空间向量的数量积运算

1、3.1.3空间向量的数量积运算【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念及表示方法2掌握两个向量的数量积的概念、性质、计 算方法及运算规律3掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向 量的共线与垂直.问题导学知识点一空间向量数量积的概念思考 如图所示，在空间四边形OABC中，。4 = 8, A3=6, AC=4, BC &=5, NO4c=45。，NOA8=60。，类比平而向量有关运算，如何求向量后 4/l.与病的数量积？并总结求两个向量数量积的方法./ -AR解 9：BC=AC-AB,：.d =OA AC-dA AB= IOAIL4Clcos <04, AC) 一

2、屈原Icos风 施= 8X4Xcos 1350-8X6Xcos 120°=24-16>/2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹 角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.梳理 定义:已知两个非零向量。，b,则则cos (.a, b)叫做g,力的数量积，记作(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(加)力=2(。力)交换律a b=b a分配律。仍+。)=。8+4 c(3)空间向量的夹角定义：已知两个非零向量。，b,在空间任取一点。，作万1=。，OB=b,则NA08叫做向 量。与力的夹角，记作。，b,范雨：。，b> 

3、3;0,何.特别地：当。，b) =/时，aJLb. 知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积 的性质若。，力是非零向量，贝IJ。_1_力0。力=0若。与b同向，则a-b=a-lbh若反向，则a b= a b. 特别地，44 = klP或右8为a,8的夹角，则cos 6-血h力区川四题型探究类型一空间向量的数量积运算例1已知长方体/WCD4BiGOi中，A8=A4i=2, AO=4, E为侧而A&的中心，/为4。1 的中点.试计算： (l)BCEDi；际.丽：(3)EFFCi.解如图，设施=m AD=b9AAi=c9 则=lcl=2,族 1=4, a b=b c=c a=0.-A &

4、gt;1(l)BCEDi=z(c-a)+Zi = l/>l2=42=16. 乙脐益】=(cg+，|.(g+c)=IcFhP =22 - 22 = 0.*稔=；(cn)+，/+a)=；(一0+c).&+a)=/P+；|*=2.反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量 积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1已知正四而体OABC的棱长为1,求：(V)(OA + OB ) (CA + CB)： (2)OA+OB+OC.解(渔+迎)(E + ) = (晶+励)(八一历+协一厉)=(八+五)(亦+励- 20C) = 12+1X1Xcos 60&#

5、176;-2X1X1Xcos 60°+lXlXcos 600+12-2X 1 X 1 Xcos 60°= 1.(2)OA + OB+OC=yj(OA+OB-idc)2=/12+12+12+2(1 X 1 Xcos 600X3)=V6.类型二利用数量积求夹角例2 附平面A3C,且ABC是N6=90。的等腰直角三角形，=ABBA/囱。< 的对角 线都分别相互垂直且相等，若A3="，求异而直线84与AC所成的角.解 如图所示.函严函+而,AC=AB+BC.，函.n=(函+丽1) .(筋+就)=丽施+丽比+丽,前+丽i 证.因为 ABLBC, BBi±AB

6、9 BBil.BC, 耘.就=0,丽I益=0,丽1.的=0且丽筋=一。2.：.BAvAC=a2.又说】就=1丽法Icos晶1, AC>9'cos匹启=忘笈7又;丽I, AC) £0,冉，A (BAi. AC) =120°, 又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA】与AC成60。角.反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法：第22页共20页跟踪训练2已知：P。、以分别是平面a的垂线、斜线，AO是小在平面a内的射影，lUa, 且 求证：ILPA.证明 如图，取直线/的方向向量。，同时取向量历，OA. 因为/LQA,所以a OA=0.因为POJ_a,且/ua,

7、所以/，尸0, 因此G.历=0.又因为 a-PA=a (PO+OA)=a-POa-OA=0,所以/_LE4.类型三利用数量积求距离例3如图所示，平行六而体A8COM山G。中，AB=9 AO=2,?=3, ZBAD=90°, ZBAAi = ZDA4i=60°,求 AG 的长.r /解因为/=检+国)+Mi,aL；炉。所以正? =(魂+而+益)2=筋?+历2+刀5/ + 2(恭.屐)+泰.君+ADAA).因为N8AO=90。，N8AA=NOAAi = 60。，所以施，AD) =90。，诵，A4i> = <AD, AA1> =60。，所以寿=1 + 4+9+2

