高考数列压轴题

1、高考数列压轴题一 解答题(共50小题)1 .数列an满足 ai=1, a2=+ ,，an=, ： + (n N) n2 n2nn(1) 求 a2, a3, a4, a5 的值；(2) 求an与an-1之间的关系式(n N , n?2);(3) 求证：(1+一 ) (1+一 ) ( 1+一)v 3( n N)ala2an2.数列x n满足：xi=1, Xn=Xn+汁In(I)0V Xn+1< Xn；(n):J2Xn+1 XnW:J 上.；2 ，(川)< Xn<121(1+Xn+1)(n N),证明：当 n N时,23. 数列an中，aJ , an+i='(n N)2 a

2、 2+1n n(I ) 求证：an+lV an；(U)记数列an的前n项和为S,求证：Sv 1._ 一 i , 224. 正项数列an满足 an+an=3an+i+2an+i, ai=1.(1) 求a2的值；(2) 证明：对任意实数 n N, an<2亦；(3) 记数列an的前n项和为S,证明：对任意n N, 2- <Sv3.5在数列an中，-. d -" ' -f ' , N*(1) 求证:1v an+iV an v 2；(2) 求证:(3) 求证：nv SnV n+2.6. 设数列an满足an+i=an2- an+1 (n N*), S为an的前n项和

3、.证明：对任意n N,(I) 当 Ow ai< 1 时，Ow an< 1；(II ) 当 ai> 1 时，an>( ai- 1) ain-1；(III )当 a1=时，n-:'. iV Sv n.27. 数列an满足a1=1, 5=2知，其中S为an的前n项和(n N).(I )求S1, 9及数列Sn的通项公式；(U)假设数列bn满足d -丄，且bn的前n项和为Tn,求证：当n?2时，.：；- *8 数列an满足 a1=1，. ( n N )，ri r 1 n 门(I)(n)证明：一;证明:1卜(n+1)并V39. 设数列an的前n项的和为S,ah；，an+1=

4、，其中n N2 2a -3a +2 n n(1) 证明：anV 2；(2) 证明:anV an+1；(3) 证明：2n w S w 2n - 1+ (').J乙9*10. 数列an的各项均为正数，且an+1=an+厶1 (n N)，an的前n项和是S.(I) 假设an是递增数列，求a1的取值范围；(U)假设 ai>2,且对任意 n N*，都有 Sn>nai-丄(n - 1),证明：Sv2n+1.311 .设 an=xn, bn= d ) 2, s 为数列an?bn的前 n 项和，令 fn (x) =s- 1, x R, a M. n(I )假设x=2，求数列 的前n项和Tn

5、；J(II )求证：对？ n N；方程fn (x) =0在xn : , 1上有且仅有一个根；3(川)求证：对？p N,由(I)中Xn构成的数列xn满足Ov Xn- Xn+pV丄12. 数列an,bn ,ao=1,a 廿(n=0,1, 2,)，g 二石，(尸1, 2, 3,)，Tn 为数1+an列b n的前n项和.证：(I ) an+1 V an ；(1 ) - ，二；11 4 bn(川)*. !二. I ： 一 ,_ _ .13. 数列a n满足：a1= , an=an- 12+an-1 (n>2 且 n N).2(I )求 a2, a3；并证明：2- 1 < anW 1 ?3 -

6、；-w-乙(I) 设数列an2的前n项和为A,数列的前n项和为B，证明：'an+1.an+1%214. 数列an的各项均为非负数，其前n项和为S,且对任意的n N，都有.:.,"(1) 假设 a1=1, a505=2021,求 a6 的最大值；*9(2) 假设对任意n N，都有SW 1,求证yy;- *15 数列an中，ai=4,亦= ，, n N, S为an的前n项和.(I )求证：n N 时，an > an+i ；(n )求证：n N 时，2< S - 2nv.716. 数列an满足，ai=1, an=-an+l 2(1) 求证：an?；3(2) 求证:|an

