高考数学模拟试卷新课标

1、2021年高考数学模拟试卷(新课标)1.以下命题中，错误的选项是().(A) 过平面 外一点可以作无数条直线与平面平行(B) 与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行(C) 假设直线l垂直平面内的两条相交直线，那么直线 I必垂直平面(D) 垂直于同一个平面的两条直线平行2集合 A XX2 3x 20 ,Bxa门0，a0 ,假设“ x A是“ x B的充分非必要条件，那么 a的取值范围是().(A) 0 a 1(B) a 2(C) 1 a 2(D) a 12(A) x2y 1 0(C) x2y2 x x 1 0uuuSnn,-uuuran的前n项和为Sn，向量OP,ORnm,Smuuurk蛍,k

2、*uurrmurUULTOP,n> m、k N* ，且 OPOROF2，那么用n、m、k表示().4.等差数列m3.假设曲线f(x,y) 0上存在两个不同点处的切线重合，那么称这条切线为曲线的自公切线，以下方程的曲线有自公切线的是().(B)|x| <4 y2 1 02(D) 3x xy 10k mk n/ n m/ r、 n m(B)(C)(D)k nk mk mn k(A)limn1 3 5 L (2n 1)23n2 3n 16 .关于方程2x312x 31的解为全集U集合Py |y丄,0 x 1 ，那么 ejP =x设x R，向量a(x,1),(1,2)，且 a b，那么 |

3、a b|9 .在 ABC 中，假设 A 60o ,B 45°，BC 3,2，那么 AC10 .在极坐标系中,2102 与=2的交点的极坐标为11用一平面去截球所得截面的面积为 球的体积3 cmf，球心到该截面的距离为1 cm,那么该cm12 .复数z a bi a、b R，且b 0，假设z2 4bz是实数，那么有序实数对a, b可以是.写出一个有序实数对即可13 .关于 x的不等式ax2 3ax a 2 0的解集为 R，那么实数a的取值范围.14 设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为x2 y2 1 .时间t 0时，观光箱A的坐标为丄，一色，那么当0

4、t 24时单位：2 2分，动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递减区间是 .a 415 假设不等式x y 16对任意正实数x、y恒成立，那么正实数a的最小值为_ .x y16 计算机毕业考试分为理论与操作两局部，每局部考试成绩只记“合格与“不合格，只有当两局部考试都“合格者，才颁发计算机“合格证书甲、乙两人在理论考试中“合格的概率依次为 4、2，在操作考试中“合格的概率依次为1、5，所有考试5 32 6是否合格，相互之间没有影响.那么甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书的概率.17.数列 an ,对任意的k N*，当n 3k时，an an ；当n 3k时，an n ,3那么该数

5、列中的第 10个2是该数列的第 项.sin x,x0,218 .对于函数f(x)1，有以下4个命题2f(x2),x(2,)任取x1> x20,，都有f (N)侬)2恒成立； f(x) 2kf (x 2k)(k N )，对于一切x0,恒成立； 函数y f(x) ln(x 1)有3个零点；k9 对任意x 0，不等式f(x)恒成立，那么实数k的取值范围是 -，x8那么其中所有真命题的序号是 .19 如图，在体积为的正三棱锥 A BCD中，BD长为2飞,E为棱BC的中点,求(1) 异面直线 AE与CD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2) 正三棱锥A BCD的外表积.20 .如图，点A

6、B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴的正半轴的交点，将锐角 的终边OA按逆时针方向旋转 一到OB.3(1)假设点A的坐标为 3,4，求1 Sin2 的值;5 51 cos 2(2)用表示 BC， 并求 BC 的取值范围 21 .为了寻找马航 MH370残骸，我国“雪龙号科考船于2021年3月26日从港口 O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛 A，OA 300、13海里，且tan cos 2 .现指挥部需3 岳要紧急征调位于港口 O正东m海里的B处的补给船，速往小岛 A装上补给物资供应科 考船该船沿BA方向全速追赶科考船，并在 C处相遇经测

7、算当两船运行的航线与海 岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给方案最优.oB(1)求S关于m的函数关系式S(m)；(2)应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22 设椭圆1的中心和抛物线2的顶点均为原点 O , 1、 2的焦点均在x轴上，过2的焦点F作直线l，与2交于A、B两点，在1、2上各取两个点，将其坐标记录于x324y2怎04旻2(1)求1 ,2的标准方程;Sa f ab(2)假设I与!交于c、D两点，Fo为!的左焦点，求 0的最小值;Sa F0CD(3)点P、Q是1上的两点，且0POQ，求证:12OP2为定值;反之,OQ12OP12OQ为此定值时,OP OQ