8、( 1 X 3 X cos 60°+2 X 3 X cos 60° ) = 23.因为最2=RiF,所以病正=23, L4Cil=/23, 即AG=p.反思与感悟 利用向量的数量枳求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其及本思 路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已 知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式灯|=刷求解即可.跟踪训练3如图，已知线段A8_L平而a, BCUa, CDLBC, OF,平面a,且NZ)CF=30。, 。与A在a的同侧，若AB=BC=CD=2,求A,。两点间的距离.解 VAb=AB+BC+CD,J

9、I历P =(前 + 就+ 诙户=|赢p + |比p + |丽户+ 2施就+ 2前,历+ 2比丽=12 + 2(2-2-cos 900+2-2-cos 1200+2-2-cos 900)=8,，疝1=2娘，即A,。两点间的距离为2娘.当堂训练1 .设。、氏C是任意的非零向量，且它们互不共线，有下列命题：(优力)c (C4)力=0;一心1<1一力1：®(b a) c(c a) b 与 c 垂直;(3。+2力)(3。- 2力=92 - 4心巴其中正确的有()A.B.C.D.答案D解析结合向量的数量积运算律，只有©正确.2 .已知正方体A8CQ-A' B' C

10、 Dr的棱长为 小设初=,而=力,A不=c,贝IJ(月厂8, BDf >等于()A. 30°B, 60°C. 90°D. 120°答案D解析=应），V AAf BD 为正三角形,:.（Kb, BD） =120°.3 .己知小，平而 ABC,垂足为 A, ZABC= 120% PA=AB=BC=6,贝IJPC 等于（）A. 6a/2 B. 6 C. 12 D. 144答案C 解析 VPC=4+AB+BC,无2 =前2+篇2 +走+ 2靠比=36 + 36 + 36 + 2X36cos 60。= 144,AIPCI =12.4 .已知4、是异

11、而直线，且“J_，幻、及分别为取自直线心b上的单位向量，且。="+ 3及，b=kei-&2, a±b,则实数的值为.答案6解析 由 a±b.得。力=0, A(2ei + 3e2)-(ke4e?)=0,-12=0, ：.k=6.5 .已知db均为单位向量，它们的夹角为60。，那么M + 3"=.答案g解析 a + 3b2=(a-3b)2=a2+6a b+9b2=14-6-cos 60。+9= 13，ki + 3"=VH.，"规律与方法国空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有 关，更多的是以

12、它为工具，解决立体几何中与夹角和距离相关的问题，求空间两点间的距离 或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的问题：求空间两条直线所成的角的问题 可以转化为求两条直线对应向量的夹角的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量 的夹角的取值范围；和垂直相关的问题可以转化为向量的数量积为零的情况.40分钟课时作业强化训练拓展提升一、选择题1.设。、力为空间的非零向量，下列各式：®W2=I«I2：零=:：（。山尸=。二斤：（。一加?=乐一加协+於，其中正确的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案B解析由数量积的性质和运算律可知是正确的，故选B.2 .如图，空间四

13、边形的各边和对角线长均相等，E是8C的中点，那人么二 一人 AEBC<AE,CD/BAEBC=AECbcCAEBC>AECbDAE-的与靠.而不能比较大小答案C解析 易知AE±BC9 ：.A£BC=0.危历=（矗+砺）日）=前（丽-沅）+比日）=筋->-* >1 -> IIBDIcos 120。- L48I .山 Cbcos 1200+1 8cMeDl. cos 120°<0.：.AEBC>AECb.3 .已知空间向量a, b, c两两夹角60。，其模都为1,则1。一。+2d等于（）A,巾 B. 5 C. 6 D加答案A解

14、析“一力+2cp= hP+lP+4ld224r+4nc4Ac =12+ P4-4X l2-2-bl-cos 600+4 bl cos 600-4« 1-I cos 60°=5,力+2d=木.4 .如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点E、F、G分 别是A3、AD.。的中点，则下列向量的数量积等于a?的是（）A. 2BA ACC. 2FGACB. 2ADDBD. 2EFCB答案C解析 2砺 危=/,故A错；2AD DB=-a29故B错；2前.前=-%,故D错，只有 C正确.5 .已知“、是异面直线，A、BSa, C、D£b, AC±b, BDLb,

