平面解析几何复习教材

1、职高数学 平面解析几何 第一轮复习曲线与方程一、高考要求： 理解曲线与方程的关系，会根据曲线的特征性质选择适当的直角坐标系求曲线方程，会求曲线的交点.二、知识要点：1.曲线与方程的概念在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F（x，y）=0之间具有如下关系:（1）曲线C上的点都是方程F（x，y）=0的解；（2）以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么, 曲线C叫做方程F（x，y）=0的曲线,方程F（x，y）=0叫做曲线C的方程.即：P（x，y）C F（x，y）=0或C=.2.求曲线的方程求曲线的方程的主要步骤是:(1)建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点P(即动点)的坐标为（x，y）

2、;(2)根据给出的几何条件写出曲线上点集的特征性质;(3)用x，y的关系式表示这个特征性质,列出方程;(4)化简方程;(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程.3.求曲线的交点如果两曲线C1,C2的方程分别是F1（x，y）=0和F2（x，y）=0,那么, C1与C2有交点(C1C2)方程组有实数解,且方程组的实数解就是交点的坐标; C1与C2无交点(C1C2=)方程组无实数解.即:求曲线的交点问题,就是求它们的方程所组成的方程组的实数解的问题.三、典型例题：例1:已知方程x2+(y-1)2=10.(1)判断点A(1,-2)、B(,3)是否在此方程表示的曲线上?(2)若点C(,-m)在此方程表示的

3、曲线上,求m的值.解：(1)把x=1,y=-2代入方程x2+(y-1)2=10得左边=12+(-2-1)2=10=右边,所以点A(1,-2)在此方程表示的曲线上;把x=,y=3代入方程x2+(y-1)2=10得左边=()2+(3-1)2=6右边,所以点B(,3)不在此方程表示的曲线上;(2) 把x=,y=-m代入方程x2+(y-1)2=10得()2+(-m -1)2=10解得m=2或m=.例2:在直角坐标平面内,已知点A(2,3)、B(-3,1)、C(-2,-4).(1)求ABC的重心G的坐标;(2)如果点P为坐标平面内一动点,且,试求P点的轨迹方程;(3)根据P点的轨迹方程,试判断它的图形.

4、解：(1)设G(x,y),则x=-1;y=0.所以G的坐标是(-1,0).(2) 设P(x,y),则依题意,得,化简得P点的轨迹方程是5x2+5y2+14x+8=0.(3)将5x2+5y2+14x+8=0配方得,P点的轨迹是以(,0)为圆心, 为半径的圆.例3:已知抛物线y=x2-kx+3和直线y=kx.(1)若它们没有交点,试求k的取值范围;(2)若它们相交于一点,求此直线倾斜角的正弦值;(3)若它们相交于A、B两点,求AB中点的轨迹方程.解：(1)联立方程得消去y,得x-2kx+3=0,抛物线y=x2-kx+3和直线y=kx没有交点,=4k2-12<0,解得k的取值范围是;(2) 抛

5、物线y=x2-kx+3和直线y=kx相交于一点=4k2-12=0,解得,设直线y=kx的倾斜角为(0<),则tan=或sin=;(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB的中点M(x,y),抛物线y=x2-kx+3和直线y=kx相交于两点=4k2-12>0,解得又x=( x1+ x2)=k,y=kx=k2.消去k,得AB中点的轨迹方程是y=x2().四、归纳小结：1.满足了曲线和方程关系的两个条件,就在曲线这个点集和方程间建立了一种一一对应关系.2.求曲线方程时,建立适当的坐标系是不可缺少的一步,若化简过程是同解变形,可省略步骤(5).求曲线方程的常用方法有:(1)直接法;(

6、2)定义法;(3)消参法;(4)代入法.3.一般求直线L:y=kx+b与二次曲线C:F（x，y）=0的交点坐标就是求方程组的解,方程组有几组解,直线与曲线就有几个交点;由两方程消去y(或x)得到关于x (或y)的一元二次方程,由判别式判断解的个数;若L与C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有弦长公式:或.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列命题中: (1)与x轴距离等于2的点的轨迹方程是x=2;(2)过点(2,-1)且斜率为1的方程是;(3)与两坐标轴距离之积等于1的点的轨迹方程是xy=1;(4)与两点A(-3,0)、B(3,0)距离的平方和等于38的点的轨迹方程是x2+y2=