8、是否成立？请说明理由23.曲线C的方程为y2 4x,过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交 点记为R，过R作斜率为2的直线与曲线 C相交，另一个交点记为 P2，过F2作斜率 为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为P3，如此下去，一般地，过点Pn作斜率为2n 的直线与曲线C相交，另一个交点记为 Pn 1，设点Pn(xn , yn) ( n N* ).(1)指出y，并求yn 1与yn的关系式(n N* )；t *(2)求y2n1( n N )的通项公式，并指出点列R , P3, , P2n 1 , 向哪一点 无限接近？说明理由;(3)令 any2n 1y2n 1，数列Sn的前n项和为Sn，设

9、0求所有可能的乘积bi bj (1 i j n)的和.参考答案1. B【解析】试题分析：按顺序考察，对 A，我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平 行，而那个平面内的所有直线与与这个平面平行，故A正确；对B，如圆锥的所有母线与底面所成的角都相等，但它们不平行，B错误，应选B . C、D是线面垂直的判定与性质定理.考点：线面平行与垂直的判定与性质.2. A【解析】试题分析：由题意 A x|1 x 2 , B x|x2或 xa，题设条件说明 A B，所考点：解不等式，充分必要条件.3. C【解析】试题分析：A中曲线方程为yx21，曲线是抛物线，没有自公切线,B中方程化简为2 2 24，

10、此曲线是两段劣圆弧，不存在x 0 时，x 1 y 4, x 0时，x 1自公切线，c中曲线如以下图，是两个圆弧，相应的两个圆有公切线，即曲线有自公切线,考点：方程与曲线，曲线的切线.4. C【解析】试题分析：由题意uuu线上，那么由OPSna1nuurOPn 12uurOP2得Snd，所以 P(n, ) , R(m,1，且n考点：向量中三点共线的性质,向量的线性表示.5.-3【解析】试题分析：limn1 3 5 L3n2 3n 1(2n 1)limn3n22 n3n 1考点：数列的极限.6. 2【解析】试题分析：原方程为2x(2x 3) 3 1，即(2x)23 2x以2x考点:行列式，指数方程

11、.7.,1【解析】试题分析：P y|y 1(1,)，所以ep(,1.考点：集合的运算.【解析】Smmlimn),P2(k,Sk)在同一条直k选 C.k mk ,解得(2x4)(2x 1)0，所r rr rr r 号试题分析：由题意 a b x2 0, x 2, a b (3, 1), a b(1) 屁.考点：向量垂直与向量的模.3239. 2,3试题分析:由正弦定理得AC sin BBC，即 ACsin Asin 4532 sin 60，解得AC 2 3考点：正弦定理.10.(1,)2【解析】试题分析:由题意211，故其交点极坐标为(1,).22考点：曲线的交点坐标.【解析】11.【解析】试题

12、分析设截面圆半径为r ,那么2 2r 3， r 3，球半径为R，那么22243323R2 r2 d2 3 1 4，R 2，所以 V - R3(cm3)33考点：球的截面的性质，球体积公式.12.2,1或满足a 2b的任意一对非零实数对【解析】试题分析：z2 4bz (a bi)2 4b(a bi)a2 b2 4ab (2ab 4b2)i 是实数，那么22ab 4b 0，由于 b 0 ,故 a 2b .考点：复数的概念.【解析】a 0,试题分析：a 0时，不等式为 2 0,恒成立，当a 0时，有29a 4a(a 2)0,88解得 a 0，综上有 a 0.55考点：不等式恒成立问题，二次不等式的解

13、集.14. 2,14【解析】试题分析:由题意，T 24，设 ysin( t)，贝U,又 sin (0).3241223一,即ysi n( t),2kt2k(kZ),31232123224k 2t 24 k14，取 k 0 ,那么 2 t 14.考点：三角函数的解析式与性质.15. 4试题分析a 4(x y)()x y【解析】a 4ay a 4 4 . a (、a 2)2y x(、a 2)216 a 4，因此a最小值为4.考点：根本不等式.16.2345【解析】4 12255乙合格的概率是两人中恰有1人合格5 25369试题分析：甲合格的概率为252 523的概率是(1) (1)595 945考

14、点：相互独立事件有一个发生的概率.17 . 39366 ( 2 39)【解析】试题分析：由题意,a22 , a6a63a2 2 ,由此可得a23k故第10个2应该是A23)2，即第2 39项.考点：数列的通项公式与数列的项.1&【解析】试题分析：从函数的定f(x)最大=，f (x)最小f(Xi) f(X2)1( 1)2f(x 2k)1 f (x 2k 2)2122 f(x2k 4)f(x 2k2'2i) L12kf (x),因此kf (x)2k f(x 2k)，错误;函数 yf (x)与y ln(x 1)的图象如以下图所求，它们有个交点，因此方程f (x)ln(x 1)有3个解

