直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解 切线的概念，理解切线与过切点 的半径之间关系；会过圆上一点 画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切 线；能利用直线和圆的位置关系 解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的槪念会根据切线长知识解决简单问题1. 理解直线与圜的位置关系：2. 能够证明切线及利用切线解决相关问题.模版一 直线与圆位潼关系的确定设OO的半径为,，圆心O到直线/的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定狡性质及判定相离直线与圆没有公共点.o直线/与G»O相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的

2、切线，唯一公共点叫做切点.d = r O直线/与OO相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线. V / o直线/与(2)0相交二、切线的性质及判定1. 切线的性质(1) 定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2) 注意：这个定理共有三个条件.即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过國心，过切点=> 垂直于切线.过圆心，过切点M,則丄/ 过圆心，垂直于切线=>过切点.过圆心，AB丄則过切点M. 过切点，垂直于切线=> 过圆心丄过切点M,则M过圆心2. 切线的判定(1) 定乂法：和

3、圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2) 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3) 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：定理的題设是or经过半径外端笃“。垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是'直 线是圆的切线：因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂 直；作垂直，证垂直在圆上.3. 切线长和切线长定理(1) 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圖的切线长.(2) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角.三、三角形的内切圆1.

4、三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形.2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a、b、e分别为/ABC中、A、ZC的对边，面积为S,则内切圆半径为r = -,其中【例1】如图，已知。O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，003 = 45。，点P在数轴上运动, 若过点P且与Q4平行的直线与0O有公共点，设OP = x,则x的取值范围是B一迈WxzJID x>>j2【难度】3【解析】考察根扌居直线与圆的交点

5、状况判斷圆与直线的位置关系.有公共点，说明是相切或相交两种状态, 所以P运动到直线与圆相切的状态便可.但还要考虑OP是线段长厦且非负，而p在数轴上运动, 所以答案是A【答案】A【例2】RUABC中，ZC = 90% AC = 3cm, BC = 4cm,给出下列三个结论：以点C为圆心，3 cm 长为半径的圆与加相离：以点C为圆心，4cm长为半径的圆与M相切；以点C为圆心， 5cm长为半径的圆与加相交.上述结论中正确的个数是()A. 0个 B1个 C. 2个 D. 3个【难度】3星【解析】考察根据圆心到直线距离结合半径判斯直线与圆的位置关系.同时还用到了直角三角形利用面积 法求斜边上高，所以选B

6、.【答案】B【巩固】在RIA4BC中，ZC = 90% AC = 12cm, BC = 16cm,以点C为圆心，为半径的圆和初有怎 样的位置关系？为什么？(1) r = 9cm: (2) r = 10cm： (3) r = 9.6cm.【难度】3星【解析】过C作CD丄于D,则 Ssabc =AC BC = AB CD.V AC = 12cm, BC = 16cm, ZC = 90°, AB = JaL + BC，=20(cm), 1x12x16 =丄 x20xCD 2 2:.CD = 9.6(cm)(1) 当 r = 9cm时，CD>r , :. AB 与 0O相离；(2) 当

7、 r = 10cmDt, CD<r , :. AB 与 0O相交：(3) 当 r = 9.6cm 时，CD = r , :. AB 与 0O相切.【答案】(1)当r = 9cm时，AB与<30相离：(2)当r = 10cm吋，AB与OO相交；(3)当r = 9.6cm时, AB与0O相切.3【例3】如下左图，在直角梯形ABCD中，AD/BC, ZC = 90%且AD + BC, AB是G>O的直径, 则直线CD与OO的位置关系为()A.相离 B.相切 C.相交D.无法确定【难度】3星【解析】过O作OM丄CD于可知，OM为直角梯形ABCD的中位线， ：.OM=(AD + BC)

8、92 AB>AD + BC 9:.LaB>-(AD+BC)92 2：.om<-ab92直线CD与OO的位置关系为相交，故选C 【答案】C【巩固】如图，是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作OO的切线加儿 朋丄BC = 10> 込4,那么直线CE与以点。为圆心，詁半径的圆的位置关系是【难度】4星【解析】连结OD交CE于Fo9： AD是切线 ：.OD丄AD胡丄 D4, OD / ABV BC 是直径，BE 丄 CE,即 ZBEC = 90°:OD丄C£ F是CE中点"四边形ADFE是矩形.:.CE = 2CF = 2AD = 8在 RZC

