!导数的几何意义

1、3.1.3导数的几何意义导数的几何意义 000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或 xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即： 表示“平均变化率”xy一、复习一、复习1、导数的定义、导数的定义其中：其中：练练:求求f(x)=x2+1在在x=1处的导数处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMyx00002020()( ):limlim(1)1 (1 1)lim2()lim2.xxxxf xxf xyxxxxxxx 解(1)2f 0000,.,?fxf xxxf xxxfx我们知道导数表示函数在处的瞬时变化率 反映了函数在附近的变化情况那么导数的几何意义是什么呢P1P2

2、P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .图图 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 yxo)(xfy P相切相交PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率

3、有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy00 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以： 0 xf 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方

4、程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义例例1:2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用202lim2xxxx （1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切线方程的步骤

5、：求切线方程的步骤：小结小结:练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx xoyy=f(x

6、)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？ .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l

7、1l2lthO0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程

8、度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图 二、函数的导数：二、函数的导数： )()(xfxyyxf需指明自变量时记作或记作：）的导函数（简称为导数我们称它为,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxfxyyxf即： 的函数，便是一个变化时，这样，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个时，当到：的导数的过程中可以看从求函数xxfx xfxx 35f5x13f3x 56f6x确定的值；32f2x157xxxf002（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一