灰色系统GM1,1模型适用范围拓广

1、1999年1月系统工程理论与实践第1期灰色系统GM(1,1)模型适用范围拓广 a 李希灿(山东水利专科学校，山东泰安271000)摘要 研究了灰色系统GM(1,1)模型在建模过程中由于原始数列乘以不等于零的 常数对模型值及预测值的影响，得出GM(1,1 )模型完全适用于负数据序列建模的结 论.关键词灰色系统模型灰色参数Wide nin gofSuitableLimitsofGreySystemGM(1,1)ModelLiXica n(Sha ndon gHydraulicE ngin eeri ngCollege,Taia n271000)AbstractIn thispaper,westud

2、ythefactthataco nsta ntwhichmultipliesalldatai nthecoarseserieswouldin flue ncethevaluesofmodela ndpredictio n.TheresultthatGM(1,1)modelissuitableto negative dataseque nceisobta in ed.Keywords greysystem;model;greyparameters1引言设有时间数据序列X(0)X(0)=x(t) t=1,2,n=x(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)t对X(0)作一次累加生成(1-AGO)

3、,令x(1)(t)=6x(0)(k),得生成数据序列X(1)k=1X(1)=x(1)(t) t=1,2,n=x(1)(1),x(1)(2),x(1)(n)n=x(0)(1),62x(0)(k),x(0)(k)k=16k=1利用序列X(1)可建立如下白化方程(1)+(1)dtaX=u式中,a,u为灰色参数.按最小二乘法求解(a,u)T=(BTB)-1BTYNa本文于1997年7月15日收到? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(1)(2)(3)98系统工程理论与实践-B=1999年1月(x

4、(1)(2)+x(1)(1)2(x(1)(3)+x(1)(2)211-YN=(x(0)1(x2(1)(n )+x(1)( n-1)(2),x(0)(3),x(0)(n)Taa求出a,u后，解式得微分方程xS (1)(k)=x(0)(1)-e-a(k-1)+(5)对xS (1作 一次累减生成，即得x S (0序列S () S () S ()x0(k)=x1(k)-x1(k-1)xS (0)(k)=x(0)(1)-a(1-ea)e- a(k-1) 因此，给定原始数据序列 式，由式(2),(3),(4),(5),(6)即可建立GM(1,1)预测模型. 但GM(1,1)建模时一般要求 式必须为 非负”

5、数列.随着灰色理论研究的不断发 展,GM(1,1)模型应用越来越广泛，如变形观测中，利用监测网的多期观测数据建立 GM(1,1)模型进行变形预测等，当时间数据序列为高差时，就可能为负数据序列那么 负数列是否能直接用于建模呢？为此本文加以讨论.首先导出灰色参数的显式表达 式，由此对原始数据序列乘以不等于零的常数对预测结果及精度影响加以讨论，得出GM(1,1)建模完全适用于负数据序列的结论.2原始数据序列乘以不等于零常数对GM(1,1)模型参数及预测值的影响设原始数据序列式乘以常数KO,KOM0生成新的数据序列丫(0)Y(0)=K0x(0) (1),K0x(0)(2),K0x(0)(n)X y(0

6、)(1),y(0)(2),y(0)( n)对数列丫(0)类似式(5)建模ys (1)(k)=y(0)(1)-ea1a1(k-1)+a1(8)式中a1,u1为灰色参数，即-1T(a1,u1)T=(BTB1Y11B1)(9)其中-B1 =(y(2)+y(1)(1)2(y(1)(3)+y(1)(2)211-(y(1)( n)+y(1)( n-1)21S (1)(k)=K0x S (1首先有下面的命题成立可以证明,y2T命题1 BT1B1 =K0 BB()()()丫仁(y0(2),y0(3),y0(n)T证记bi=-x(1)(i)+x(1)(i+1)2? 1995-2005 Tsinghua Tong

