原解不满足Xi 3，故不是可行解。将新约束化为等式约束，即x1 x73将新约束加到原表中，列表用对偶单纯形法重新计算Cj3200004CBXbbX1X2X3X4X5X6X72X24/3012/3-1/30003X110/310-1/32/30000X5300-111000X62/300-2/31/30100X731000001j00-1/3-4/30002X24/3012/3-1/30003X110/310-1/32/30000X5300-111000X62/300-2/31/30100X7-1/3001/3【-2/3】001j00-1/3

10、-4/30002X23/2011/2000-1/23X1310000010X55/200-1/20103/20X61/200-1/20011/20X71/200-1/2100-3/2j00-1000-23511由上表知新的最优解X!3,X2-,Xs-,X6,x -222 23、P94, 2.16某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等等数据见下 表。要求：消耗疋额产品可用量ABC资源劳动力(h)635450材料(kg)3 14530产品利润(元/件)301040(1) 确定获利最大的产品生产计划；(2) 产品A的利润在什么范围内变化时，上述最有计划不需改变？(3) 如果设计一种新产品D

11、，单件劳动力消耗为8h，材料消耗为2kg，每件获利30元，问该种产品是否值得生产？(4) 如果原材料数量不增，劳动力不足时可从市场雇佣，费用为1.8元/h,问该厂要不要雇佣扩大生产？以雇佣多少为宜？解：(1)设A、B、C三种产品各生产X1.X2.X3件，建立模型如下:max Z 30x1 10x2 40x36%3x25x3450;劳动力约束s.t3为4x25x330;材料约束X1,X2,X30;求解该模型，得最优解X1 10,X2 0, X3 0，最大利润300元。最终表如下:30104000CbXbbX1X2X3X4X50X43900-5-51-230X11014/35/301/3j0-30-100-10104043C153C113C10；0；0.CiC1C1152240c124设A产品的利润为ci，则要使得最优计划不变，需即A的利润高于24元时不需改变生产计划。(3)设新产品D生产X6件，其资源消耗向量P6(