概率论与数理统计期末考试试题及答案

1、概率论与数理统计期末考试试题(A)专业、班级：姓名：学号：题号一一二四五六七八九十一十二总成绩得分、单项选择题(每题3分共18分)1.D 2. A 3.B 4. A 5. A 6.B(1)(2)设随机变量X其概率分布为(D)则 PX 1.5()。(A)(B) 1(C) 02(3)设事件Ai与4同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是()(A)P(A)P(AiA2)(B)P(A)P(Ai)P(A2)1(0P(A)P(A1 A2)(D)P(A)P(A1)P(A2)1(4)设随机变量 XN( 3, 1), YN(2, 1),且X与Y相互独立，令 ZX2Y7,则 Z().(A) N(0, 5);(

2、B) N(0, 3);(C) N(0, 46);(D) N(0, 54).设X1X2,Xn为正态总体N( , 2)的一个简单随机样本，其中2,未知，则()是一个统计量n(Xi i 1)2(A)Xi22(B)1 1(C) X(D)(6)设样本Xi,X2, ,Xn来自总体XN(, 2), 2未知。统计假设为H0：0( 0已知)Hi：0。则所用统计量为()(A)U X(B)T 2三,nS % n1(C)2 竺竺(D)23” (Xi )2i 1二、填空题(每空3分共15分)Ya x1 4.t(9)1. P(B) 2. f(x), 3e 2 3.0 x 0P(A),则 P(B|A)(1)如果 P(A)

3、0, P(B) 0, P(A|B)(2)设随机变量X的分布函数为F(x)0,1 (1x)e x,x0,x 0.，P(X 2)则X的密度函数f(x)(3)(4)设总体X和Y相互独立,且都服从N(0,1) , X1,X2,X9是来自总体X的u X_X±Y12 Y92样本，丫1,丫2, Y是来自总体丫的样本，则统计量服从分布(要求给出自由度)。三、(6 分)设 A, B 相互独立，P(A) 0.7, P(A B) 0.88,求 P(A B).解：=P(A B) P(A) P(B) P(AB)= P(A) P(B) P(A)P(B) ( 因为A,B相互独立).2分=0.7 P(B) 0.7P

4、(B)3 分则 P(B) 0.6 .4 分P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)0.7 0.7 0.6 0.28 6 分四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T,各电梯在运行的概率均为，求在此时刻至少有 1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数，则Xb(4, 0.7) .2分所求概率P X 11 P X 04分1 C0(0.7)0(1 0.7)4= .6 分五、(6分)设随机变量X的概率密度为f(x) ,0, 其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算 .1分当X 0时，Y 1 .2分y 11

5、由 y 2x1, 得 x , x' 4 分22“?)2 y 1从而Y的密度函数为fY(y).5分.6分六、(8分)已知随机变量X和Y的概率分布为X101Y01P111P1142422而且 P XY 0 1.(1)求随机变量X和Y的联合分布；(2)判断X与Y是否相互独立解：因为P XY 01 ,所以P XY 00(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y-101X010114142102012111424.4分111(2)因为 P X 0,Y 00 P X 0 P Y 0224所以 X与Y不相互独立8分七、（8分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为12e(3x4y), x 0,y

6、 0, f (x, y)0,其他.求：(1) P(0 X 1,0 Y 2) ; (2)求X的边缘密度。12.2分解：(1) P(0 X 1,0 Y 2) dx 12e (3x 4y)dy0013x3e dx024e04y .dy =3x 1e 0=1 e 3 1 e8(2) fX(x)12e (3x4y)dy3e3x x 00 x 0.4分.6 分8 分八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为1的指数分 4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。 若工厂售出一台设 备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的 期望。解:一一

7、1因为X e()4得 f (x).2分用Y表示出售一台设备的净盈利100 Y100 300所以P(Y100)200EY1164dxx14 .-e 4dx41100 e 4200) (11e 4).4分1300e 4 20033.64 (元).6分九、(8分)设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为 0.5,求E(2X Y), D(2X Y)。解：已知 EX 2, EY 2, DX 1, DY 4, XY 0.5则 E(2X Y) 2EX EY 2(2) 26.4 分D(2X Y) D(2X) DY 2cov(2X,Y).5 分2DX DY 4 cov( X, Y)

8、.6 分2DX DY 4VDXVDY xy=12 .8 分十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从 0, 20上的均匀分布，利用中心极 限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数 （x）的值表示）.解：用Xi表示第i户居民的用电量，则Xi U 0,20一-20 20(20 0)100今EX i 10DX i 2 力21231000则1000户居民的用电量为X Xi,由独立同分布中心极限定理i 1P X 101001 P X 101003 分X 1000 1010100 1000

9、10八=1 P ,= ,-4 分11001100. 1000 . 1000 3310100 1000 10八1(一).6 分1100,1000 33二1110)7 分卜一、（7分）设X1,X2, ,Xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为f(x) (1)X , 0 X 1,0,其他，其中 0未知，求 的最大似然估计 解：最大似然函数为nnL(X1, Xn, )f (Xi)(1)Xi.2 分i 1i 1=(1)n(X1,Xn) .3 分则In L(xi,Xn, ) nln( 1)ln(x，Xn)0 X1, Xn 1 . 4 分a d In L n令ln(x1,xn) 0 5 分d1于是的最大似然估计：lnln(X1,Xn)十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率 X N( ,1)服从正态分布，均值为,长期以来方差2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为X 5,试求 的置信水平