15、且 AB=2, CD=L 则 a 与b所成的角是（）A. 30°B, 45°D. 90°C. 60°答案C 解析 AB=AC+CD-DB.：.AB cb=（AC-CD+DB） CD=AC Cb-cb2+DB CD=0+12+0= 1,又成1=2, I历 1=1./.cos （AB, CD） =，。-J. iSiicbi 2X1 2异面直线所成的角是锐角或直角，.“与所成的角是60。.6,已知在平行六面体A8CD-A山Cid中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AG的长为（）A.小 B. 2 C.小

16、D.a/6答案D解析 'AC=AB+Ab+AA.A&彳=（花+弱+益1）2=前2+病2+君孑+ 2矗俞+ 2篇罚i +2能福=1 + 1 + 1 +2（cos 600+cos 600+cos 60°）=6, /.L4Cl=/6.二' 填空题7 .已知向量。，力满足=1,族1=2,且。与力的夹角为全则!+"=.答案w解析 h+"2=标+2力+2=1+2X1X2XCOS g+22=7, ：.a+b=y7. J8 .己知，b是空间两个向量，若hl=2,心1=2, TaH=巾,则cos。，b) =.竺总-口杀8解析将Iff4=,化为(。一力)2=7

17、,求得。力=；,再由。力=g1 族Icos (a9 b)求得 cos(a, b> =1.9 .己知空间向量a, b, c满足g+c=O, lal=3,心1=1, lcl=4»则力+方c+c。的值为答案一 13解析”+A+c=0,，(a+力+c)2=0,.a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=Q9 .a b+b c+c a32+12+422= -13.«三、解答题10 .如图所示，已知平行六而体A5CD-A&GO的底面A8CO是菱形, 且NaCB=NGCO=N8CO=60。,求证：CCi±BD.证明 设油=，CD=b. CC=c,则=则.9：BD=

18、CD-CB=b-a9/. BDCC=(ba)c=8cac = l勿Iclcos 600Iflllclcos 600=0,ACCilBD,即CC8D11 .如图所示，已知空间四边形A8CQ,连接AC BD,若A8=CQ, AC =BD, E,尸分别是AO, 3c的中点，试用向量方法证明EE是A。与8C 的公垂线.证明连接A凡点厂是BC的中点，:.aT=(ab+ac).> * I -1 *：.EF=AF-AE=AB+AC)-AD1 =ab+ac-ad)9又应1=1员)|=屈)一血：.AC2=AD2-2ADAB+AB2,同理 A52=CD2=AD22/fdAb+AC2将代入可得AB2=AD2-

19、2AC AD-iAD2-2ABAD+AB2,：.2AD2-2AD(AC+AB)=09：.AD(AC+AB-Ab)=O.* 1 * >，AO5(A3+ACAO)=0, 乙:.adef=o9：.EF±AD.同理可得再LL证., EFL AD 且 EFLBC,，E尸是AO与BC的公垂线.12.如图所示，在四棱锥PABCD中，_L平而ABCD. AB1BC.ABA.AD,且必=A8=BC=Io = l,求与CD所成的角.解由题意知I而1=陋，1丽1=虚，PB=PA+AB,虎=亦+蔗+比，:以_L平面A8CO,，&扇=萩施=眉.正=0.；ABLAD,：.ABDA=09ABLBC,

20、：.ABBC=09:.而,DC=(矶 +丽(DA+AB+BC)=AB2=AB2=19又|P8=W，ICDI=>/2,/.cos <PB, DC）PB DC _11PBDC 山乂娘 2V而，DC> G0> 何，:.丽，DC)=三，异面直线所成的角为锐角或直角，.P8与CO所成的角为全13.如图，正三棱柱ABC-A由G中,底面边长为由.(1)设侧棱长为1,求证:ABilBCi；(2)设AS与8a的夹角为半求侧棱的长.证明篇|=初+法，就产前1+就.38，平面 A8C,，丽i商=0, BBvBC=0.又zMBC为正三角形，:.法,BC) =n-点,BC> =n-=. J