7、10. 正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.42.已知两个方程:(1) x2+y2=0;(2) x2-y2=0.则下列结论中正确的是( ) A.方程(1)(2)都表示两条直线 B.方程(1)(2)都表示点(0,0)C.方程(1)表示两条直线,方程(2)表示点(0,0) D.方程(1)表示点(0,0),方程(2)表示两条直线3.方程所表示的曲线( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于x轴、y轴对称 D.关于x轴、y轴、原点对称4.方程所表示的图形是( ) A.一个点 B.四条直线 C.正方形 D.四个点5.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是( ) A.y=x B. C

8、.x2=y2 D.x2+y2=06.若曲线y= x2-x+2和y=x+m有两个交点,则m的取值范围是( ) A.mR B.m(-,1) C.m=1 D.m(1,+)（二）填空题：7.已知点A(4,9)到y轴上一点P的距离是,则点P的坐标是 (0,0)或(0,18) .8.若点A(3,m)在方程x2-xy+2y-1=0的曲线上,则m= 8 .9.到两点A(1,1)、B(3,-1)距离之和等于的点的轨迹方程是 x+y-2=0(1x3) .10.两曲线x2-y2=0, x2+y2=2的交点坐标是 (1,1)、(1,-1)、(-1,1)、(-1,-1) .11.直线y=x+1被曲线y=x2所截得线段的

9、中点坐标是.（三）解答题：12.点M到点A(-1,0)和B(2,0)的距离之比是2:1,求点M的轨迹方程.13.已知平面上有两点A、B,且=2,平面上一动点M到A、B两点的距离之比是2:1,求动点M的轨迹方程.14.已知定点A(2,0),Q是曲线C:x2+y2=1上的动点,M为AQ的中点,当Q在曲线C上移动时,求动点M的轨迹方程.15.已知抛物线y= x2-3x+2,直线过定点P(,-1),问:直线的倾角为何值时,直线和抛物线 (1)有一个交点;(2)没有交点;(3)有两个交点,并用表示此时抛物线截直线所得的弦长.线段的定比分点一、高考要求： 理解线段的定比分点概念,掌握有向线段定比分点坐标公

10、式并能进行简单的运用.二、知识要点：1.有向线段定比分点的概念有向直线上的一点P,把上的有向线段分成两条有向线段和,和数量的比叫做点P分所成的比,点P叫做的定比分点,设其比为,则有=,或=(-1).当>0时,与同向,点P是线段AB的内分点;当<0(-1)时,与反向,点P是线段AB的外分点; 当=0时,点P与A重合.2.定比分点公式设A(x1,y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系XOY上的两点,点P(x,y)分有向线段成定比,则三、典型例题：例1:(96上海)已知点O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且,又P是线段OB的中点,则点B的坐标是 .解:设P(x,y),

11、由定比分点公式得P(2,1),由中点公式得B的坐标是(4,2).例2:已知点A(x,-3)、B(2,y),在直线AB上有一点P(3,-1),使,求A、B两点的坐标.解:(1)若P是的内分点,则=2,由定比分点公式得A(5,-2)、B(2,0).(2)若P是的外分点, B为AP的中点,由中点公式得x=1,y=-2.A(1,-3)、B(2,-2).四、归纳小结： 运用定比分点公式的关键是求定比,不是线段的长度之比,而是有向线段的数量之比,顺序特征是:,即起点分点,分点终点.这个顺序不能弄错.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设点P在有向线段的延长线上,则点P分所成的比( ) A.<-1 B