15、，正确；对，由于f()5122,9 5 2 1，即 k8 2 20 2不等式或图象可知f(x)极大值f (2 nkf (x)不恒成立，故错误.(事实上从函数定义x12“ 1(n N*)，因此不等式f(x)k一要成立，必须有x12* 1k2n 1 -22n §，而当2n 1n N*时，f畀的最大值为5(n 2时取得)，故k5 ),故填.4考点：函数的综合应用.19. (1)arccos6 ; (2) 3 ： 64【解析】试题分析：1此题求异面直线所成的角， 根据定义要把这个角作出来， 一般平移其中一条， 到与另一条相交为此，题中由于有BC的中点E，因此我们以BD中点F，就有EF / C

16、D， 那么 AEF就是所求的角或其补角；2要求正三棱锥的外表积，必须求得斜高，由已 知体积，可以先求得棱锥的高，取BCD的中心O，那么AO就是棱锥的高，下面只要根据正棱锥的性质正棱锥中的直角三角形应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得 棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到外表积了.3 A0 二 一 3 得 AO1 理1分文2 分又在正三角形BCD中得OE=1，所以AE . 2理2分文4分取BD中点F，连结 AF、EF，故 EF / CD ,所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角.理4分文6分所以AEF 中，AE AF.2 , EFEF2 AF23,理5分文8分AE2cos AEF2 AE

17、 EF64试题解析：1过点 A作AO 平面BCD，垂足为 O，贝U OBCD的中心，由所以，异面直线 AE与CD所成的角的大小为V6arccos4理7分文12分2由AE 、2可得正三棱锥 A BCD的侧面积为S 3 BC AE 2、3 2 3、6理 10 分2 2所以正三棱锥A BCD的外表积为S 3、6 BC23.6 33.理 12 分4考点：1异面直线所成的角；2棱锥的体积与外表积.4920. (1) 49 ;18(2)BC2 2cos(可),BC (1,【解析】3 4试题分析：1 单位圆上点A的坐标为-,-,根据三角函数的定义有5 5341 si n2cos ,sin，这样我们很快可求得

18、 sin2 ,cos 2，也即求出的值；2551 cos2BC在 OBC中，此三角形的两边长为2能求得BC的长，BC 2 2cos1, BOC而，因此只要应用余弦定理就3，要求其范围，首先求得的范围，根据33(,5 )，此时可得cos(336.3 1)(,)，那么必有BC322(1,2. 3),BC的范围随之而得,BC任试题解析:(1)由,3 . cos ,sin52 分sin 22si ncos24,cos 225cos2sin254分1 sin 21 cos 224251 厶2549186分(2)由单位圆可知:由余弦定理得:1 1 2cosBC21,2OCOBCOB8 分BC2OC + O

19、B-2 OC OBcosCOBBC2coscos10 分12 分考点：(1)三角函数的定义与求值;14 分(2)余弦定理与三角函数的范围问题.21. 1 Sm 300m m 700 ; 2 1400. m 700【解析】试题分析：(1)此题条件可以理解为BOC是固定的，点A也是不变，直线BC过点A ,要求 BOC面积的最小值，根据条件，我们用解析法来解题，以O为坐标原点，向东方向为x正半轴，向北方向为y轴正半轴，建立直角坐标系，那么可得直线OZ的方程为y 3x，点A坐标为(900,600)，又有点B坐标为(m,0)，可得直线BA方程，它与直线OZ1的交点C的坐标可解得，而 S OBC 2 OB

20、 yc，这样要求的表达式就可得；(2)在(1)根底上，S分母是关于2300m ，其最小值求法，把分式的分子分母同时除以m2，得y 300 -，m 70070012 m m1丄的二次函数，最值易求.试题解析:(1)以O点为原点，正北的方向为 y轴正方向建立直角坐标系,(1 分)那么直线OZ的方程为y 3x ,设点A ( xo, yo),那么Xo300 13sin 900，y0300.13cos600，即 A( 900，600)，(3 分)由此得到0)，那么直线C点坐标为:AB的方程为：y -600900(x m)， m(4分)200m600m(m 700，m 700)'(6分)S(m)2