21、 J:恭,比1=（恭+丽）（法+南=耘.砺1+初.比+砺计法1 .就= L4BMBCIcos （AB9 BC） + 丽=-1 + 1=0, ：.ABxLBC.解 结合(1)知法就1 = 脑11就1cos(通,BC) +丽¥=丽一1.又脑1=、1(诵+曲I，=、2+丽?/.cos （ABi，BC） = BB'=,2 + BB； 2法1=2,即侧棱长为2.3.13 空间向量的数量积运算(学生版)【学习目标】1 ,掌握空间向量夹角概念及表示方法2掌握两个向量的数量积的概念、性质、计 算方法及运算规律3掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向 量的共线与垂直.问

22、题导学知识点一空间向量数量积的概念思考如图所示，在空间四边形OABC中，。4 = 8, AB=6, AC=4, BC =5, NOAC=45。，NOA8=60。，类比平面向量有关运算，如何求向量近 与诧的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.解 9：bc=ac-ab9：.M=dAAC-OAAB= IOAIL4Clcos (OA9 AC) -idAILABIcos (OA9 AB)= 8X4Xcos 1350-8X6Xcos 120°=24-1672.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹 角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.梳理(1)定义

23、：已知两个非零向量。，b,则则cos (.a, b)叫做a,力的数量枳，记作。也 (2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(/M) b=A(a b)交换律a b=b a分配律a (b+c)=a b+a c空间向量的夹角定义：已知两个非零向量a，b,在空间任取一点0,作晶=，OB=b,则NA08叫做向 脑g与力的夹角，记作(a，b).范围：<a, b> G0,何.特别地：当力/时，a. 知识点二空间向量的数量积的性质若力是非零向量，贝力=0两个向量数量积 的性质若。与b同向,则。力= kzl依；若反向,则a b= a b. 特别地，或花右8为。，8的夹角，则cos 6-血h力

24、区川四题型探究类型一 空间向量的数量积运算 例1已知长方体/WCD4BiGOi中，A8=A4i=2, AO=4, E为侧而A&的中心，/为4。1的中点.试计算：(l)BCEDi； (2防诵i：办.玄反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量 积为0,向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1已知正四面体OABC的棱长为1,求: (l)(OA + OB ) (CA + CB)： (2)OA-OB+OC.(2)OA + OB+dC类型二利用数量积求夹角例2 防平面A8C,且是N3=90。的等腰直角三角形，YBQC的对角 线都分别相互垂直且相等，若AB=“，求

25、异而直线8A与AC所成的角.反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法:跟踪训练2已知：P0、以分别是平面a的垂线、斜线，A。是以在平面a内的射影，/Ua, 且/_LQ4.求证：ILPA.类型三利用数量积求距离例3如图所示，平行六而体力8CO48iC】d中，AB=1, AO = 2, AAi =3, ZBAD=90°, ZBAA1 = ZDA41=60°,求 AC1的长.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思 路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已 知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式灯

26、1=炳求解即可.跟踪训练3如图，已知线段A8_L平而a, BCUa, CDLBC, OF_L平面a,且NZ)CF=30。, 。与A在a的同侧，若AB=BC=CD=2,求A,。两点间的距离.当堂训练1.设。、氏C是任意的非零向量,且它们互不共线，有下列命题:（。力）c （C4）力=0;一lAlvh一力I：（b a） c（ca>b与c垂直:（3。+2力）（3。- 2b）=9a2 - 4心匕其中正确的有（）A.B.C.D.2,已知正方体A8CQ-A' B' C Df=c,则（AB, BD1等于（A. 30°C. 90°的棱长为a,设A8=。，AO=3. A4

27、 '）B. 60°D. 120°3 .己知 平面 ABC,垂足为 A, NA8C= 120。，PA=AB=BC=6,则 PC 等于（）A. 6/2 B. 6 C. 12 D. 1444 .己知小是异而直线，且右、及分别为取自直线a、b上的单位向量，且。=" + 3及，b=kei7e2,则实数太的值为.5 .已知。，力均为单位向量，它们的夹角为60。，那么h + 3"=.f 规律与方法）空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有 关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离相关的问题，求空间两点间的距离 或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的问题：求空间两条直线所成的角的问题 可以转化为求两条直线对应向量的夹角的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量 的夹角的取值范围：和垂直相关的问题可以转化为向量的数量积为零的情况.40分钟课时作业强化训炼拓展提升一、选择题1 .设。、力为空间的非零向量，下列各式：®a2=a器玲（。心）2=2.炉；（。一加2 =居一勿协+於