12、.-1<<0 C.0<<1 D.<12.若点P分有向线段的比为,则点B分有向线段的比为( ) A. B. C. D.3.点P在直线AB上, ,则点P分所成的比是( ) A.2 B.3 C.±2 D.2或（二）填空题：4.已知A(-9,-2)、B(7,-5)、C(x,y)在同一直线上,B点分的比为,则点C的坐标是(39,-11).5.已知点A(2,3)、B(10,5), 点P在直线AB上,且,则P点的坐标是.（三）解答题：6.线段AB的端点A、B的坐标分别是(-1,1)、(-2,2),且,求A、B、C三点共线时点C的坐标.直线方程一、高考要求： 熟练掌握直

13、线斜率的概念,会根据已知条件求直线的斜率；掌握直线的点斜式、斜截式方程,掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义.二、知识要点：1.直线斜率的有关概念(1)一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,用表示,范围是0<.(2)倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，用k表示，即k=tan ().经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线斜率的计算公式是2.直线方程的几种形式 (1)两点式: 经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线方程是 (2)点斜式: 经过点A(x1,y1),斜率为k的直线方程是y-y1=k(x-x1); (3)斜截式

14、: 斜率为k,在y轴上的截距为b的直线方程是y=kx+b; (4)截距式: 在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b的直线方程是 (5)一般式:Ax+By+C=0(A、B不能同时为0).当B=0时,直线没有斜率,方程为, 当B0时,直线的斜率为,方程为.三、典型例题：例1:求证:点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,-6)在同一条直线上.证明:(方法1) =+=A、B、C在同一条直线上.(方法2) A、B、C在同一条直线上.(方法3) 设P(1,y)是的一个分点,则解得=1,于是即P与B重合,而P在上, A、B、C在同一条直线上.例2:求经过两点A(-5,0)、B(3,-3)的直线两点式方程

15、,并将其化为点斜式、斜截式、截距式.解:由两点式得经过两点A(-5,0)、B(3,-3)的直线两点式方程为,化为点斜式为y-0=(x+5),化为斜截式为y=x,化为截距式为.例3:已知直线ax+by+b=0(b0)与曲线4xy+=0有两个交点.(1)试求直线ax+by+b=0倾斜角的范围;(2)当直线与曲线相切时,求直线倾斜角的正弦值.解:(1)直线ax+by+b=0(b0)可化为,设直线ax+by+b=0的倾斜角为(0<),则tan=,于是方程变为,代入曲线方程4xy+=0得直线ax+by+b=0(b0)与曲线4xy+=0有两个交点tan<又0<0<或<<

16、.(2) 直线ax+by+b=0(b0)与曲线4xy+=0相切, tan=又0<=.sin=.四、归纳小结： 1.坐标平面内任一条直线都有倾斜角,但不是任一条直线都有斜率,当倾斜角=时,直线的斜率不存在.倾斜角为()的直线斜率k=tan. 2.正确理解直线方程几种形式的局限性:两点式不能表示与坐标轴平行的直线,确需表示时,须将两点式方程转化为(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1);点斜式和斜截式都不能表示没有斜率的直线;截距式不能表示与坐标轴平行的直线,也不能表示过原点的直线. 3.截距并非距离,而是直线与坐标轴交点的横(或纵)坐标.五、基础知识训练：（一）选择题：1.若

17、图中的直线、的斜率分别为、,则( )A.<< B.<< C.<< D.<< 2.下列命题中: (1)若是直线的倾斜角,则0<(2)若k是直线的斜率,则k(-,+);(3)任何一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;(4)任何一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.其中,正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.若是直线的倾斜角,且满足:,则直线的斜率为( ) A. B.或 C. D.4.下列四个命题中真命题是( ) A.经过点A(x1,y1)的直线都可以用方程y-y1=k(x-x1)表示;B.经过任意两点A(x1,y1)、B(x2,

18、y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)表示;C.不经过原点的直线都可以用方程表示;D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.5. 已知直线Ax+By+C=0,且AC0,BC0，则此直线不通过的象限是（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.经过点A(-4,-1)和B(4,3)的直线在x轴上的截距为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-27.过点(1,-2),倾斜角的正弦值等于的直线方程是( ) A.y+2=(x-1) B.y+2=(x-1) C. y+2=(x-1) D. y+2=(x-1)（二）填空题：8.经过