7、+1- an| < 1 ；3(3) 求证：|a2n- an| < 272a17. 设数列an满足：ai=a，an+i=(a>0 且 a 1，n N).$+1n(1) 证明：当 n?2 时，anV an+1V 1 ；，.、(b-a9) tb+1) r(2) 假设 b( a2，1)，求证：当整数 k>+1 时，ak+1>b.218. 设 a>3，数列an中，a1=a， an+1=，n N .珂-3(I )求证：an>3,且一v 1； ( n )当 a<4 时，证明：an< 3+ ' %5n_1 i , 、 2 219. 数列an满足 a

8、n>0， a1 =2，且(n+1) an+1 = nan +an (n N*). (I )证明：an> 1；2 2J.(n)证明：二-+ ' v (n>2).4 9i?520 数列an满足：一 二匚： nITr-155口 n(D求证：_(2) 求证：.I i讥匚21 .数列a n满足 ai=1，且 an+i2+an2=2 (an+a+an+1 an -丄).2(1) 求数列an的通项公式;(2)求证:1丄1L 1/ 7+v222 A ?(3) 记 S=+ 一 + 一，证明：对于一切 n?2,都有 S2>2 (亠 + ').aj a2 an23 n22.

9、数列an满足 ai=1, an+i=, , n N*.3斗2(1) 求证：< an< 1 ；5(2) 求证：|a2n an| < .523. 数列an的前n项和记为S,且满足S=2an- n, n N(I )求数列a n的通项公式；(n )证明：； -1 一 +(n N*)2 3 a2an+l 22- *24. 数列an满足：a± ,亦=r +an (n N).2 2021(1 )求证：an+1 > an ；(2) 求证：a2021V 1 ；(3) 假设ak> 1,求正整数k的最小值. I , 225. 数列an满足：an- an-an+i+ 仁0, a

10、i=2(1) 求 a2, a3；(2) 证明数列为递增数列；(3)求证：1| i v 1.al a2 a3 an226. 数列an满足：ai=1, 一 '(n N)n+1 n (n+1) 2(I )求证：an> 1 ；(n)证明：> 1+'(n+1(川)求证：宀 v an+iv n+1.n+327. 在正项数列an中，a1=1，且满足an+1=2an (n N*)an+1(I )求 a2, a3；(n)证明.an>_ r1 :228 .设数列a n满足. : T '(D 证明：y |-I.:；(2) 证明:片广.,_29. 数列an满足 a1=2, a

11、n+1=2 (S+n+1) (n N*),令 bn=an+1.(I )求证：bn是等比数列；(n )记数列nbn的前n项和为Tn,求Tn；(川)求证：石-v _1 - 1 +-.22X3 ai 七an 1630. 数列an中，ai=3, 2an+i=an2- 2an+4.(I )证明：an+1> an；(n )证明:an>2+ ( ：；) n-1；2(川)设数列的前n项和为S,求证：1-(=) nwSv 1.31. 数列an满足 ai=:, an+i= ' , n M.5 3-j(1) 求 a2；(2) 求的通项公式；(3) 设an的前 n 项和为 S,求证：11 (1-(

12、') n)< Sv 一 .531332 数列an中，a1=1 , an= I(1) 证明：anV an+1；(2) 证明：anan+1 > 2n+1；(3) 设 bn= '，证明：2vbnV - (n?2).Vn33 数列a n满足_ I,(1) 假设数列an是常数列，求m的值；(2) 当 m> 1 时，求证：anVan+1；(3) 求最大的正数 m使得anV4对一切整数n恒成立，并证明你的结论.34 .数列a n满足：- ', p> 1,二.-.1 p11 1丄门自負(1)证明：an> an+1> 1 ；(2) 证明:(3)证明:1

13、p+Ta235. 数列an满足 ai= , an+i an+aan+i=O (n N*).2(I )求数列a n的通项公式；(U ) 求证：ai+aia2+aia2a3+aia2-anv 1.36. 数列a n满足 ai=1, an+i= an2+p.4(1) 假设数列an就常数列，求p的值；(2) 当 p> 1 时，求证：anVan+i；(3) 求最大的正数p,使得anV2对一切整数n恒成立，并证明你的结论.37. 数列an满足 ai=a>4,二一 -., (N)(1) 求证：an> 4；(2) 判断数列an的单调性；(3) 设S为数列an的前n项和，求证：当a=6时，冷.