9、E 中，ZfiEC = 90°, BEhjBC'-CE2 =6OF = LbE = 3,2以点O为圆心，仝为半径的圆与直线CE相离.2点评：看切线连半径是我们处理切线问题的“通法这一点需要反复强调，使学生牢记于心. 【答案】相离模版二切线的性质及判定b作垂直证半径【例4】已知：O为ABAC平分线上一点，OD丄于D,以O为圆心.以OD为半径作圆O.求证：OO 与AC相切.【难度】3星【解析】证明与切线有关的问題的辅助线一般有如下两种: 已知直线过國上某点，那么连接该点与圆心.如第(1)题： 如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线. 【答案】如图所示，过O作OE丄A

10、C 9垂足为EO为ZBAC平分线上一点，OD丄AB于D:OE = OD,:.0O与AC相切.【巩固】如图，AABC为等腰三角形，AB = AC, O是底边BC的中点，0O与腰初相切于点D ,求证AC 与OO相切.【难度】3星【解析】略【答案】解法一:连结OD,过O点作OE丄AC于E9： AB = AC 9 :. ZB = ZC9TO 是 BC 中点，：.OB = OCOO与AB相切于D, ：.OD丄ABI ABODSCOE , OE = OD,V丄 AC9 AC与OO相切.解法二：连结OD、OA9过O点作OE丄AC于E9： AB = AC 9 O是 BC 中点， AO平分 ABAC.OO与AB

11、相切于D, ：.OD丄ABTOE 丄 AC 9 :OD = OE,:.AC与0O相切.歹连半径证垂直证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题，证明的基本方法有：(1) 利用定艾，证明直线与圆只有一个交点：(2) 当所证直线与圆有一个公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直：(3) 当所证直线与圆没有确定的公共点吋，过圆心作直线的垂线，证明國心到直线的距离等于半径。 总结：连接圆心与切点是一条常用辅助线，由此可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用。求值：圆的证明大题第二问通常是考到了求线段的长度，求值的基本方法有：(1) 设出要求的线段，然后找出直角三角形，利用勾股定

12、理列出方程求出线段的长.(2) 找出相似三角形，利用边的比例求出线段的长，这种方法的应用在一二模和中考中用的非常多。必 须要熟练掌握。(3) 牵涉到了锐角三角函数时，需要利用相等的角转换，然后利用三角函数去求解。(4) 利用射影定理，或切线长定理求解【例5】(10年海淀二模)已知：如图，点C在以为直径的<3 0上，点D在初的延长线上, ABCD = ZA.(1) 求证：CD为OO的切线；(2) 过点C作CE丄初于£.若CE = 2,cos£> = ?求0O的半径.【难度】3星【解析】（1）证明：连接CO. AB是OO亘径,:.Z1 + ZOCB = 90

13、6; AO = CO,: Z1 = ZA V Z5 = ZA, Z5 + ZOCB = 90° 即 ZOCQ = 90°: OC丄CD又I OC是00半径，I CD为G>O的切线.(2) V OC丄 CD 于 C ,: Z3+ZD = 90。V CE 丄 AB 予 E, Z3 + Z2 = 90° Z2 = ZD:.cosZ2 = cos£).在OCD 中，ZOCD = 90CF:.cosZ2 = ,CO4V cosD = -, CE = 2,5 24 CO 5 CO = Z2A 0（?的半径为？2 【答案】见解析【巩固】（10年朝阳二模）已知：如

14、图,AB是OO的直径,AB二AC, BC交00于点D,延长CA交0O于 点F,连接DF, DE丄CF于点E.（1）求证：DE是00的切线：（2）若 AB=O. cosZC = ,求 EF 的长.c【难度】3星【解析】(1)连接OD ：OB=OD, AZB=Z1. 9：AB=AC. : AZ1=ZCJ.OD/AC:DE丄CF 于点 E, :. ZCED=90Q.Z0DE=ZCED=9(y :. DE 是0O 的切线.(2)连接AD 9AB是00的直径，4: ZADB=90° / cosC=cosB=59：AB=IO, BD=ABcosB=8 VZF=ZB=ZC.4:.DF=DC=S 且