19、点A(2, 3)和B(4,-5)的直线斜率是 -4 .9.经过点A(3, 5)和B(3,-5)的直线方程是 x=3 .10.过直线4x-3y-12=0与x轴的交点,且倾斜角等于该直线倾斜角的的直线方程是 x-2y-3=0 .11.设直线的斜率为k,且,则直线的倾斜角的取值范围是.（三）解答题：12.求过点A(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线方程.13.一条光线从点A(5,3)射出,与x轴正方向成角,遇到x轴后反射,已知tan=3,求入射光线和反射光线所在直线的方程.14.求证:不论m取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过一定点,并求出此定点的坐标.15.设直线的

20、方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件,分别确定m的值. (1)在x轴上的截距是-3;(2)的倾斜角为;(3)当直线与x轴平行时.两直线的平行和垂直一、高考要求： 掌握两直线平行和垂直的条件，能根据直线方程判断他们的位置关系.二、知识要点：两直线平行和垂直的条件(1)当两直线和的方程分别为: y =x+b1;: y =x+b2时,=且;=-1.(2)当两直线和的方程分别为:A1x+B1y+C1=0;:A2x+B2y+C2=0时, A1B2=A2B1且B1C2B2C1; A1A2+B1B2=0.三、典型例题：例1:根据下列条件,分别求直线的方程:(1)过点P(2

21、,1)且与直线3x-2y-6=0平行; (2)过点P(1,-1)且与直线2x+3y+1=0垂直.解: (方法1) (1)由于所求直线与3x-2y-6=0平行,可设它的方程为3x-2y+C=0.又过点P(2,1)，32-21+C=0解得C=-4. 所求直线方程为3x-2y-4=0. (2)由于所求直线与2x+3y+1=0垂直,可设它的方程为3x-2y+D=0.又过点P(1,-1)，31-2(-1)+D=0解得D=-5. 所求直线方程为3x-2y-5=0.(方法2)(1)因为直线3x-2y-6=0的斜率为,又由于所求直线与3x-2y-6=0平行,所以所求直线的斜率为,又过点P(2,1)，由点斜式得

22、所求直线方程为y-1=(x-2)即3x-2y-4=0.(2) 因为直线2x+3y+1=0的斜率为,又由于所求直线与2x+3y+1=0垂直,所以所求直线的斜率为,又过点P(1,-1)，由点斜式得所求直线方程为y-(-1)=(x-1)即3x-2y-5=0.例2:已知直线:x+my+6=0、:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得:(1) ；(2) ；(3) 与重合.解：(1)由m(m-2)-3=0且2m2-180得m=-1; (2)由(m-2)1+3m=0得m=;(3)由m(m-2)-3=0且2m2-18=0得m=3.例3:已知直线:x+2y-2=0,试求:(1)点P(-2,-1)关于直线的

23、对称点坐标;(2)直线: y=x-2关于直线对称的直线的方程;(3)直线关于点(1,1)的对称直线方程.解:(1)设点P关于直线的对称点为P1(x1,y1),则点PP1的中点M在对称轴上,且PP1.解得P1 ().(2)直线: y=x-2关于直线对称的直线为,则上任一点P(x,y)关于的对称点P 2(x2,y2)一定在直线上,反之也成立. 解得把(x2,y2)代入y=x-2,整理得的方程为7x-y-14=0.(3)设直线关于点A对称的直线为,则上任一点P(x,y)关于点A的对称点P 3(x3,y3)一定在直线上,反之也成立. 解得 把(x3,y3)代入的方程x+2y-2=0,整理得的方程为x+

24、2y-4=0.四、归纳小结：1.运用两条直线平行或垂直的条件处理有关问题时,一定要考虑斜率存在与否.2.已知直线:Ax+By+C=0,则(1)和平行的直线系方程是Ax+By+D=0;(2)和垂直的直线系方程是Bx-Ay+E=0. 3.对称问题大致有四种类型:(1)两点关于点对称;(2)两点关于直线对称;(3)两直线关于点对称;(4)两直线关于直线对称.对于(1)利用中点公式即可;对于(2)需利用“垂直”、“平分”两个条件;对于(3)(4)通常采取坐标转移法.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.若两直线,则它们的斜率必相等B.若直线与的斜率都不存在，则C.若直线，则必有

