最新外接球专项训练(带详细答案)

1、精品文档精品文档一.选择题外接球专项训练参考答案1、已知球。的半径为2,圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和|MN |A. 1【解析】d；由球心距与截面圆的半径之间的关系得 1d；R2R2d； d； 8 3 5 ,故MN v'd12 d22<5 ,应选 D。考点：球的几何性质及运算。2、在三棱锥仍一月质中，AU.LliCAli = BC = 42J,AItC = 2,中点为 MAsr/PMB= J ,则此三棱3锥的外接球的表面积为（A.C "6不【答案】C【解析】如图，易知1 -BM AC 1, PM2J22 1J3 ,由余弦定理可得PBPB2

2、 AB2PA2 ,故 PB BA;同理 PB2 CB2PC2 ,故PB BC ,所以P,A,B,C是棱长为22的正方精品文档 6,所以外接球的面积为S 464体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为应选C。考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。3、球。的球面上有四点S, A,B,C ,其中O,A,B,C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面 SAB 面ABC ,则棱锥S ABC的体积的最大值为（）A. B .向 C . 273 D . 4 3【答案】A【解析】设球心和 ABC的外心为O ,延长CO交AB于点P ,则由球的对称性可知 PD AB ,继而由面SAB 面ABC可得PD

3、| ABC所在的平面，所以 PD是三棱锥的高；再由 O,A,B,C四点共面可知。是ABC的中心，故OP ,R "3 ,当三棱锥的体积最大时，其高为 PD（型）2 （）2 1,故三 33,33棱锥的体积的最大值为 -22 1 -,应选Ao343考点：几何体的外接球等有关知识的运用。【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充23、,，分利用题设中提供的有关信息， 先确定球心。的位置是三角形 ABC的外心，再求外接球的半径 R 23并确3定当

4、PD为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为。34、已知在三棱锥 P ABC中，PA 面ABC , PC AB ,若三棱锥 P ABC的外接球的半径是3,S S ABC S ABP S ACP ,则 S的最大值是（）A. 36 B . 28 C . 26 D . 18【答案】D【解析】因为 PA 面ABC ,所以PA AB , PA AC ,又因为PC AB ,所以AB 平面PAC ,所以 精品文档精品文档AB AC所 以有 AB2 AC 2 AP2 (2 3)2 36则由基本不等式S S ABC S ABP S ACP112 2f2(AB AC AB AP AP AC)(AB2 A

5、C2 AP2) 1822当且仅当AB AC AP时等号成立，所以S的最大值是36,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式，中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2） 将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解.5、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）精品文档A. 8B . 16C . 32D . 64【答案】C

6、【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为 2衣，表面积为4 （2 回232，选 c.（一般为接、切点）或线作考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心白位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程 （组）求解.6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）20 A 一3193【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是

7、三棱锥.如图所示，。为球心，F为等边三角形BCD的外心，由图可2221319R OF CF 223121 19,故外接球面积为19 3考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 x ,常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何 性质求；而其它不规则图形的外心 ，可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为 a, b,c则其体对角线长为 J02b2C2 ;长方体的外接球球心是其体对角线中点 .找几何体外接球球心的一般方法 ：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线，交点即为球心.7、如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图， 则该四面体的外接球半径为

8、()A. 2 2 B7.23布 D . 2 73【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正 MNP的边长为4/2 ,其外接圆的4 22 2半彳至r1 半,同样正 MiNiPi的外接圆的半径是r2 半,由球的对称性可知球心 O必在正方体的对角线'- 3 |38、34 3AC上,且AOi hi , CO2 h2 ,该球经过K个点M ,N, P,M i N, R ,设球心O到平面99M iNiPi的距离为 di ;球心O到平面 MNP的距离为 d2 ,而两个平面 MNP和MiNiPi之间的距离为d 4<3(hih2)生3did2 ,则由球心距、垂面圆半