15、 cosF=cosC=5,32在 RtA DEF 中，EF=DF cosF=【答案】见解析【拓展】(10四城一模)如图，ABC内接于QO. AB = AC，点D在O O上，AQ丄于点A, AD与 3C交于点£,点F在D4的延长线上，AF = AE(1) 求证：BF是0O的切线；4(2) 若AD = 4, cosZABF = -,求BC的长.5I)o.liE【难度】3星【解析】(1)如图，连结D.I AP丄初，： DB是©O的直径. Z1 + Z2 + ZD = 90。AE = AF 9: BE = BF, Z2 = Z3 9： AB = AC 9:.ZD = ZC = Z2

16、 = Z3 Zl + Z2 + Z3 = 90° 即OB丄BF于B 直线是OO的切线.(2)作AG丄BC于点、GV ZD = Z2 = Z3 4cos ZD = cos Z3 =-54在 RtAABD 中，ZZMB = 90°, AD=4f cosZD = -,5:.加=少_=5, AB = yBD2 - AD2 = 3 cosD4在 RtAABG 中，ZAGB = 90°, AB = 3, cosZ2 = -,12 BG = ABcosZ2 = 5V AB = AC 924： BC = 2BG = 5【答案】见解析【例6】(10年西城二模)如图，在CBC中，AB

17、=AC,以AB为直径的0O分别交BC、AC于点/X E, 连结EB交OD于点F.(1)求证：OD1.BE：11(2)若吩仙斗求胚的长.I【难度3星【解析】(1)连结ADTAB是00的直径，A ZADB=ZAEB=90Q. V AB=AC,:DC=DB 0A=0B, :.0D/AC ZOFB=Zi4EB=90°：.0D丄BE.(2)设AE=x.由:.BD = ED=1 (1)可得Z1 = Z2,：0D 丄 EB , :.FE=FB.在 RtADFB 中,在 Rt/XOFB 中,DF=0D-0F=_ 丄x4 2BF? =DBDF2 = Cf_(_Lxf24 2BF2 = OB'-

18、 OF2 = (-)2 -(lx)2 42将)抨33解得%=-,即AE=22 2【答案】见解析【巩固】(10年密云一模)如图，等腰三角形ABC中，AC = BC = 6. AB = S以为直径作0。交AB 于点D，交AC于点G, DF丄AC,垂足为F,交的延长线于点E(1) 求证：直线£F是0O的切线：(2) 求sinZE的值.A【难度】3星【解析】（1）证明：如图，连结CD,则Z3DC = 90。.:CD 丄 AB J AC = BC9 AB = BD D是AB的中点.TO是3C的中点，A DO/AC V EF 丄 AC 于 FA EF/DO EF是0O的切线.(2)连纯BG ,

19、V BC是直径， ZBGC = 9(f = ZCFE:.BG EF 小FC CGEC BCHCG = x9 0»MG = 6-x 在 RtABG4 中，BG2 = BC2 - CG2 在 RtABGC 中，BG2=AB2-AG2 6 x2 =8 一 (6 A')"2解得欠=二32即CG = =3在RtABGC中sin ZE =BC3 =16 9【答案】见解析【例7】（10年昌平一模）已知：如图，点D是00的直径C4延长线上一点，点B 在0O上，且OA = AB = AD.（1）求证：3D是OO的切线：若点£是劣弧BC上-点，汕与BC相交于点F,且葩仏 &q

20、uot;A洋O的半径长.R【难度】3星【解析】（1）证明：连接03.9：OA = AB.OA = OB9 :.OA = AB = OB. AABO是等边三角形.R ZBAO = Z1 = 60°.V AB = AD, :. Z£)= Z2 = 30°.A Zl + Z2 = 90°. :.DB 丄 BO 又点B在00上，:.DB是00的切线.(2)解：C4是0O的直径， ZABC = 90。在 RtAABF 中, tan ZB FA = = ,BF 2/.设 AB = 5x,则 BF = 2x,A AF = yjAB-v BF2 =3x . BF _2乔

21、一§ZC = ZE, Z3 = Z4 ：WFE s AAFC.BE _BF _2* AC_7f_3 BE = 8, AC = 12 ：AO = 6.【答案】见解析【巩固】（10年石景山一模）已知：如图，为OO的直径，弦AC/OD, BD切OO于B,联结CD.（1）判断CD是否为OO的切线，若是请证明；若不是请说明理由.（2）若 AC = 2,OD = 6.求0O 的半径.A【难度】3星【解析】(1)判斷：CD是oo的切线 证明：联结OC J AC/OD： ZA = ZBOD、ZACO = ZCOD : OA = OC:.ZA = ZACO :. ZBOD =乙CODI OB = OC