25、D.两直线,中,一条直线无斜率,另一条直线斜率为0,则2.直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行,则m的值为( )A. B.或1 C. D.13.直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,则a的值为( ) A.或0 B.-3或1 C.-3 D.14.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是( ) A.(5,2) B.(2,-5) C.(-5,-2) D.(-2,-5)5.两直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( ) A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2-B1B2=0 C. D.6.已

26、知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为( ) A.-4 B.20 C.0 D.24（二）填空题：7.和直线x+3y+1=0垂直,且在x轴上的截距为2的直线方程是 y=3x-6 .8.直线与直线x+y-1=0关于x轴对称,则直线的方程为 x-y-1=0 .（三）解答题：9.a为何值时,(1)直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行? (2)直线2x+ay=2与直线ax+2y=1垂直?10.已知直线:2x+4y+1=0,试求:(1)点P(2,0)关于直线的对称点坐标;(2)直线: y=x-2关于直线对称的直线的方程;(3)直线

27、关于点Q(1,1)的对称直线方程.两直线的夹角及点到直线的距离一、高考要求： 会根据直线方程求两条直线的夹角和点到直线的距离,掌握求两条平行直线间的距离的方法.二、知识要点：1.两条直线的夹角0º90º(1)当两直线和存在斜率、,且时,(2)当两直线和的方程分别为:A1x+B1y+C1=0; :A2x+B2y+C2=0时,2.点到直线的距离(1)已知点P(x0,x0)与直线:Ax+By+C=0,则点P(x0,x0)与直线的距离为(2)两条平行线:Ax+By+C1=0;:Ax+By+C2=0间的距离为三、典型例题：例1:求过点(-2,-1),且与直线:x+y-=0的夹角为60

28、º的直线方程.解: 直线:x+y-=0的斜率为,且与所求直线的夹角为60º,所求直线的斜率存在,设为k,由两直线的夹角公式得,解得k=0或k=,所求直线方程为y=-1或y+1=(x+2).例2:已知三角形的三个顶点是A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7).求A的内角平分线AD的方程.解:(方法1)由定比分点公式得由两点式(或其它形式)得A的内角平分线AD的方程为7x+y-29=0.(方法2)设AB、AC、AD的斜率分别为、,则由两直线的夹角公式得,解得或.由于是A的外角平分线的斜率,故舍去.A的内角平分线AD的方程为7x+y-29=0.(方法3)AB的方程为得4x-3y

29、-13=0,AC的方程为得3x+4y-16=0, 设角平分线AD上任一点P(x,y),则整理,得7x+y-29=0或x-7y+3=0(舍去).A的内角平分线AD的方程为7x+y-29=0.四、归纳小结：1.对公式,只有当两直线的斜率都存在,且两直线互不垂直时,才能使用.2.对公式,只有当两平行直线的方程的x,y的系数都相同时,才能使用.五、基础知识训练：（一）选择题：1.直线与的斜率分别是方程6x2+x-1=0的两个根,则直线与的夹角是( )A.30º B.45º C. 60º D.75º2.已知点 (0,5)到直线y=2x的距离是( ) A. B. C

30、. D.3.两条平行直线:3x+4y-12=0;:6x+8y+6=0间的距离为( ) A. B.-3 C.6 D.34.点P(1,1)到直线x+y+C=0的距离等于,则C的值是( ) A. B.0或3 C.0或-4 D.-4 （二）填空题：5.过点A(3,2)且与直线x-2y-3=0相交成的直线方程是 y-3x+7=0或3y+x-9=0 .6.过点A(1,1)且与点B(2,4)的距离等于的直线方程是 x-2y+1=0或2x+y-3=0 .7.已知点(1,cos)到直线xsin+ycos=1的距离等于,且0,则的值等于.（三）解答题：8.求经过两直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并