9、径之间的关系可得R2di2ri2, R2d1r22,3所以d2di2ri2r228,即d2 d28,又did? 竺上，将其代入d； d；8可得d2di2仆，由3此可得d2 迪，所以R2 d2 22 至 8 竺 ii,所以外接球的半径R 而i,应选C.3333,要求求其外接球的半径， 是没有任何用的.通过考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景，提供了一个三棱锥的几何体的三视图是一道较为困难的难题.难就难在无法搞?f其几何形状，只知道是一个三棱锥（四面体）仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体，如图，正MNP的边长为4/2 ,其外接圆的半径4 2

10、 一，、，ri 22 ,同样正 MiNiPi的外接圆的半径、3沼，由球的对称性可知球心 °必在对角线上，且经过六, 3个占I 八、M ,N,P,Mi,Ni, P ,设球心O到平面 MiNiPi的距离为 可；球心O到平面 MNP的距离为d2,而两个平面MNP和MiNiR之间的距离为d4.34V3 （工 h2） di d2 ,则由球心距垂面圆半径之间的关系 3可得R2di2ri2,R2d2 座，所以.2. 222d2 diri28 ,即 d2di28,又 di4 3d23,将其代入3d22di28可得d2 di2v13 ,由此可得5 : 3d 2，所以R325 83333311 ,所以外

11、接球的半径布,其中亍十算hih时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是3 ,且每个顶点都在球O的表面上,则球。的半径为（2i,6A 2【答案】A【解析】球°的半径满足R23 2,32(3)考点：外接球 【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线 作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的 几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解jLKII.24n+ 8也支9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的

12、三视图中的正视图和侧视图如图所 示，则此几何体的表面积是A. 24 nC. 24 n + 4nD. 32 n答案：C10、已知三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB 2, SA SB SC 2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（）（A）白（B） 1（C） 33（D）【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC 2S在面ABC内的射影为AB中点H , SH平面ABC , SH上任意一点到A，B，C的距离相等.Q SH石CH1 ,在面SHC内作SC的垂直平分线MO ,则。为S ABC的外接球球心.SO毡OH立SO , O

13、H Q SC 2, SM 1 , OSM 30 ,33 ,即为O到平面ABC的距离，故选A 考点：球内接多面体；点到面的距离的计算.【名师点睛】（1） 一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何 体各元素之间的关系.（2）若球面上四点P, A, B, C中PA PB, PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体 确定直径解决外接问题.（3） 一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上.11、已知三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB 2, SA SB SC 2,则三棱锥的外接球的球

14、心到平面ABC的距离是（）(B) 1(C) 3(D)3.32【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（1717.34A. B . 34 C . -D , 17扃23【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为 为长方体对角线，即2R 仃+32+42 ,表面积是4 R2 34 .选B.4,3,3 ,因此四棱锥外接球直径考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线 作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的 几何体的直观

15、图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解13、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上， ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=Z则此棱锥的体积为（）V2T精品文档【答案】A【解析】连接OA,OB,OC ,则由已知得OA OB OC AB BC AC 1 ,可知三棱锥O ABC是棱长为1的正四面体，其高为Y6 ,则三棱锥S ABC的高为晅,所以三棱锥S ABC的体积为 3313 2 623436考点：三棱锥外接球.14、半径为1的三个球A, B,C平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球D ,由四个球心A, B,C, D构成

16、一个新四面体，则该四面体外接球O的表面积为（）八 243243A. B. 239218 6923【答案】A【解析】由已知条件可知,该四面体是底面边长为2的等边三角形，且侧棱长为3.该四面体外接球半径计算公式为R2 .2x h2h中x为底面外接圆半径，h为高.本题4 23R 332 ,6939 69 S46 ,R2481 694 23 2324323考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥S ABC中,是SC的中点,且AM SB,底面边长AB 272,则正三棱锥S ABC 的外接球的表面积为（A. 6B. 12C. 32D.36【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACL SB,结合SB&