22、, OD 为公共边:aODm'COD :.ZB = ZOCD / BD是OO的切线,AB为直径 Z ABD = 90° ZOCD = 90° /. CD是 G)O 的切线(2)联结BC艾OD予EI CD和3Q都是OO的切线:.CD=BD9 乙CDO = ABDO:.BC 丄 OD、BE = CE , ZOBD = 9QP ：氐OBEs 氐ODB OB. ODOF=OB 由 BE = CE,OA = OB得OE为SABC的中位线oe=Lac=罕=需得OB = ±A（舍负）0O的半径为A【答案】见解析【巩固】（10年顺义二模）如图，AB是0O的直径，BD交OO

23、于点C, AE平分ABAC. EF丄A3,垂 足为F, ZD = ZCAB(1) 求证：AD为OO的切线：4(2) 若sin£)= , AD = 6 > 求 CE 的长.【难度】3星【解析】(1)证明：TAB是QO的直径， ZACB = 90° ZCAB + ZB = 90°.V ZD = AC AB , AZD + ZB = 90°. :.ADAB = 90°.为(DO 的切线.4(2)解：V sin D = 9 AD = 6 ,在 RtAACD 中，CD = 24AC = ADsinD = 5在 Rt /DAB ,sinD =AB 4

24、43 = 8, DB = 0.9：AE 平分 ABAC,EF丄AB, ZACB = 90°, :CE = EF设 CE = EF = x91 Q则 BE = 10_ _jc： ZEFB = ADAB = 90。，AB = ZB9 :./BEF s HBDA EF BE''DABD'10-1-X 即兰=6 10 一12 兀一.512 即(7E的长为一5【答案】见解析 【例8】(09年中考)已知：如图，在ZiABC中，AB二AUAE是角平分线，BM平分ZABC交AE于点 M,经过B.M两点的0O交BC于点G交AB于点EFB恰为0O的直径.(1) 求证：AE与0O相

25、切：(2) 当BC=4.cosC=l时，求OO的半径.3【难度】3星【解析】(1)证明：连接OM ,则= Z1 = Z2 平分 Z1 = Z3 , Z2 = Z3 OM BC ZAMO = ZAEB 在/ABC中，AB = AC角平分线.AE丄BC .ZAEB = 90° ,ZAMO = 90° ,OM 丄 AE、 AE与0O相切.(2)在/ABC 中，AB = AC是角平分线. be=Lbc ,ZABC=ZC2V BC = 4 ,cosC = l在 AA施中，3BEAAEB = 90° , AB = = 6cos ZABC(2)在/ABC中，AB = AC ,A

26、E是角平分线.:.BE = LbC , ZABC = ZC 2V BC = 4 ,cosC = l 在ZMBE中，3BEZjEB = 90° 9 AB = 6 cos ZABC设OO的半径为八则AO = 6-r:.OM /BC , AAOM s八ABE , OM AOBE AB【答案】见解析【巩固】已知：如图，在RtAABC中，ZC = 90，点O在A3上，以O为圆心，OA长为半径的圆与 AC, A3分别交于点£）, E.且ZCBD = ZA（1）判断直线与OO的位置关系，并证明你的结论；c（2）若AD-.AO = S.5, BC = 2,求3D的长./【难度】3星【解析】

27、（1）直线BQ与0O相切.如图1,连结OD-OA = OD, ZA = ZADO. ZC = 90 ,:.ZCBD+ ZCDB = 90 . 又 ZCBD = ZA ,:.ZADO + ZCDB = 90 .:.ZODB = 90 直线BD与OO相切.（2）解法一：如图1,连结DEv AE 是 0O 的直径，ZADE = 90 . AD: AO = 8:5,4 AD 4cos A =AE 5v ZC = 90 , ZCBD = ZA,BC 4cos ZCBD =BD 5BC = 2,:. BD = -2【答案】见解析1已知Z4BC = 60。，点O在ZABC的平分线上，OB = 5cm,以O为圆心3cm为半径作圆，则OO与BC的位宜关系是【难度】2星【解析】结合直角三角形30。所对直角边是斜边一半求出O到直线BC的距离，从而根据圆半径判断直线 与圆的位置关系，答案是相交.【答案】相交2. 如图，以等腰AA3C中的腰为直径作OO,交BC于点D.过点D作DE丄AC,垂足为E（1）求证：DE为0O的切线