14、n 338 .数列a n满足a1=1，an+1=.a勺4 n(I ) 求证：an+1< an；1qH(n )求证：< an<.2n_13*2n-439.数列an满足：a1=1,.一：一(1) 假设b=1,证明：数列i .| I ;是等差数列；(2) 假设b= 1,判断数列a2n 1的单调性并说明理由；(3) 假设 b=- 1,求证：_, |_ -.40数列an满足 %斗，二 (1+8站)(n* 2, 3 )，bn=2 an2 -an， Si=b1+b2+bn.证明：(I) an-1 v anV 1 (n?1)；(n)二(n?2).41 .数列an满足a1=1,亦=一，n N*

15、,记S , Tn分别是数列an , a -的前n项和, 丄£nn证明：当nN*时,(1)an+i v an ；(2) Tn- 2n- 1;an+l(3) -：i - 1 v S 11. i , 242. 数列an满足 ai=3, an+i=an +2an, n N*，设 bn=log2 (an+1).(I)求an的通项公式；(II )求证：1+I+_+vn (n>2)；2 3 bnl(III )假设 -=bn,求证：2w 43. 正项数列an满足a1=3,.* ,n(1) 求证：1 van<3, n N;(2) 假设对于任意的正整数n,都有匚成立，求M的最小值;

16、an_1(3) 求证：a1+a2+a3+an< n+6, n N.44. 在数列an中n N.(1)求证:1 v an+1< an v 2；(2)求证:(3) 求证：nv Sn< n+2.- . *45. 数列an中，一，；_一(n N).(1) 求证：一“.】；(2) 求证： '丨是等差数列；an_1(3)设一 -:1匚 pJ，记数列bn的前n项和为S，求证:46. 无穷数列a n的首项a1=,=n N*.2 an+l 2J(I )证明:0v anv 1；- )2(U)记bn=, Tn为数列 仙的前n项和，证明：对任意正整数 门，Tn -ananFl1047 .数列

17、Xn满足Xl=1 , Xn+1=2 丁+3，求证：(I) Ov XnV 9；(II ) XnV Xn+1；(111 )：'. ："'.*Q48. 数列an各项均为正数，且对任意 n N，满足an+i=an+can (c>0且为常数).(I )假设ai，2a2，3a3依次成等比数列，求ai的值(用常数c表示)；(U )设bn=，S是数列bn的前n项和，1+c务(i)求证：一-；an+l1+can(ii )求证：SvS+i<.caj49. 设数列满足 |an- | < 1，n N.2(I )求证:|a n| >2n1 (|ai| - 2) (n N

18、)(U )假设 |an| w(+) ，n N，证明：|a n| <2，n N .22Q50. 数列an满足：a1=1，an+1=an+, . (n N)(n+ir(I)证明：> 1+.;an (n+1) 2(U )求证：1 v an+1V n+1.n+3高考数列压轴题参考答案与试题解析.解答题共50小题1 .数列an满足ai=1,+1 2=2aan =(n N*)(1 )求 a2, a3, a4, a5 的值；(2) 求an与an-1之间的关系式(n N*, n> 2);(3) 求证：(1+) (1+) - (1+)< 3 ( n N)al a2an【解答】解：(1)

19、a2=,二 + i. ： =2+2=4,a3=.+“+ .i. =3+6+6=15,a4=： + 一+、-+-=4+4X 3+4X 3X 2+4X 3X 2 X 1=64, W 切(2) an=.f + _+n!a5=二+ +、+.+,5+20+60+120+120=325;i-=n+n ( n- 1) +n (n - 1) (n 2) n=n+n ( n - 1) + ( n - 1) (n - 2) + ( n - 1) !=n+nan；3证明：由2可知an1+a肮nl nl nl nlTil n! (n-1) L (n-2) (n-n) I=111 + < 1+1+ + '