7、fang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 第1期灰色系统GM(1,1)模型适用范围拓广=-61x(0)(j)-(0)(i+1) i=1,2,-nj=12x则 bl 1n-11 bbi2biBTB=1b2 bn-121 i=16n-i=1111b6n-1 bbin-1 n-16i=1 其中6n-1n-1ibi=-(0) (j)+ (0i=16 i=16 j=12x) (i+1) n=-(n-1)x(0)(1)6 n-i+(0) i=22x(i) 6 n-1n-112 bi2x(0)(j)+2 x(0)(i+1)i=1 6i=1 6j=1n=

8、(n-1)(x(0)(1)2+2x(0)(1)6n-i+0)i=22x(i n+6n-i+(x(0)(i)2+)x(0)(i)x(0)(j) i=242<6(2n-2j+1ivj <n由(10)式得n-1n-1n-1BTB =( n-1)6bi2-b2i=(n-1)(bi-入 b)2i=16i=16i=1其中入b=n-16n-1bi.所以当b1,b2,b-1不全相等时,BTB >0.i=1由(13)式及(11),(12)式,经化简整理得nBTB =6(n+2-i)i-n-(0)i)2i=242(x(+6(2n-2j+1)i-3n+3j- (i)x(0)(j)i<j<

9、;n2x(0)2如理nBITB1 =6(n+2-i)i-sx le vu8eL-uq:cxlqLqL 上(l)(l¥s(l) xqVU9>_L8L 丄 8_L8He-¥(0匸-(寸)曲 u.:07上-(l.')(l)x(d(l)xh(d(0) xaeHLe 報aCXI眾<1.8_L8 oCXIyH L8 匚 8e¥(9L)-(寸 L)p)曲(0)ACXIV一 VCXI(D(OM(D 治+ue.'(L+ucxl)9+G寸CXI上 CXI§(O)A)Ux(1)(2)6i6n-1b2 x(1)(n)-x(1)(n-1)i=1i=1?

10、 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.99(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)100系统工程理论与实践1999年1月BBT n-1bi66 n-1i=1 n-1 bib2ii=1 (x(1)( n) )2-2 (x(1)(1)2 (16)6n-1 i=16(i)(i)2nx(0)(i)i=2由式(11), a= BB TT-(i) n266nnxx(0) )2i=1n 6b61 i=1n-1 n x(0) (i) i=2BB n(0)22(n-1)xx(0) (x(0)(

11、1)2+i+ i=16x i=2 (0)(0) (1)+6 n (n-(0) i=2 )x(0)(i)2 (17)B TB 6(i) i=2 6i=22n-i+1x(i)同理a1 =B1B1T6y(0)(i)i=26ni=22-i+1y(0)(i)(18)由式及命题1,(17),(18)式得a仁a.证毕.命题3 u仁KOu证由(16)式及(11),(12)式u=BBTT66nnxx(0)(i)(i)4 i=2n 6n-1bi+2i=126n-1bi2i=16nx(0)(i)(1)2-n(x(0)(1)2n-i+i=1BB(0)(n-1)(x(0)(1)+2x(0)i=26i=22(0)(i)+

12、 -6ni+(x(0)(i)2+x(0)i=22 < i<j <n6(2 n-2j+1)x(0)(i)x(0)(j)(i)222x(0)(1)6nn(i)+i=26nn x(0)Xn-1)x(0) (1)+ i=26 n n-i+ i=22x(0)(i)经整理化简后,u=ax(0)(1)+6x(0)T(i)BBn6 i=22(x(0)(i)2+ 2< i<j <n6n+2j+22x(0) (i)x(0)(j)(19) 同理u1=a1y(0)(1)+6yT(0)(i)B1B16n i=22(y(0)(i)2+ 2< i<j <n6n+2j+2