31、与原点的距离等于2的直线方程.9.等腰三角形的两腰所在的直线方程为x-3y-2=0和3x-y-1=0,底边上有一点P(3,2),求底边所在直线的方程.圆一、高考要求： 掌握圆的定义,圆的标准方程和一般方程,能根据已知条件求圆的方程,会判断点与圆、直线与圆的位置关系.二、知识要点：1.圆的标准方程为: (x-a)2+(y-b)2=r2,它表示以(a,b)为圆心,以r为半径的圆,特别地,当圆心在坐标原点时, 圆的标准方程变为:x2+y2=r2.2.圆的一般方程为: x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),它表示以为圆心,以为半径的圆.3.圆与二元二次方程的关系:二元二次方程

32、Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充分必要条件是A=B0,C=0,4.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系为:设圆心到直线的距离为d,将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程的判别式为,则相离d>r(或<0); 相切d=r(或=0); 相交d<r(或>0).三、典型例题：例1: 求满足下列条件的圆的方程：(1)以A(4,-2)、B(-2,8)两点间的线段为直径的圆;(2)以点A(1,2)为圆心,过原点的圆;(3)以点A(1,2)为圆心,且与X轴相切的圆;(4)以点A(3,-5)为圆心,且与直线x+7y+2=0相切的圆;(5)

33、经过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆;(6)过两点A(5,2)、B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆;(7)已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边上一个顶点B的坐标为(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程.解:(1)圆心的坐标是AB的中点(1,3),半径是,所以,所求圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=34. (2)半径是,所以,所求圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5. (3)半径是2, 所以,所求圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=4. (4)半径是点A到直线x+7y+2=0的距离,即,所以,所求圆的方程是(x-3)2+(y+5)2=18.(5)设所

34、求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的坐标分别代入方程得解得D=-8,E=-2,F=12.所以, 所求圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(6)线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-4=0.联立方程得解得,则圆心是(2,1),半径是, 所以, 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. (7)设顶点C的坐标是(x,y),由题意得,化简得(x-4)2+(y-2)2=10,又由于A、B、C不能在同一直线上,故应除去(3,5)、(5,-1)两点. 所以, 所求圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)、(5,-1)

35、两点).例2:求过圆x2+y2=10上一点M(2,)的切线方程.解:(方法1:判别式法)设过M的直线方程为y-=k(x-2),联立方程得消去y,整理得, 由=0得.所以,所求得切线方程为即.(方法2:利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线)设过M的直线方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,由点到直线的距离公式得, 解得所以,所求得切线方程为即.(方法3:利用圆的切线垂直于过切点的半径)因为直线MO的斜率为,所以所求切线的斜率为,所以,所求得切线方程为即.(方法4:利用过圆上一点的切线方程公式)因为经过圆x2+y2=r2上的一点M(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2, 所

36、以,所求得切线方程为,即.例3:已知直线y=kx与圆x2+y2=1交于A、B两点,并与双曲线x2-y2=1交于C、D两点,(1)试求k的取值范围;(2)若,求k的值;(3)求此时直线y=kx的倾斜角的正弦值.解:(1)联立方程得消去y,整理得由>0得,又联立方程得消去y,整理得由>0得, 综上得k的取值范围是(-1,1);(2)由题意，AB为圆的直径，且又由得=3×2=6,设C(x1,y1)、D(x2,y2),则由弦长公式得即 解得;(3)设直线y=kx的倾斜角为(0<),则tan=,又0<四、归纳小结：1.求圆的方程时,应根据所给条件选择使用标准方程或一般方

37、程,如果问题中给出了圆心与坐标之间的关系或圆心的特殊位置关系时,一般用标准方程;如果给出了圆上的三个点的坐标用一般方程.2.在解决直线与圆的位置关系或圆与圆的位置关系时,要充分利用圆的性质,如圆心到切线的距离等于圆的半径,圆的切线垂直于过切点的半径,两圆的连心线垂直平分两圆的相交弦,等等.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如果圆x2+y2=b与直线x+y=b相切,则b的值为( ) A. B.1 C.2 D.2.方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0中A=B0且C=0是此方程表示圆的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. x2+y2+