20、 + +0! 1' 21 n! 1< 2-3 (n-l)no11111。1s=2+1 + + + =3 < 3 (nA 2).2 23n-1n n所以nA2时不等式成立，而 n=1时不等式显然成立，所以原命题成立.2.数列xn满足：x1=1, Xn=Xn+1+ln (1+Xn+1)(n N*),证明：当 n N*时,(I ) 0 < Xn+1 < Xn；(D) 2Xn+1 - Xn<_L，r-2山1n-l< Xn<【解答】解：I用数学归纳法证明：Xn> 0,当n=1时，Xi=1 >0，成立,假设当n=k时成立，那么Xk> 0,

21、那么 n=k+1 时，假设 Xk+i< 0,贝U 0< Xk=Xk+i+ln (1+Xk+i) < 0,矛盾,故 Xn+1 > 0,因此 Xn> 0, ( n G N*)/ Xn=X n+1 + ln ( 1+Xn+1 ) > X n+1 ,因此 0< Xn+1< Xn (n GN),记函数fXn=Xn+1+In (1+Xn+1)得 XnXn+1 - 4X n+1+2Xn=X n+1 '2Xn+1 + ( Xn+1+2)In ( 1+Xn+1 ),(x) =x2 - 2x+ (x+2) In ( 1+x) , x> 0二一'

22、亠二 +ln (1+x) > 0,x+1 f x在0, +s上单调递增,/ f (x)> f (0) =0,因此 Xn+12- 2Xn+1+ ( Xn+1+2) In ( 1+Xn+1 )> 0,故 2xn+1- Xn(山)T Xn=Xn+1+In ( 1+Xn+1)W Xn+1 +Xn+1=2Xn+1 ,由'-> 2Xn+1 - Xn 得一2Fln+1> 0,->2 ( I)xn 2%i 22n-1=2n-23 .数列a n中，日1=, an+122%a j 一 君 +1n ri(nG N*)(I ) 求证： an+1< an；(U)记数列a

23、n的前n项和为S，求证：S< 1.I解答】证明> 0,且 ai=> 0,*2an > 0,a (a -1)2< 0.2, Han _an+12a-an+1 an= an =2 , 1a _a +1n ri-an+1 < an ；an2_a(O'",=an "an+1 an _an+12 ,.1, -%+l = _ .1_an+l 1_an -片一务-1-片 l-an+i 5那么 一.，| .-，1 2n 1_an+l又 an > 0,If 14.正项数列an满足 an2+an=3a2n+i+2an+i, ai=1.(1 )求

24、a2的值；(2) 证明：对任意实数 n N*, an<2a.+1;(3) 记数列an的前n项和为S,证明：对任意 n N*, 2-:< Sn< 3.21【解答】解：(1) an2+an=3a2n+1+2an+1, a1=1,即有 a +a1=3a 2+2日2=2,解得日2=(负的舍去)；3(2)证明：an2+an=3a2n+1+2an+1,可得 an2 - 4a2n+1 +an - 2an+1+a2n+1=0,即有(an 2an+1 ) ( an+2an+1+1) +a2n+1 =0,由于正项数列an,即有 an+2an+1+1 >0, 4a n+1 > 0,那么

25、有对任意实数n匕N*, an< 2an+1;(3 )由(1)可得对任意实数 n匕N , an< 2an+1;即为aw 2a2，可得 日2?,a3?1 a2?,2 24前 n 项和为 S=a+a2+-+an?1+ + +2 4211-1又 an2+an=3a2 n+l+2an+1 >a n+l+an+1 , 即有(an an+1) ( an+an+l + 1 )> 0,那么an> an+1，数列an递减，即有 Sn=a1+a2+-+an< 1+1+ ' +- +2 4 2虫=1 +1亠-=3( 1 - 一)V 3.那么有对任意n N*, 2-<

26、Sn V 3.215在数列an中,n N*(1)求证：1 < a n+1 <an < 2;(2)求证:(3)求证：n<Sn< n+2.【解答】证明：(1)先用数学归纳法证明1 <an< 2. .n=1 时二：- .：, .假设n=k时成立，即1 < ak< 2.由知那么 n=k+1 时，.：. -二.二 .:!:成立.1<an< 2，n N*恒成立.厂：.-:1-'-.所以1< an+1< an< 2成立.63+21-1、 6芦,21 I而1< an< 2.所以+3an>6汐+3由=2