13、2y(0)(i)y(0)(j)(20)由,(19),(20)式及命题1,2得u仁K0u.证毕.由(5),(8),(7)式及命题1,2,3可得S () $ ()y1(k)=K0x1(k)(21)证华.即常数乘以原始数列后的模型计算值等于常数与原始数列建模的模型计算值 的乘积.S (1)(k缩小K0倍就等于以原由(21)式可知,Y(0)序列建模的模型值及精度是序列 x(0)建模的K0倍,y始序列X(0)建模的模型计算值.(21)式的实践意义是：对于给定的时间数据序列建立 GM(1,1)模型，采用不同单位建模，模型精度是相同的S (1k)=-x S (1)(1推论当 K0=-1 时,y? 1995-

14、2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(22)第1期灰色系统GM(1,1)模型适用范围拓广101S (1)(1亦为x S (1)(1的相反数.因此，对由(22)式，当X(0)为正数列时，丫(0)为对应的负 数列，模型计算值y于负数据序列(序列中数据全为负数)也可以直接用于建立GM(1,1)模型.3应用非负”数据序列拓广到负数据序列，具有重要的理论与实践意义，主要表GM(1,1)模 型的建模条件从现在两方面1) 用于负数据序列建模设给定的负数据序列丫(0)=y(0)(1),y(0)(2),y(0)正数据

15、序列X(0)=x(0)(1),x(0)(2),(0)(0)(0)(0)x(n),满足y(k)=K0x(k),且K0=- 1,k=1,2,则丫建模有两种方法：S (1)(k由式(7),(8),(9)得 yS (1)(k即 y S (1)(k)=K0x S (由(5),(21)式得 y显然,GM(1,1)建模条件拓广到负数据序列，为负数据序列直接建模提供了理论基础2) 用于GM(1,1)模型优化GM(1,1)模型优化就是对于给定的数据序列，寻找模型精度最优的灰色参数 a,u文 献1证明了原始数据序列中每一数据增加同一常数 a0对GM(1,1)模型值及预测值 均有影响，取不同的a0进行模拟计算，寻找

16、模型精度最好的a0就得到优化的GM(1,1)模型.由于GM(1,1)建模时原来要 求原始数据序列必须为非负的，所以原始数列加常数a0后仍必须满足非负条件.这 就极大地限制了优化的范围.GM(1,1)建模条件由正数据序列拓广到负数据序列，就 克服了这种局限性下面以实例加以说明已知原始数据序列X由(2)(5)式(0)Xx(0)=230,226,220,218,214,208,201 0.02189119(k-1)S (1)(k)=10455.72e令残差 q(0)(k)=x(0)(k)- x S (0)(k)得残差序列q(0)+10685.72显然原点误差相对来看较大，为此进行模型优化，取后验误差

17、C,绝对平均误差 ?原点误差E0、残差E、方差P、关联度G作为衡量模型精度的指标，取不同的 a0模拟计算，各项指标列于表1.表1GM(1,1)模型优化指标表a0=0,-0.40,-1.50,1.30,1.99,0.58,-1.93 数列类型正正正正正负负负C?E1.04471.04461.09951.16451.81040.57580.81680.9944E0P1.25561.25551.31521.39262.53980.92221.03361.2030G10005000-100-200-233-300-10000.13500.13500.14140.14970.27240.09920.11

18、110.1293 -1.7812-1.7734-1.9287-2.123-5.24640.0297-1.2329-1.65620.55460.55460.55020.55030.68350.73390.60480.5587从表1可见,a0=-233时模型精度最高.故 a0=-233时得到GM(1,1)优化模型.而 a0=-233 时数列为负数据，因此GM(1,1)建模条件未拓广时无法得最优化的模型.最后确定 GM(1,1)模型为S ()()x1(k)=-30.00606e0.257818k-1+260.00606 (下转第105页)? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 第1期就业乘数新算法探讨表3新旧方法计算结果对比旧方法一、 各部门就业乘数11农业 21工业 31建筑业 41运输邮电业 51商业饮 食业 61其他服务部门 71居民收入 平均二、平均就业增加量1.14L(I-A)-1FCL3105