17、#177; AM得到SB,平面SAC因此可得SA SB SC三条侧棱两两互相垂直. 最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积.精品文档精品文档取 AC中点，连接 BN SN4 . N为 AC 中点，SA=SC /. AC± SN,同理 ACL BNN s SNA BN=N : AC，平面 SBN. SB 平面 SBN ：ACL SB, v SB± AM且 ACA AM=ASB，平面 SAO SB! SA 且 SB! AC；.三棱锥S-ABC是正三棱锥，：SA SR SC三条侧棱两两互相垂直.二.底面边长AB 2J2, 侧棱SA

18、=2,;正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R 2J3, R J3 ,:正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是 S 4 R2 12 ,故选：B.考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体精品文档16、已知三棱锥P ABC,在底面 ABC中，AB 1 A 60o,BC J3, PA 面ABC,PA 2/3，则此三棱锥的外接球的表面积为（）16-32_A. B . 4V3C . D . 1633【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得AC2 , AB2 BC2 AC2,满足勾股定理,ABC 900 , PA底面ABC ,所以PA BC ,那么BC平面PAB ,所以BCPB ,那么直角三

19、角形 PAC ,PBC有公共斜边PC ,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点O, PC是其外接球的直径,PC 4,所以外接球的表面积S 4 R2 16 ,故选 D.考点：球与几何体17、已知直三棱柱C 11cl的6个顶点都在球 的球面上，若3, C 4, C,1 12,则球的表面积为为（）A. 153【答案】C【解析】由题意，三棱柱C 11cl为直三棱柱，底面 C为直角三角形，把直三棱柱C 1 1C1 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径,AiA所以外接半径为1 .32 42 122 132则三棱柱C11c1 1外接球的表面积是4 R2 169 cm2.故选C.考点：几何体的外接球

20、18、如图，ABCD A1B1clD1是边长为1的正方体,S ABCD是高为1的正四棱锥，若点 S, A1,B1,C1,D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.916251649168116【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，O为球心，设OG1 x ,则OB1SO 2 x,同时由正方体的性质知 B1G12则在 Rt OB1Gl 中，OB12212 o2=一，1G1B2 OG；,即 2 xx2,解得 x27 ,所以球的半径ROB18 一，一一 ，281所以球的表面积为 S 4 R2 一 ，故选D.16考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形 ABCD中，AB B

21、D , 4AB2 2BD2 1,将此平行四边形沿 BD折成直二面角，则三棱锥A BCD外接球的表面积为（）A.B2【答案】A【解析】因为平行四边形 ABCD中，AB BD,沿BD折成直二面角A BD C ,所以三棱锥A BCD的1外接球的直径为 AC,且AC2 AB2 BD2 CD2 2AB2 BD2 一，所以三棱锥A BCD的外接球的半径22 2为 J ,所以三棱锥A BCD的外接球的表面积为4_ 一 ；故选A.416 2考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合.20、如图，在菱形ABCD中，BAD 60o,AB 2J3, E 为对角线 BD的中点，将 ABD沿BD折起到PBD的位

22、置，若 PEC 120°,则三棱锥P BCD的外接球的表面积为（）A. 28B . 32 C . 16D. 12【答案】A【解析】设M,N分别是等边三角形 PBD,CBD的外心，则O1N 1,NC 2画出图象如下图所示，由图象可 知，MO1N 120°, OO1N 60°，故 ON 1 tan60o V3 , R OC JoN2 NC2 /3"-4J7,外接球面积为4 R2 47 28考点：球的内接几何体21、已知从点P出发的三条射线PA, PB, PC两两成60角，且分别与球O相切于A, B, C三点.若球 。的体积为36九，则O, P两点间的距离为（

23、）（A） 3应（B） 3石（C） 3（D） 6【答案】B【解析】连接OP交平面ABC于O',由题意可得： ABC和 PAB为正三角形，所以.3AB、.3APOPAPAPO'A .因为AO' PO, OA PA,所以一，所以OP OA J3OA .又因33OAAOAO为球的体积为36 ,所以半径OA 3,所以OP 3石.考点：点、线、面间的距离计算.【思路点睛】连接OP交平面ABC于O',由题意可得:O'A.；3AB <3AP33AO'PO, OA PA 可OP AP得OP _AP 根据球的体积可得半径 OA 3,进而求出答案. OA AO2