27、anan=盘*点(点小為箝所一匕(3)由(1) 1< an<2 得 sn>n由(2)得'沦K<1+FT1-sn< 3右)+ (1 + tr)卜7 (时缶上门+=门+2(1 古)<n+26. 设数列an满足an+i=an2- an+1 (n N*), Sn为an的前n项和.证明：对任意 n N*,(I )当 0 < ai < 1 时，Ow an< 1 ；(II )当 ai> 1 时，an>( ai - 1) ain1 ；(III )当日产 时，n ；<Sn<n.2【解答】证明：(i)用数学归纳法证明. 当n=1

28、时，Ow an<1成立. 假设当 n=k ( k N)时，O< ak< 1，那么当 n=k+1 时，-,I -=( -. _) 2+' ? 0，1，ak+l- ak 並十丄244由知，.J；.1.'. ：1":. 当 0 w a w 1 时，0 w an w 1.(U )由 an+1 an= ( -' _- j ) an= ( an 1) 2> 0，知 an+1 > an .假设 a1 > 1，贝U an> 1，(n N*)，从而一一 | i _=.彳 an=an (an 1)，Rn an+l 7即=an a a1，当

29、 ai> 1 时，an>( ai - 1) ai(山)当 n L 时，由(I), Ov anV 1 ( n N*),故 Sv n, a"2令 bn=1 an (n N*),由(I ) ( U ), bn> bn+1 >0, (n N),由-.1' 1，得 '：.- 1-| ,-= ( bi - b2)+ ( b2 - b3)+ ( bn bn+1 )=bi bn+1 Vbi= ," 2* ' ! 2 nbn2、亠，即，(n N )，2 J徧= - ，Vn+Vn-l bi+b2+-+bn(近TTi) + (血f/I) + (石T

30、匸1)】=伍7，当 |=?7时，门=上】：7. 数列an满足ai=1, Sn=2an+i，其中S为an的前n项和(n N).(I )求S, S2及数列Sn的通项公式;(H)假设数列bn满足1 ，且bn的前n项和为Tn，求证：当n?2时，“.n Sn3 n 9【解答】解：(I )数列an满足 Sn=2an+1，那么 S=2an+1=2 ( S+1 S)，即 3S=2S+i,即数列Sn为以1为首项，以为公比的等比数列,2 Sn= c') n 1 ( n N*).23-Si = 1 , S2=;:(H )在数列bn中，Tn为bn的前n项和,8. 数列an满足ai=1,n N,nrH r. 口

31、3.ILI证明：.r _n n+1u证明：i2a3 3a4n+1? an+2【解答】I 证明：T，an+l an nan+2 ari+l_n+i由一得：匕_'L. _,arl'an %n+1._ -a"n =n+ln 证明：由I 得：n+1 an+2=na= - 1 -2a3 3a4n+1 an+2 电 2厲？nan令 bn=nan，那么：_ 八 _11 忙 一.-、+,' 二 bn- 1?bn= n由 bi =ai=1, b2=2,易得 bn> 0由-得：-I；-/. b1< b3< Vb2n-1, b2< b4 < -<

32、 b2n，得 bn> 1根据 bn?bn+1=n+1 得：bn+1< n+1，二 1< bn< n寸瓦+百+石+4bl-b 严 2二 bn+g+1-21 +b3-bi+b4-b2+-" +bn-btt_2 + btrt.1-bn_1一方面：bn+brH-r2*>ZVbnbnfl2=2Vn*-l T=亠Lf i1另一方面：由 K bn< n可知：.Dn Drd-1 e pnii. ：.!:,.-'-bnn9.设数列an的前n项的和为S,3an+i=“，其中 n N .92 a 3 a + 2n n(1)证明:an < 2;(2)证明：a