38、(-1)x+2y+=0表示圆,则的取值范围是( ) A.>0 B.1 C.>1或< D.R4.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上的一点M(x0,y0)的切线方程是( ) A.x0x+y0y=r B.x0x+y0y=r2 C.x0y+y0x=r D.x0y+y0x=r25.设圆x2+y2 +4x-2y+1=0上的点到直线3x-4y-15=0的距离为d,那么d的最小值是( ) A.1 B.3 C.7 D.96.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为( ) A. B. C. D.7.圆x2+y2 -2x=0和圆x2+y2 +4y=0的位置关系是( ) A

39、.相离 B.外切 C.相交 D.内切8.动圆x2+y2 -(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.2x+y-1=0 D.2x-y+1=0 （二）填空题：9.与两坐标轴相切,且过点(2,1)的圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25 .10.圆心为(1,-2),半径为2的圆在x轴上截得的弦长为 8 .11.由点P(1,3)引圆x2+y2=9的切线,则两切线夹角的余弦等于.（三）解答题：12.求过点A(10,1)和B(2,1)且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程.椭圆一、高考要求：

40、掌握椭圆的定义及有关概念,掌握椭圆的标准方程及其几何性质.二、知识要点：1.椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.2.椭圆的标准方程及其几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程a、b、c的关系图 形焦点坐标F1 (-c,0), F2 (c,0) 焦距为=2cF1 (0,-c), F2 (0,c) 焦距为=2c顶点坐标(-a,0)、(a,0)、(0,-b)、(0,b)(0,-a)、(0,a)、(-b,0)、(b,0)离心率对称性对称轴为x,y轴,长轴长为2a,短轴长为2b;对称中心为坐标原点三、典型例题：

41、例1:已知ABC的一边BC的长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程.解:以边BC所在的直线为x轴,线段BC的中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则B(-3,0)、C(3,0)由条件知,故动点A(x,y)的轨迹是椭圆,且c=3,a=5,所以b2=16.所以,所求顶点A的轨迹方程是例2:求满足下列条件的椭圆方程：(1)以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的三倍,并且过点A(3,0)的椭圆;(2)离心率是0.8,焦距是8的椭圆;(3)与椭圆有相同焦点,且过点P(,)的椭圆.解:(1)由题意,椭圆位于标准位置,若焦点在x轴上,设方程为椭圆过点A(3,0),又a=3b,a=3,b=1,故方程为若焦点在y轴上,设

42、方程为椭圆过点A(3,0),又a=3b,a=9,b=3,故方程为所求椭圆的方程为或(2) 焦距2c=8,c=4,又,a=5,焦点在x轴上时,所求方程为焦点在y轴上时,所求方程为(3)由题意,设所求椭圆方程为,由已知条件得解得a2=20,b2=8.所以,所求椭圆方程为四、归纳小结：1.椭圆标准方程的推导过程是求轨迹方程的常用方法,用定义法求动点轨迹更是常用方法之一,且简便易行;2.椭圆的几何性质包含内容多,应用广泛.解决椭圆问题时,要考虑焦点的位置.五、基础知识训练：（一）选择题：1.椭圆的两个焦点分别为F1 (-4,0), F2 (4,0),且椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为

43、( ) A. B. C. D.2.设F1、F2为椭圆的焦点,P为椭圆上一点,则P F1F2的周长为( ) A.16 B.18 C.20 D.不能确定3.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( ) A.-16<m<25 B.<m<25 C.-16<m< D.m>4.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( ) A.(0,+) B.(0,2) C. (1,+) D.(0,1)5.曲线与的关系是( ) A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点C.有不等的焦距,不同的焦点 D.有相同的离心率6.椭圆的焦点是F1和F2

44、,点P在椭圆上,如果线段P F1的中点在y轴上,那么是的( ) A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍7.若直线与椭圆相交于A、B两点,则的最大值是( ) A.2 B. C. D.（二）填空题：8.中心在原点,长轴在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则椭圆方程是.9.椭圆上有一点A(m,n)到左焦点的距离为,则m= 1 .10. 若直线与椭圆相交于P、Q两点,若PQ的中点的横坐标为2,则=.（三）解答题：11.设一动点到点F(1,0)和它到直线x=5的距离之比为,求动点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.12.求中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴为6,离心率为的椭圆的方程.13.