24、2、在半径为1的球面上有不共面的四个点 A, B, C, D且AB CD x , BC DA y , CA BD z,则x2 y2 z2 等于（）A. 16B .8 C . 4 D . 2【答案】B【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c ,则a2 b2 c2 22 4 ,根据题意，得222222 222222222、a b x,b c y,a c z,则 x y z 2(a b c ) 8;故选 B.考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相 同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧

25、面上， 好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其 直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 当其正视图和侧视图完全相同时， 它的俯视图 可能是（ ）直观图【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆， 所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选 B.考点：三视图.24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）A. |13TB . |16川 C . 25,t| d , 27【答案】C【解析】从三视图可以看 出该几何 体

26、是底面对 角线长为4正方形高为3正四棱柱，故其 对角线 长为 l 后一42 5 2R,故该几何体的外接球的面积为S 4 R2 25 ，选C.考点：三视图与几何体的外接球.25、如图，边长为2的正方形 ABCB,点E, F分别是边 AB, BC的中点 AED EBF, 4FCD分别沿DE EF, FD折起，使A, B, C三点重合于点A',若四面体A EFD的四个顶点在同一个球面上， 则该球的半径为（）ADBF CA. 2B【答案】D【解析】因为折起后A,B,C三点重合，所以A'E, A'F,A'D两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为1,1,2的,故选D.长方体的

27、外接球半径 R满足4R2 12 12 22 6,R考点：几何体外接球的性质.26、已知三棱锥 S- ABC满足 SAL SB, SB! SC，SCL SA 且 SA=SB=SC若该三棱锥外接球的半径为 «是外接球上一动点，则点 Q到平面ABC的距离的最大值为（）,34v3A. 3B.2 C .3D .3【答案】D【解析】因为三棱锥 S ABC中，SA SB,SB SC, SC SA ,且SA SB SC ,所以三棱锥的外接球即为以SA SB, SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为33 ,所以正方体的对角线长为2号 所以球心到平面ABC的距离为1 空 叵,所以点Q到

28、平面ABC的距离的最大值为233石正勺叵，故选D.33考点：球的性质及组合体的应用.27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）D忑A. 2020/5B .3C . 25 D . 2575恻视图【答案】A一,、一， 、，2【解析】由三视图可知，该三棱柱为底面为顶角为一，两腰为2的等腰三角形，高为2,底面三角形的外接3圆直径为2 3.2sin 一34 ,半径为2 ,设该三棱柱的外接球的半径为R ,则R22211 5 ,所以该三棱柱的外接球的表面积为S 4 R2 20 ,故选A考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积.题名

29、师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1( )区ZA.3B . 二C .kD ."的正方形，则此四面体的外接球的体积为【答案】B .6_ . 3【解析】由题意此四面体是棱长为J2的正四面体，其外接球半径为Y6 J2 42.故选B.4.3 3、3V ()3322考点：三视图，外接球，球体积.【名师点睛】正四面体的内

30、切球与外接球:(1)正四面体的内切球，如图.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切， 正四面体的中心与球心重合;数据关系：设正四面体的棱长为a,高为h;球的半径为R,这时有4R h ，6a ；(可以利用体积桥证明)3（2）正四面体的外接球，如图 5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为 a ,高为h ;球的半径为R,这时有4R 3h J6a ;（可用正四面体 高h减去内切球的半径得到）C 2, C 4,点 是线段 的中29、如图所示，在直三棱枉C C中， C C ,点，则三棱锥C的外接球的体积是（）43【答案】A【解析】由题意可知MA MB -AB J6 ,取AB的中点D ,连接MD,CD ,在直角 MCD中， 2MC，MD2 CD2 J6,所以点M在平面ABC内的射影是 ABC的外心，即为 AB的中点，设三棱锥2_ o 22,2C的外接球的球心为 O,由球的截面性质可得 MD r CD2 r2,即1 r 5 r2,解得r 3,4所以其外接球的体积为V R3 36 ,故选A.3考点：棱锥与球的组合体及球的体积【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得M