切线方程与切点弦方程

1、切线方程与切点弦方程、圆的切线方程、圆的方程为 :(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 1. 已知：圆的方程为 :(x - a)2 + (y - b)2 = r2, 圆上一点 P(x0, y0)。求过点 P 的切线方程解：圆心 C(a, b);直线 CP 的斜率：ki = ( yo- b)/( xo- a)因为直线CP与切线垂直，所以切线的斜率：k2 = -1/ki = - (xo - a) / (yo - b)根据点斜式 , 求得切线方程：y - yo = k2 (x - xo)y - yo =- (xo - a) / (yo - b) (x - xo)整理得： (x -

2、xo)(xo - a) + (y - y o)(y o - b) = o(切线方程公式 )展开后: xox - ax + axo + yoy - by + byo - xo2 - yo2 = o(1)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程：(xo - a)2 + (yo - b)2 = r2化简: xo2 - 2axo + a2 + yo2 - 2byo + b2 = r2移项: - xo2 - yo2 = -2axo - 2byo + a2 + b2 - r2(2)由(2)代入(1), 得： xox - ax + axo + yoy - by + byo + (-2ax o - 2byo +

3、a2 + b2 - r2) = o 化简： (xox - ax - axo + a2) + (yoy - yb- byo + b2) = r2 整理： (xo - a)(x - a) + (y o - b)(y - b) = r 2变式-1 已知:圆的方程为 :(x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 圆外一点 P(xo, yo)二、对于圆的一般方程 :x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 过圆上的点的切线方程 .2.已知:圆的方程为 :x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 圆上一点 P(xo, yo)解： 圆心 C( -D/2,-E/2 )直线 C

4、P 的斜率:ki = (yo + E/2) / (x o + D/2)因为直线CP与切线垂直,所以切线的斜率：k2 = -1/ki = - (xo + D/2) / (y o + E/2) 根据点斜式 , 求得切线方程：y - yo = k2 (x - xo)y - yo =- (xo + D/2) / (y o + E/2) (x - xo)整理得 ：xox + yoy + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Eyo/2 -xo2 - yo2 = o(3)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程:xo2 + yo2 + Dxo + Eyo + F = o 移项： - xo2 - yo2

5、 = Dxo + Eyo + F由(4)代入(3),得：xox + yoy + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Eyo/2 + Dxo + Eyo + F = 0整理,xox + yoy + D(x + x o)/2 + E(y + y o)/2 + F = 0变式-2 已知：圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(xo, yo)二、圆的切点弦方程证明：遼尸h ,y0)工鼠辻点P柞圖4?的妁两卷切虬切点是召，卿直戏拙 的牙裂足+ i'0i-十乏t D-如!空E十F 0一UW：点平肴叮于识晶壮一洼应 逼耳C 屛 只匚於衽说兮虽齢酋詢相

6、畫艺.以P.C为宝.疵肚血韵芭的左;丄更-(.t +-a)亠Q' * f)F -l-'c) = o. *即x1 + r* + (半-xc)x + (y Jt3)y -t- yj( 一 0x' + tJ + Z>.t + 7" = 0怎三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程设P(xo, yo)是圆锥曲线上(外)一点，过点P引曲线的两条切线, 切点为A , B两点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。标准方程切点弦方程圆(x-a)1 +(丁一6 =r(Xo -住)(x- u) +00 b)(y - ® 二厂+y: + Dx-EyF = 05+ J V.J + VL cgx4 1-Oy+2+ " 2 EF = 0椭圆二十匸= 1(