21、2|OB| |yc| m00700(m 700)(8 分)(2)由(1)知S(m)込m 700300700 丄 2" m m(10 分)30070012- m m30011 _2 V700()2m 14002800(12 分)1所以当丄m，即 m 1400时，S(m)最小,1400m2 2300 m300(t 700)(或令 t m 700，那么 S(m)m 700300(t 严 1400)840000,当且仅当m 1400时，S(m)最小)征调m 1400海里处的船只时，补给方案最优(14 分)考点：解析法解应用题22. (1)2 2441,22: y 4x. ； (2)(3)证明

22、见解析【解析】试题分析:(1)分析哪些点在椭圆上，哪些点在抛物线上，显然(2,0)是椭圆的顶点，因从而点(-3,3)是椭圆上的点，另两点在抛物线上，代入它们的标准方程可求得其方程;2(2) F°AB与 F°CD的顶点都是F。，底在同一直线上，因此基、其面积之比为底的比,即'F0ABSa f0cdABCD，这样我们只要求出直线 l与两曲线相交弦长即可，直线4%X2,当然由于只有把OP , OQy kx b与曲线f (x, y) 0交于两点，其弦长为.(1 k2)(X1 X2)2直线过圆锥曲线的焦点， 弦长也可用焦半径公式表示；(3)从题意可看出,求出来，才能得出结论，

23、为了求OP , OQ，我们可设OP方程为ykx，那么OQ方程为1y kX，这样OP , OQ 都能用k表示出来，再计OQ可得其为定值右，反之假设OP1 2，我们只能设 OP方程为y2 12OQOQ方程为y k2X，分别1,那么就一定有OP OQ ,求出OP , OQ ,代入此式，得出k1k2,如果一定能得到k1k2 否那么就不一定有OP OQ.在抛物线上,试题解析：(1) -2,0 ,在椭圆上，3,2,3 , 4,-422x1： 42: y24x.(4分)(2)(理)设F。到直线l的距离为d, S=Saf°cdId CD2ABCDF(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线I

24、的斜率存在时,设 I : y k(x1)，设 A(x1,y1), B(X2,y2), C(X3,yJ,D(x 4, y4)2联立方程yy4xk(x 1)得 k2x2(2k2 4)xk20时 0恒成立.AB1 k2X2(也可用焦半径公式得:2x联立方程 72y3k(xX11)CD1 k2x3x4AB21 k2 16 16kx x2k2k4k2k2""(5分)22得(3+4 k ) x8k2x4k2120恒成立.k2144 144k212(34k2)21 k23 4k2(6分)k24k23 k2(8 分)Sa f0ab =k2Sa f0cd 12 1 k223 4k2当直线I的

25、斜率不存在时,此时,AB 4， CD& f°ab _ 43， =Sa f°cd 3(9分)10 分所以，SF0AB的最小值为4SA F°CD33理证明：假设 P、Q分别为长轴和短轴的端点，那么OP17 11 分假设P、Q都不为长轴和短轴的端点,设 OP:y kx;那么 OQ:yx.PXp,yp,kQXq, yQ2x联立方程匸2y3kx11，解得2Xp124k223，yp12k24k212 分同理，联立方程2y31xk，解得2Xq12k23k242 ,yQ12 ；2 ；3k 4OPOQ123 4k212k234k212k23k2 4123k27k212k21

26、3 分12 121 17反之，对于 1上的任意两点P、Q，当 22 时,OP |OQ 12设 OP : y k1x， OQ : y k2x，易得2 12212k12212212k22Xp4k,yp尿厂飞；Xq花厂飞，yQ花厂飞，由丄丄工得坨丄毘2 Z，OP2 OQ21212k12 1212k2212121， 15 分即 8k12k22 7k127k226 7k12k22 k12k221，亦即k1k2117所以当 22为定值 时，OP OQ不成立16分OP OQ12“反之的方法二：如果有 OP OQ，且OQ不在坐标轴上，作 OQ关于坐标轴对称的射 线与1交于Q'，OQ OQ'，显

27、然，OP OQ与OP OQ'不可能同时成立.考点：1椭圆、抛物线的标准方程；2直线与圆锥曲线相交弦长问题；3直线与圆锥曲线的综合问题1 841 n1 *16823 1 ymyn4n; 2y2n 1f325 N ,&，3； 32 33 49342n 3 5 4n 2+1645【解析】 试题分析：1由于&盼 2n，点Pn, F> 1又都是抛物线上的点， 代入进去变形可得到 yn1与yn1的关系为yn 1yn4Gn ； 2由于只要求数列 y.的奇数项，因此把1中得到的关系式中n分别为2n 3,2n 2代换，得到两个等式相减可得y2n 1与y2n 3的关系式y2n 1y2n 3n时,2