33、n < an+1 ；(3)证明：2n - _w S< 2n-31+ (23 供_【解答】证明:(1) an+1- 2=ann-2=2a-3an+2(J2)23 a 十2n nan zan 2口 丄丿2an oanv an 4 7 San+i - 2与a“- 2同号，因此与 ai - 2同号，而 a -2=-丄<0,2/ an< 2.(anl) (+2)i(2) an+1 - 1=，可得：an+1- 1与an - 1同号，因此与a1- 1同号，而日厂1= >0,二勺> 1.2£-3j+22n n-a.又 an< 2 . 1< an<

34、 2. an+1 a“=- -!_：" Jj<2"，可得分子> 0,分母> 0.2-3 片+2an+1 an > 0，故 an< an+1.(3) n=1时，S=，满足不等式.2oan+l 2 an2an+2n>2 时，an- 2 aft-3an+22-务i 2-an i 1:，二，即 2 -an >2a2-3a +22芦 2 Jn nn扣-垮円1 2n- S?=1 -.即Sn< 2n- 1+1-.2一=込-知2a-3an+2(2务-3)(冷2)+4(2+片)4从而可得：an+l 亠2 一 5“2飞另一方面：由(ii)可知：一

35、-；.'.,2 n-2n Sw 21-(分8 a s 匚厂电HR1 3Sn> 2n""-> 2n _3 L v 83综上可得：2n-丄w Sn< 2n 1+ (丄)n.3210.数列an的各项均为正数，且an+1=an+二-1 (n N)，an的前n项和是S.5(I )假设an是递增数列，求ai的取值范围;(H )假设 a2,且对任意 n N*，都有 S > na 丄(n- 1)，证明：S< 2n+1.3【解答】(I )解：由a2>a1>0? _ 一1>a1>0,解得0<a1 <2,.1 a又日3&g

36、t;日2> 0, ?-> a2, ? 0< a2< 2?1< 2，解得 1< a1< 2,.由可得：1< a1 <2.下面利用数学归纳法证明：当 1 < a1 < 2时，？n N， 1< an < 2 成立.(1 )当 n=1 时，1< ai< 2 成立.(2)假设当n=k N时，1 <an< 2成立.贝U当 n=k+1 时，ak+1=ak+1 22-:? (1, 2)，即n=k+1时，不等式成立.综上(1) (2)可得：？ n N，1< an < 2 成立.2于是 an+1 an

37、= 1 > 0，即 an+1 > an，anan是递增数列，a1的取值范围是(1, 2).(II )证明：t日!>2,可用数学归纳法证明:an> 2对？ n N*都成立.2 、 于是：an+1 an= 1< 2，即数列an是递减数列.an191在 Sn>na1 ( n 1 )中，令 n=2,可得：2a仁S>2a1 1，解得 q< 3，因此 2< q< 3.3尙3下证：(1)当.时，Sn?na - = (n 1) 恒成立.3 3771事实上，当 _-时，由 an=ai+ (an aj?a+ (2 )=冷.133 3于是 Sn=a1 +日

38、2+an?a+(n 1)-' =na V(n-1).3 3再证明：(2)时不合题意.事实上，当 - - |；时，设an=b，+2，可得亠三1 .W0于是数列bn的前n和Tnw< 3bi w 3可得一 =_ 一 w；厂bn bn+2 町+2故 S=2n+Tn<2n+3=nai+ (2 ai) n+3，.令 ai= +t (t >0)，由可得：Sn< nai+ (2 ai) n+3=nai 一、- tn+.33，3只要n充分大，可得：Sn<nai-丄i，-|:.这与S>nai (n i)恒成立矛盾.33-时不合题意.引3综上1 2可得：,.：丄，于是可得

39、=' w w3 由 2< a 疋丄可得：V丄.I，,：!：-"i :;，! ：；故数列b n的前n项和Tn w< bi < i3/ Sn=2n+Tn< 2n+i.ii .设 an=xn，bn=丄2，Sn为数列an?bn的前 n 项和，令 f n x =S i，x R, a N*.nI 假设x=2，求数列 - 的前n项和Tn；an9n 求证：对？ n N,方程fn x =0在Xn 一，i上有且仅有一个根；3* 山求证：对？p N，由n中Xn构成的数列Xn满足0< Xn Xn+p< 一n【解答】解：I 假设 x=2，an=2n，那么一=2n 1