45、方程xsin+ycos=1表示焦点在x轴上的椭圆方程,求的取值范围.14.求过点(0,1)且与椭圆4x+2y=4的相交弦长为的直线方程.双曲线一、高考要求： 掌握双曲线的定义及有关概念,掌握双曲线的标准方程及其几何性质.二、知识要点：1.双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做焦距.2.双曲线的标准方程及其几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程a、b、c的关系图 形焦点坐标F1 (-c,0), F2 (c,0) 焦距为=2cF1 (0,-c), F2 (0,c) 焦距为=2c顶点坐标实

46、顶点(-a,0)、(a,0)实顶点(0,-a)、(0,a)渐近线离心率对称性对称轴为x,y轴,实轴长为2a,虚轴长为2b;对称中心为坐标原点等轴双曲线两条渐近线互相垂直且方程分别为,离心率为三、典型例题：例1:当从0º到180º变化时,判定方程x+ycos=1表示怎样的曲线?解:当=0º时, cos=1, 方程化为x+y=1,它表示以原点为圆心,1为半径的圆;当0º<<90º时, , 方程化为x+=1,它表示焦点在y轴上的椭圆;当=90º时, cos=0, 方程化为x=1或x=-1,它表示两条平行直线;当90º&

47、lt;<180º时, , 方程化为x=1,它表示焦点在x轴上的双曲线;当=180º时, cos=-1, 方程化为,它表示焦点在x轴上的等轴双曲线.例2:求与双曲线有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程.解:由已知双曲线c=5,且焦点在y轴上,设双曲线方程为,代入点(0,2),得,所以,所求双曲线方程为.例3:给定双曲线,过点B(1,1)能否作直线,使直线与所给双曲线交于两点P、Q,且点B是线段PQ的中点?若直线存在,求出它的方程,若不存在,说明理由.解:设过点B(1,1)的直线的方程为y-1=k(x-1)或x=1(显然不合题意,舍去).联立方程,消去y得,直线与双曲

48、线交于两点P、Q, 且=24-16k>0, 且设P(x1,y1)、Q(x2,y2),若点B是线段PQ的中点,则,即k=2,这与矛盾,这说明过点B与所给双曲线交于两点P、Q,且点B是线段PQ的中点的直线不存在.四、归纳小结：1.双曲线标准方程的推导过程是求轨迹方程的常用方法,用定义法求动点的轨迹更是常用方法,且简便易行;对定义的理解,注意“距离的差”要加绝对值, 距离差的绝对值必须小于焦距.2.双曲线的几何性质包含内容多,应用广泛.解决双曲线问题时,要考虑焦点的位置.五、基础知识训练：（一）选择题：1.给出下列曲线:4x+2y-1=0;.其中与直线y=-2x-3有交点的曲线是( ) A.

49、B. C. D.2.已知点F1 (-4,0)、F2 (4,0),曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线方程为( )A. B.C.或 D.3.若方程表示双曲线,则实数k的取值范围是( )A.(-,-2)(2,5) B.(-2,5) C.(-,-2)(5,+) D. (-2,2)(5,+)4.双曲线的两条渐近线互相垂直,那么双曲线的离心率是( ) A.2 B. C. D.5.设F1、F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上,且满足F1PF2=90º,则F1PF2的面积是( ) A.1 B. C.2 D.6.双曲线的离心率e1, 双曲线的离心率e2,则e1+ e2的最小值是( ) A. B.2 C. 2 D.4（二）填空题：7.中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过点(1,3)的等轴双曲线方程是 y2-x2=8 .8.直线y=kx和双曲线相交,则实数k的取值范围是.9.下列命题中: 椭圆与椭圆有相等的焦距;椭圆与椭圆有共同的焦点;双曲线与双曲线有共同的焦点;双曲线与双曲线有相同的渐近线. 正确的命题有 (只写序号) .（三）解答题：10.求下列双曲线的方程:焦点在x轴上,焦距为20,渐近线方程为的双曲线的标准方程.渐近线方程为3x±4y=0,焦点为椭圆的一对顶点的双曲线方程.求与双曲