40、 一n,an2那么 Tn=ixl 1+3X丄2+ 2n- 1 一n，2 2 2 I 2+3X( I2n+1Tn=l+2X :')n.-( 2n- "Jn+1 1二 Tn=3-(l)1卅=+2X2(2n 1)n+1=+1 2(2n - 1n+1(2n -1 )(】)=3-2n9*Q由 an+i=an+_ 1 (n N),可得：b+i=bn+_ 1anbn23(II )证明：f n ( X ) = - 1+X+ + '22 32n2+ + ( x e R, n e N+), f n' ( x) =1+ 丫 + ' +22n匕n-1+ > 0,3 n故

41、函数f x在0, +8上是增函数.由于 fl ( X1 ) =0,当 n > 2 时，fn (1) =+> 0,即 fn ( 1 )> 0. 2n+ +又 fn CO =-3=-1 +13 4；丄-?3根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的Xn9,1，满足 fn ( Xn) =0.3山证明：对于任意 p e 7,由1中x构成数列X n，当X > 0时,itM/ f n+1( X) =f n ( X )+'> f n ( X),(n+1 )2.I f n+1( Xn )> f n ( Xn) =f n+1( Xn+1 )=0.由 f n+1 ( X

42、)在(0 , +8)上单调递增，可得X n+1 VXn, 即 卩 Xn Xn+1 > 0,故数列X n为减数列,即对任意的n、pe N+,Xn - Xn+p > 0.I'L由 f n ( Xn) = 1+Xn+ + =0,3 nx2f n+p ( X n+p)= 1+Xn+p +_n2itHid-2n+p" + r + -'，,(n+1 )(n+2 ) (n+p )用减去并移项，利用 0 V Xn+pW 1 ,可得JrJfItbXn- Xn+1- J ： J.k=2/ k=n+l kz k=+l Llc*lk(k-J n n+p n综上可得，对于任意 p

43、e 2,由(1)中Xn构成数列x n满足0 V Xn Xn+pV .12.数列an , bn, a°=1,an an+irr 1+ a n,(n=0, 1, 2,)，2、Tn为数列bn的前n项和.求证：(I ) an+1 V an；(I)-二;11 4 %(皿)込.二 _-、I _ ,，.3ad【解答】解：证明：(I)1 = ：. ,所以an+1 < ann 1 n l+ n 1+fnn1石，(n)法一、记，那么.一bn_abn+l - bn原命题等价于证明：.一二一提示：构造函数 十在(1, +8)2,)；用数学归纳法单调递增,11+1=+1门 +法二、只需证明an故：:-r

44、： 一一 I 二 I. 1-n=1 时，n> 2,可证:1an+l可得：'an+l,1 f 口+1门+1 T二且卄+m(n+J ann an齐+1 annanan知诂即2j1+务一b (n+1) an A-+2石anan叠加可得11 _ 丨._,一 二一，吕"° 13"所以V -,“耳9 T&1 n13.数列an满足：ai= , an=a“-i2+ai ( n> 2 且 n N).2(I )求日2,日3;并证明：2- w a“w ?3-;2 2:=工(n )设数列an2的前n项和为An,数列:的前n项和为Bn，证明:an + 1【解答】

45、解：(I) a2=ai2+ai=-4a3=a2 +a2=164IT证明：T2an=3n - 1 +an - 1 ,.a n+'_ 2 1 _ =an-1 +an -1+=1 2 1 (an -1+ )+ >(an - 1+)22242.an+丄>(a 1+丄)2/1、4>(an - 2+)>>(an- 3+ )2222.an> 2丁 - 一 1>2又 T an 2an- 1 =an- 1 > 0,-an > an - 1 > an - 2>-> a1> 1,. 2-an > an,-an=an12+an

46、 -1 < 2a -n-1.anV 2a< 2?22< 2?22?24< < 2?2n-1'Jn-2an-3=2 -：？(')?3；=-22综上，2-1 < an J?3.2222(II )证明：T an=an24?2 ?-?22i +a“ i,2an 1 =an an 1 ,DL-18>->( ) k -=22mu-21Q a1 £DL-1八2222二 An=ai +a2 +a3 +an =(a? ai)+ (日3 a2)+ ( an+1 an)=an+1. an=an 12+an i=an 1 ( an l+1),1

47、=11an an-lan-l+1) an-l an-l + 1 ?- =_ -，an-l+1 an-l.Bn=- +=(_ i) +呂+1 a2+l an+l 呂2_飞 an+1 'a2(' )+ () +-+ (- )巴2 色 3 a3 引an ard-l召321 an+l冲匕3务+114.数列an的各项均为非负数，其前n项和为Sn,且对任意的n N*,都有(1 )假设 aK,日5。5=2021，求 a6 的最大值;(2)假设对任意n N,都有Sn< 1,求证:【解答】解：(1)由题意知 an+i - sK an+2 an+i，设 di=ai+i - a(i=1 , 2

48、,，504),那么 di wd504，且 di+d2+ds+ +d504=20i6,d + 4+ d§ d右 + d丁+十d5也_2021-(<li + d2+""+d5) T=409所以 di+d2+d5W 20,: a6=ai+ (di+d2+-+d5)< 21.Q + d(2)证明：假设存在k N，使得akVak+i,那么由V丄于得 Sk+i < Sk Sk+i < Sk+2 ,因此，从an项开始，数列an严格递增,故 ai+a2+-+an> ak+ak+i+-+an>( n k+i) a,对于固定的k,当n足够大时，必有

49、ai+a2+-+an >i，与题设矛盾，所以a n不可能递增，即只能 an an+i > 0.令 bk=ak ak+i, (k N),由 ak ak+i a ak+i ak+2，彳得 bk a bk+i, bk> 0,故 i > ai+a2+-+an= ( bi+a?) +a2+-+an=bi+2 (b2+a3)+a3+an, = - =bi +2bs+- -+nbn+nan.所以综上，对一切n N*,都有-U% a计i备口(口+i)i5.数列a n中，ai =4, an+i=. _2_, n N, S 为a n的前 n 项和.(I )求证:n N时，a>an+i

50、；(n )求证:n N时，2w S 2nvL.7【解答】证明:(I ) n > 2 时,作差：an+i26+an-an+i an 与 an an- i 冋号，,可得 a2 - Si V 0,由ai=4，可得 a2=2/ n N 时，an > an+i.厂 2：=6+an ,-'=2,即2( an+i2) (an+i+2) =an 2,二 an+i 2 与 an 2 同号, 又/ ai 2=2>0,二 an>2.-, _l ,即 an<2+2x/ Sn=ai+a2+an< 2n+2 x< 2n+.7综上可得：n N时，2 w Sn 2n<：

51、716.数列an满足，ai=1,an=-1an+l(1)求证:(2)求证:|a n+1 an| <3(3)求证:|a 2n an |.27【解答】证明：(1)v a1=1,1 丄 an+l 22 614日2=,日3= , a4=,3 7192 猜测：二w an< 1.3下面用数学归纳法证明.(i )当n=1时，命题显然成立;(ii )假设n=k时，一.-w 1成立,3 %叫贝U当 n=k+1 时，ak+1=w < 1.处転72亠-.-即当n=k+1时也成立,虽14 3所以对任意n N，都有.* .3“二 Sn=ai+a2+-+an>4+2 (n 1) =2n+2.(2)当 n=1 时,al_a2当 n>2 时，丁=1Sn 2n?2.由可得： 2(片+】+2)$因此 a 2<( ai - 2)1n*l3? 0 an an-l<-<(y)n_1|寺)冷"寺)(3)当 n=1 时，|a2 ai|= < ;3 27|a 2nan|W |a 2na2nl|+|a 2na2n2+ +|a n+1h q 2rt-2 n 2n-3 an-1)=n-1272an*17. 设数列a n满足：a1=a，an+1 =(a> 0 且 a工